【矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用探究（論文）6200字】

矩陣的特征值與特征向量的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\z\u中文摘要 1英文摘要 21引言 31.1本課題研究背景、目的和意義 31.2研究現(xiàn)狀 32矩陣的特征值、特征向量的定義及其性質(zhì) 52.1特征值與特征向量的定義 52.2特征值與特征向量的性質(zhì) 53特征值和特征向量的求解方法 83.1一般求解法 83.2初等變換法 114矩陣的特征值與特征向量反問題 154.1特征值、特征向量反問題定義 154.2反問題求解A的方法 155特征值與特征向量的應(yīng)用 185.1高階解 185.2在實(shí)際生活中的應(yīng)用 19結(jié)論 22參考文獻(xiàn) 24-6-摘要：在本課題中，我研究的是高等代數(shù)的一個(gè)重要部分，那就是矩陣的特征值和特征向量，它們?cè)诶碚撗芯亢腿粘?shí)踐中都起著重要的作用。在本課題中，我首先簡要介紹了矩陣的特征值，以及特征向量的定義和性質(zhì)，然后詳細(xì)描述了求解特征值和特征向量的方法，并對(duì)已知特征值和特征向量，給出了逆解矩陣A的問題，以及解決反問題的方法，最后根據(jù)以上內(nèi)容應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量。關(guān)鍵詞：矩陣；特征值；特征向量；初等變換1引言1.1本課題研究背景、目的和意義數(shù)學(xué)與各個(gè)領(lǐng)域之間有著無窮無盡的聯(lián)系。要研究其自身，我們需要使用數(shù)學(xué)工具來分析和解決問題，以提出迫切需要的最佳解決方案。矩陣的特征值和特征向量，它們是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，也是解決高級(jí)數(shù)學(xué)研究問題的工具。它被用于許多學(xué)科，并且在現(xiàn)實(shí)生活中，許多問題可以用矩陣抽象地表示。矩陣是數(shù)學(xué)內(nèi)容中重要的基本概念之一，矩陣是代數(shù)研究的對(duì)象，數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的重要工具之一便是矩陣。矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分就包含了矩陣的特征值和特征向量。它們?cè)诟叩却鷶?shù)和其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中具有重要地位。同時(shí)，特征值和特征向量貫穿了高等代數(shù)的許多重要方面。通過該課題的研究，會(huì)深化了我們對(duì)高等代數(shù)各部分的理解，因此我們對(duì)高等代數(shù)的相關(guān)理論有了更加深入的理解。矩陣特征值和特征向量的理論研究和應(yīng)用不僅對(duì)理解相關(guān)課程有很大的幫助，而且在理論上也非常重要。它可以直接應(yīng)用于解決實(shí)際問題?，F(xiàn)在，矩陣已成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，并且矩陣特征值和特征向量的應(yīng)用變得多種多樣。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中廣泛使用，而且在現(xiàn)實(shí)生活中也廣泛使用。1.2研究現(xiàn)狀2019年，劉紅梅發(fā)表《基于特征值與特征向量的應(yīng)用研究》，在這給出了特征值和特征向量的相關(guān)性質(zhì)，以及特征值和特征向量的應(yīng)用。還介紹了特征值與特征向量反問題的研究[4]。陳玉文等人在2019年介紹了線性代數(shù)的基本內(nèi)容和方法，盡量避開繁瑣的理論證明，詳細(xì)描述了矩陣及行列式的相關(guān)理論和方法；最重要的是介紹矩陣特征值和特征向量的概念[1]。2019年，周琴在《矩陣特征值和特征向量在實(shí)際中的應(yīng)用及其實(shí)現(xiàn)》中闡述了矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要內(nèi)容：這些是矩陣的特征值與特征向量,它們也經(jīng)常用于實(shí)際問題中；研究了矩陣的特征值和特征向量在預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用[15]。2018年，張亞發(fā)表了《矩陣的特征值與特征向量及其應(yīng)用》，它包含特征值和特征向量的概念和屬性，以及如何找到和求出特征值和特征向量。[14]。2009年，趙院娥，李順琴發(fā)表了《矩陣的特征值和特征向量》，在這里面具體介紹了幾類矩陣和它的一些特征值相關(guān)問題。并且闡述了兩種n階矩陣的高次冪的求解。最后，給出了一種解決矩陣特征值與特征向量反問題的方法,并將其適當(dāng)?shù)貜V泛應(yīng)用于實(shí)例當(dāng)中[13]。2008年，劉英杰發(fā)表《矩陣的特征值和特征向量及其應(yīng)用》，他在處理特征值和特征向量，以及在它們的應(yīng)用方面做了大量工作，還進(jìn)行了各種的專題研究和深入探討，并為相關(guān)定理提供了具體的例子和解決辦法[5]。