上海市青浦高中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁
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上海市青浦高中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知是減函數(shù),則a的取值范圍是()A. B.C. D.2.設(shè)全集,集合,則()A.{3,5} B.{2,4}C.{1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5,6}3.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B.C. D.4.一個(gè)球的內(nèi)接正方體的表面積為54,則球的表面積為()A. B.C. D.5.若函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.6.已知,,則()A. B.C. D.7.已知,,,則()A. B.C. D.8.若,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)10.設(shè),且,則()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù)的圖象(且)恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.12.如下圖所示的正四棱臺(tái)的上底面邊長為2,下底面邊長為8,高為3213.設(shè)一扇形的弧長為4cm,面積為4cm2,則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是_____.14.已知函數(shù),則下列說法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到②在上單調(diào)遞增③在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)④在上的最大值為15.給出下列命題:①存在實(shí)數(shù),使;②函數(shù)是偶函數(shù);③若是第一象限的角,且,則;④直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸;⑤函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成對(duì)稱中心圖形.其中正確命題序號(hào)是__________.16.已知角的終邊過點(diǎn),則______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)向量的夾角為且如果(1)證明:三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù)的值,使的取值滿足向量與向量垂直.18.已知函數(shù),在同一周期內(nèi),當(dāng)時(shí),取得最大值3;當(dāng)時(shí),取得最小值.(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.直線過點(diǎn),且傾斜角為.(1)求直線的方程;(2)求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.20.設(shè)是常數(shù),函數(shù).(1)用定義證明函數(shù)是增函數(shù);(2)試確定的值,使是奇函數(shù);(3)當(dāng)是奇函數(shù)時(shí),求的值域.21.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(1)求的解析式;(2)求不等式的解集.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用分段函數(shù)在上單調(diào)遞減的特征直接列出不等式組求解即得.【詳解】因函數(shù)是定義在上的減函數(shù),則有,解得,所以的取值范圍是.故選:D2、D【解析】先求補(bǔ)集,再求并集.詳解】,則.故選:D3、B【解析】先化簡(jiǎn),再令,求出范圍,根據(jù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),作圖分析,求得的取值范圍.【詳解】,由,又,則可令,又函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),作圖分析:則,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,換元法的運(yùn)用,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.4、A【解析】球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線就是球的直徑,正方體的棱長為a,球的半徑為r,則,求出正方體棱長,再求球半徑即可【詳解】解:設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為r,則,所以又因所以所以故選:A【點(diǎn)睛】考查球內(nèi)接正方體棱長和球半徑的關(guān)系以及球表面積的求法,基礎(chǔ)題.5、C【解析】由函數(shù)的性質(zhì)可得在上是增函數(shù),再由函數(shù)零點(diǎn)存在定理列不等式組,即可求解得a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為,所以,解得故選:C6、B【解析】應(yīng)用同角關(guān)系可求得,再由余弦二倍角公式計(jì)算.【詳解】因,所以,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系,考查余弦的二倍角公式.求值時(shí)要注意角的取值范圍,以確定函數(shù)值的正負(fù).7、C【解析】因?yàn)樗赃xC考點(diǎn):比較大小8、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷【詳解】因?yàn)?,而函?shù)在定義域上遞增,,所以故選:D9、C【解析】利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】易知函數(shù)的圖像連續(xù),,由零點(diǎn)存在性定理,排除A;又,,排除B;,,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,C正確故選:C.【點(diǎn)睛】判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,只需利用零點(diǎn)存在性定理,求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,兩者異號(hào)即可,注意要看定義域判斷圖像是否連續(xù).10、C【解析】將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡(jiǎn)單題目.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①.②.【解析】令,求得,即可得到函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn);令,求得函數(shù)的定義域?yàn)?,利用二次函?shù)的性質(zhì),結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)(且),令,即,可得,即函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),令,即,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,又由函?shù)的圖象開口向下,對(duì)稱軸的方程為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可得函數(shù)的遞增區(qū)間為.