湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)值為（）A. B.C.1 D.22．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.44．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日5．設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.46．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.7．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.8．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.410．某市要對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在[20,45]歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲11．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.4812．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則___________.14．已知函數(shù)在處有極值．則=________15．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為___________.16．已知數(shù)列滿足，則＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.18．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與相切，求的方程.19．（12分）（1）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭(zhēng)奪100m、400m、800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？20．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.21．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過(guò)地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)12站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)12站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？22．（10分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量共線有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)即可求的值.【詳解】由題設(shè)，有，，則，可得.故選：D2、C【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以有，解得故選：C.3、A【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所?故選：A4、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，分析首次達(dá)到1萬(wàn)元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個(gè)月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元.故選：C5、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.6、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來(lái)觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律7、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C8、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A9、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.10、C【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為計(jì)算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據(jù)位于的頻率為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算原理來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題11、C【解析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C12、D【解析】利用給定的通項(xiàng)公式直接計(jì)算即得.【詳解】因數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則有，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】利用計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故答案為：8.14、4【解析】根據(jù)極值點(diǎn)概念求解【詳解】，由題意得，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故答案為：415、【解析】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.16、4【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得值.【詳解】因?yàn)?，所以，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練運(yùn)用相應(yīng)的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的斜率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，∴，由韋達(dá)定理得，∴.18、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問(wèn)1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.19、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（2）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（3）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有（種）報(bào)名方法（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此100m項(xiàng)目有4種選法，400m項(xiàng)目有3種選法，800m項(xiàng)目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有（種）（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有（種）可能的結(jié)果20、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.21、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據(jù)共付費(fèi)6元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，再確定人與乘坐站數(shù)，即可得結(jié)果；（2）先根據(jù)共付費(fèi)8元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數(shù).【小問(wèn)1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，又付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問(wèn)2詳解】甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元；當(dāng)甲付費(fèi)2元，乙付費(fèi)6元時(shí)，甲乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數(shù)有8，9，10，11，12五種選擇，此時(shí)，共有35=15（種）方案；當(dāng)兩人都付費(fèi)4元時(shí)，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.22、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）選條件①③，設(shè)，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即