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2025屆杭州外國語學校數(shù)學高三上期末考試試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,2.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.3.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.4.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.5.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.6.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.8.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.9.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.10.已知為坐標原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.11.已知,則()A.2 B. C. D.312.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,若雙曲線(,)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為________.14.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.15.函數(shù)的定義域是___________.16.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:為定值.18.(12分)已知圓的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實數(shù)的值.19.(12分)已知圓:和拋物線:,為坐標原點.(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點,且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點,若直線的斜率為,求點的坐標.20.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點D,E分別在邊,上);再取的中點M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點,且,.求證:平面;求點到平面的距離.22.(10分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點,與交于點,,都垂直于平面,且,,是線段上一動點.(1)當平面,求的值;(2)當是中點時,求四面體的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查學生運算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選:A【點睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.4、D【解析】
由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當時,.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標,利用求得參數(shù)m,再用計算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.9、A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.11、A【解析】
利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法,考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.12、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用,解出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】,且,,,該雙曲線的漸近線方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程,考查了雙曲線基本量的關(guān)系,考查了運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛:頻率分布直方圖的縱坐標為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.15、【解析】
由于偶次根式中被開方數(shù)非負,對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3)【解析】
(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點與點關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點與點關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當時,的最小值為,所以,故,又點在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點與點在橢圓上,故,代入上式得:,所以【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學生的計算能力,屬于中檔題.18、【解析】
將圓的極坐標方程化為直角坐標方程,直線的參數(shù)方程化為普通方程,再根據(jù)直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求實數(shù)的值.【詳解】由,得,,即圓的方程為,又由消,得,直線與圓相切,,.【點睛】本題重點考查方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.19、(1);(2)或.【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑,直線與曲線相交于兩點,且滿足,只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求,利用坐標關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題,這是解析幾何常用解題方法,第二步利用直線的斜率找出坐標滿足的要求,再利用兩直線與圓相切,求出點的坐標.試題解析:(1)解:設(shè),,,由和圓相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).當時,,故直線的方程為.(2)設(shè),,,則.∴.設(shè),由直線和圓相切,得,即.設(shè),同理可得:.故是方程的兩根,故.由得,故.同理,則,即.∴,解或.當時,;當時,.故或.20、(1),.,.(2)當百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計算即得.【詳解】解:(1),是邊長為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因為M為的中點,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因為在中,,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因為M為的中點,所以.所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為(當且僅當即時取“”).故當百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進行求解,屬于中檔題.21、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;(2)取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】(1)因為,,,是的中點,,為直三棱柱,所以平面,因為為中點,所以平面,,又,平面(2),又分別是中點,.由(1)知,,又平面,取中點為,連接如圖,則,平面,設(shè)點到平面的距離為,由,得,即,解得,點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離;考查邏輯推理能力和運算求解能力;熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解
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