故答案為:;.12、6【解析】如下圖所示,O'B'=2,OM=213、2【解析】設(shè)扇形的半徑為r,圓心角的弧度數(shù)為,由弧度制下扇形的弧長與面積計(jì)算公式可得,,解得半徑r=2,圓心角的弧度數(shù),所以答案為2考點(diǎn):弧度制下扇形的弧長與面積計(jì)算公式14、②③【解析】化簡(jiǎn)函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換,可判定①不正確;根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)的方法,可判定②正確;令,求得,可判定③正確;由,得到,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),可判定④正確.【詳解】由函數(shù),對(duì)于①中,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到,所以①不正確;對(duì)于②中,令,解得,當(dāng)時(shí),可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以②正確;對(duì)于③中,令,可得,解得,當(dāng)時(shí),可得;當(dāng)時(shí),可得,所以內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn),所以③正確;對(duì)于④中,由,可得,當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為,所以④不正確.故答案為:②③.15、④⑤【解析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosαsin(α)結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①;根據(jù)誘導(dǎo)公式得到=sinx,再由正弦函數(shù)的奇偶性可判斷②;舉例說明該命題正誤可判斷③;x代入到y(tǒng)=sin(2xπ),根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可判斷④;x代入到,根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性可判斷⑤.【詳解】對(duì)于①,sinα+cosαsin(α),故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,=sinx,其為奇函數(shù),故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,當(dāng)α、β時(shí),α、β是第一象限的角,且α>β,但sinα=sinβ,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,x代入到y(tǒng)=sin(2xπ)得到sin(2π)=sin1,故命題④正確;對(duì)于⑤,x代入到得到tan()=0,故命題⑤正確.故答案為④⑤【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問題,是綜合性題目16、【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出r即可.【詳解】角的終邊過點(diǎn),,則,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算,根據(jù)三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.三角函數(shù)的定義將角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)和角的三角函數(shù)值聯(lián)系到一起,.知道終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出角的三角函數(shù)值,反之也能求點(diǎn)的坐標(biāo).三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】(1)利用向量的加法求出,據(jù)此,結(jié)合,可以得到與的關(guān)系;(2)根據(jù)題意可得,再結(jié)合的夾角為,且,即可得到關(guān)于的方程,求解即可.試題解析:(1)即共線,有公共點(diǎn)三點(diǎn)共線.(2)且解得18、(1);(2);(3).【解析】(1)根據(jù)函數(shù)在同一周期的最值,確定最小正周期和,再由最大值求出,即可得出函數(shù)解析式;(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間列出不等式求解,即可得出結(jié)果;(3)根據(jù)自變量的范圍,先確定的范圍及單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),推出函數(shù)與直線有兩不同交點(diǎn),進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù),在同一周期內(nèi),當(dāng)時(shí),取得最大值3;當(dāng)時(shí),取得最小值,,,則,所以;又,所以,解得,又,所以,因此;(2)由,解得,∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為;(3)由,解得,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增;所以,,,又有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程有兩不等實(shí)根,即函數(shù)與直線有兩不同交點(diǎn),因此,只需,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:已知含三角函數(shù)的函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),一般需要分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與參數(shù)對(duì)應(yīng)的直線交點(diǎn)問題求解,利用三角函數(shù)的性質(zhì),確定其在給定區(qū)間的單調(diào)性與最值等,即可求解(有時(shí)需要利用數(shù)形結(jié)合的方法求解).19、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)傾斜角得到斜率,再由點(diǎn)斜式,即可得出結(jié)果;(2)分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求出三角形面積.【詳解】(1)∵傾斜角為,∴斜率,∴直線的方程為:,即;(2)由(1)得,令,則,即與軸交點(diǎn)為;令,則,以及與軸交點(diǎn)為;所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.20、(1)詳見解析(2)【解析】(1)證明函數(shù)單調(diào)性可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義取值,作差變形,定號(hào)從而寫結(jié)論(2)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)所以(3)由.故,∴試題解析:(1)設(shè),則.∵函數(shù)是增函數(shù),又,∴,而,,∴式.∴,即是上的增函數(shù).(2)∵對(duì)

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