2025屆浙江省寧波市奉化高中、三山高中等六校高二上數學期末經典模擬試題含解析

2025屆浙江省寧波市奉化高中、三山高中等六校高二上數學期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．設正數數列的前項和為，數列的前項積為，且，則（）A. B.C. D.3．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.5．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知直線：和：，若，則實數的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-17．已知正實數a，b滿足，若不等式對任意的實數x恒成立，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；④若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.39．經過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.10．已知，則下列三個數，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個不小于-411．如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.12．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.14．一條直線經過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________15．已知的展開式中項的系數是，則正整數______________.16．展開式中，各項系數之和為1，則實數_______．（用數字填寫答案）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.18．（12分）已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在區(qū)間[－3，1]上最大值和最小值19．（12分）設數列的前項和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數列成等差數列（2）若數列為遞增數列，且，試求滿足條件的所有正整數的值20．（12分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值21．（12分）已知數列滿足（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）國家助學貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學校經濟困難學生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學習和日常生活費.從年秋季學期起，全日制普通本?？茖W生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學生甲在本科期間共申請到元的助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內還清，已知該學生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學生甲參加工作后第幾個月的月工資達到元；（2）如果學生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應有的利息外，助學貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數據：；；）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據空間線面、面面的平行，垂直關系，結合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關系判定，要注意直線、平面的不確定情況2、B【解析】當可求得；當時，可證得數列為等差數列，利用等差數列通項公式可推導得到，由求得后，利用可求得結果.【詳解】當時，，解得：；當時，由得：，即，，數列是以為首項，為公差的等差數列，，解得：，，經檢驗：滿足，，故選：B.3、A【解析】由題意，，結合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A4、B【解析】根據輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結論是或否，直至退出循環(huán).【詳解】，，，；，【點睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎題.5、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為命題：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B6、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當時，與重合，不符合題意，當時，，符合題意，所以實數的值為-1.故選：D7、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數x恒成立，又，所以，即故選：D8、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.9、C【解析】當是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據題意，圓心為，當與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關鍵10、B【解析】利用反證法設，，都大于，結合基本不等式即可得出結論.【詳解】設，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當且僅當時等號成立，這與假設所得結論矛盾，故假設不成立，故下列三個數，，至少有一個不大于，故選：B.11、B【解析】利用空間向量加減法、數乘的幾何意義，結合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B12、A【解析】根據給定幾何體利用空間向量基底結合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題意，可得，設，，，根據是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結論【詳解】解：由題意，可得，設，，，，是線段的中點，則，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：114、【解析】先求出直線傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過，所以直線的方程為，即，故答案為：15、4【解析】由已知二項式可得展開式通項為，根據已知條件有，即可求出值.詳解】由題設，，∴，則且為正整數，解得.故答案為：4.16、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數和，即可求出詳解】解：令，得各項系數之和為，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進而結合求解即可得答案；（2）設點，，進而聯(lián)立并結合題意得或，進而結合韋達定理得，再的中點為，證明，進而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設，所以設向量，所以，所以，即，設的中點為，則所以，又因為，所以，所以，因為點關于軸的對稱點為.所以，所以，所以是等腰直角三角形.18、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）求導，結合導數的幾何意義列方程組，即可得解；（2）求導，確定函數的單調性和極值，再和端點值比較即可得解.【詳解】（1）由題意，，因為曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，所以，，又當時，y＝f(x)有極值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值為，最小值為.19、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項，即得；猜想，用數學歸納法證明即得；（2）設，由題可得，進而可得，結合條件即求.【小問1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數列是首項，公差為的等差數列，，用數學歸納法證明：當時，，成立；假設時，等式成立，即，則時，，∴，∴當時，等式也成立，∴，∴數列是首項，公差為的等差數列.【小問2詳解】設，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又數列為遞增數列，∴，解得，由，∴，解得.【點睛】關鍵點點睛：第一問的關鍵是由條件猜想，然后數學歸納法證明，第二問求出，，即得.20、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據離心率可得a，即得b；（2）先設直線方程x=ty+m，根據向量數量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據面積公式可得關于t的函數，最后根據基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標準方程為：（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使為定值，則，解得m=1或m=（舍）當m=1時，|AB|=|y1﹣y2|=，點O到直線AB的距離d=，△OAB面積S=∴當t=0，△OAB面積的最大值為.21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數列，再由可得答案.（2）,分為奇數、偶數，分組求和即可求解.【小問1詳解】由，得，故是公差為2的等差數列，故，由，故，于是.【小問2詳解】依題意，，當為偶數時，故，當為奇數時，，綜上，.22、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設甲參加工作后第個月的月工資達到元，根據已知條件可得出關于的不等式，結合參考數據可求得結果；（2）分析可知從第個月開始到第個月償還的本金是首項