遼寧省凌源市第三高級中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析_第1頁
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遼寧省凌源市第三高級中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知正方體的棱長為2,點在線段上,且,平面經(jīng)過點,則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.3.展開式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12804.設遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.5.已知實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.6.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.7.已知雙曲線:(,)的焦距為.點為雙曲線的右頂點,若點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.38.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.10.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球,從中任取3個編號不同的球,則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.11.設,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.12.正項等比數(shù)列中,,且與的等差中項為4,則的公比是()A.1 B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為,,(且),則__________.14.過拋物線C:()的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點,過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M,若,則l的斜率為______.15.設等比數(shù)列的前項和為,若,則數(shù)列的公比是.16.已知的展開式中含有的項的系數(shù)是,則展開式中各項系數(shù)和為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若數(shù)列前n項和為,且滿足(t為常數(shù),且)(1)求數(shù)列的通項公式:(2)設,且數(shù)列為等比數(shù)列,令,.求證:.18.(12分)已知二階矩陣A=abcd,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α119.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.21.(12分)設函數(shù),是函數(shù)的導數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.22.(10分)設函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎題.2、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個平面,因為平面平面,所以,同理,所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項,第二個括號里出項,或者第一個括號里出,第二個括號里出,具體為:化簡得到-1280x2故得到答案為:A.【點睛】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).4、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎,注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.6、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當且僅當,即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.7、A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎.8、D【解析】

試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點:平面與平面的位置關系,平面的基本性質(zhì)及其推論.9、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.10、B【解析】

由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應用,考查了學生綜合分析,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域,由目標函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當過點時,取得最大值.由得:,故選:D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎題.12、D【解析】

設等比數(shù)列的公比為q,,運用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式,以及等差數(shù)列的中項性質(zhì),解方程可得公比q.【詳解】由題意,正項等比數(shù)列中,,可得,即,與的等差中項為4,即,設公比為q,則,則負的舍去,故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的應用,其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式,合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關鍵,著重考查了方程思想和運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進而求得,再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運算,屬于基礎題.14、【解析】

分別過A,B,N作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A,B,N作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因為,所以,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關系即可求解,屬于較易題目.15、.【解析】

當q=1時,.當時,,所以.16、1【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得:,解得,令得:展開式中各項系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開式的通項,令,得含有的項的系數(shù)是,解得,令得:展開式中各項系數(shù)和為,故答案為:1.【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析【解析】

(1)利用可得的遞推關系,從而可求其通項.(2)由為等比數(shù)列可得,從而可得的通項,利用錯位相減法可得的前項和,利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】(1)由題意,得:(t為常數(shù),且),當時,得,得.由,故,,故.(2)由,由為等比數(shù)列可知:,又,故,化簡得到,所以或(舍).所以,,則.設的前n項和為.則,相減可得【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關系式,我們常利用這個關系式實現(xiàn)與之間的相互轉化.數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式,如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項求和法.18、A=【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩陣【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣,只需運用定義得出方程組即可求出結果,較為簡單19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)取BC的中點O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結果.【詳解】(1)取BC的中點O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設,是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則,,,設平面的一個法向量為,則,令,則,又平面的一個法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題,涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.20、(1)(2)【解析】

(1)當時,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,所以,解得,當時,,函數(shù)的圖象與軸沒有交點,不符合題意;當時,,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,符合題意.綜上,可得.21、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點;(2)由題意可將轉化為,構造函數(shù),利用導數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設,則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當時,,,這時,又函數(shù)是奇函數(shù),所以當時,.綜上,當時,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點.(2),由,所以恒成立,若,則,設,.故當時,,又,所以當時,,滿足題意;當時,有,與條件矛盾,舍去;當時,令,則,又,故在區(qū)間上有無窮多個零點,設最小的零點為,則當時,,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當時,,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式的應用

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