2025屆四川省成都市金牛區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆四川省成都市金牛區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則2.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20203.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.4.如圖,在中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.5.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[327.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.18.己知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)分別在拋物線上,且,直線交于點(diǎn),,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.69.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.10.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.11.關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)____.14.在中,角所對(duì)的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為_(kāi)_________,的大小為_(kāi)_________.15.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,.若;且,則周長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_________.16.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)F作C的漸近線的垂線FD,D為垂足,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則C的離心率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線于,兩點(diǎn),已知,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).18.(12分)[選修45:不等式選講]已知都是正實(shí)數(shù),且,求證:.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大??;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.20.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大?。唬?)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大小.22.(10分)已知橢圓,點(diǎn),點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).且與圓相切.的周長(zhǎng)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:,,故選D.考點(diǎn):點(diǎn)線面的位置關(guān)系.2、C【解析】

首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí),掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、B【解析】

,將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.4、D【解析】

選取為基底,其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運(yùn)算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.5、D【解析】

根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導(dǎo)數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx7、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】

作,垂足為,過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點(diǎn),即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn),所以F到l的距離為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí),屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng),進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時(shí),取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時(shí),取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.11、B【解析】

化簡(jiǎn)到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?,故不可能為,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對(duì)稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設(shè),則,令,所以時(shí),,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),屬于中檔題.14、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,15、【解析】

先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長(zhǎng)故答案為:【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.16、2【解析】

求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到的等式,從而可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,由得,∴,,∴.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離,從而得出一個(gè)關(guān)于的等式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時(shí)滿足∴∴直線恒過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.18、見(jiàn)解析【解析】試題分析:把不等式的左邊寫成形式,利用柯西不等式即證.試題解析:證明:∵,又,∴考點(diǎn):柯西不等式19、(1)B(2)【解析】

(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB,進(jìn)而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閎(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因?yàn)?,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因?yàn)閍2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),即ac的最大值4,所以△ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)66.5(2)屬于【解析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21、(1)當(dāng)時(shí),直線l方程為x=-1;當(dāng)時(shí),直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】

(1)對(duì)直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時(shí),消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛

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