2008年，王英瑛發(fā)表了《矩陣特征值和特征向量求法的探討》，其中她充分利用了矩陣的初等變換理論，進(jìn)行了詳細(xì)的理論描述和分析[9]。2006年，黃金偉發(fā)表了《矩陣的特征值與特征向量的簡易求法》，其中提出了一種簡單的方法———求解矩陣特征值和特征向量：“列初等變換法”[10]。本文的研究課題集中性地匯集了前人的理論研究觀點(diǎn)和實(shí)踐案例研究，進(jìn)一步地重新展開了矩陣?yán)碚摰姆治雠c實(shí)踐研究，主要內(nèi)容介紹了矩陣的特征值和特征向量的定義、基本性質(zhì)、它們的求解方法，和矩陣特征值與特征向量的反問題，以及特征值和特征向量在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和實(shí)際生活中的應(yīng)用。2矩陣的特征值、特征向量的定義及其性質(zhì)2.1特征值與特征向量的定義定義1設(shè)為階方陣，假如存在常數(shù)，和維非零列向量,使得（1）那么，常數(shù)則稱為階方陣的特征值，維非零列向量，稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量[1].2.2特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1如果和都是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，那么也是的對(duì)應(yīng)于的特征向量。（其中，是任意常數(shù)，且）[2]。證明由于，是齊次線性方程組，的解，因此也屬于上面式子的解。所以當(dāng)時(shí)，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量。性質(zhì)2如果都是矩陣的異特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，那么…，線性無關(guān)[2]。性質(zhì)3若是的重特征值，則對(duì)應(yīng)的特征值，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,于是[3]。性質(zhì)4若的特征值為，則=+…+，[3]。性質(zhì)5實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值皆是實(shí)數(shù)，實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交[3]。性質(zhì)6假如是矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量，則(1)是的特征值（是任意常數(shù)）;(2)是的特征值（是正整數(shù)）;(3)當(dāng)可逆時(shí)，,為的特征值;且仍是矩陣,,的，分別對(duì)應(yīng)于特征值，，的特征向量[4]。證明（1）因?yàn)槭堑膶儆诘奶卣飨蛄?，即是方程的非零解，所以有且，要證方程有非零解，因?yàn)榍?，所以是方程的非零解，即是的特征值。證明（2）即再繼續(xù)上述步驟次，就得。證明（3）當(dāng)可逆時(shí)，，由可得，因此，所以是的特征值。性質(zhì)7矩陣與特征值相等[4]。證明因?yàn)橛炙砸虼耍珹和有完全相等的特征值。性質(zhì)8矩陣具有可逆性的充要條件是：的所有特征值非零[5]。性質(zhì)9哈密頓-凱萊定理設(shè)是數(shù)域上一個(gè)矩陣，是的特征多項(xiàng)式，則[6]。證明設(shè)是的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，可得因?yàn)榫仃嚨脑貫榈拿總€(gè)代數(shù)余子式，都是的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過.因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，可以寫成其中都是階數(shù)字矩陣.再設(shè)則(1)而(2)比較（1）和（2），得(3)以依次從右邊乘（3）的第一式，第二式，…，第式，第式，得(4)把（4）的個(gè)式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為.故,得證.性質(zhì)10假設(shè)為矩陣的特征值，為多項(xiàng)式函數(shù)，則為矩陣多項(xiàng)式的特征值[7]。

3特征值和特征向量的求解方法3.1一般求解法以下就是特征值和特征向量的一般解決方法：求解特征多項(xiàng)式=0的全部根就是A的全部特征值；對(duì)任意一個(gè)特征值求解出它的齊次線性方程組，得出一個(gè)基礎(chǔ)解系，此基礎(chǔ)解系就是的屬于的特征向量，所以的屬于的全部特征向量就是，其中是不全為零的常數(shù)[7].例1求解矩陣A=的特征值和特征向量.解：由題得：特征多項(xiàng)式為：|λE–A|=?1?2?2?2?1?2?2?2?1=(+1所以特征值為-1和5.將特征值-1代入齊次方程組?1得到?2它的基礎(chǔ)解系是.所以屬于-1的特征向量就是（不全為零）.再用特征值5代入，就得到4它的基礎(chǔ)解系是.屬于5的特征向量是，是數(shù)域中任意不等于零的數(shù).例2求矩陣的特征值與特征向量.解：由題得：特征多項(xiàng)式為：.得特征值為0(二重)，1，.將特征值0代入齊次方程組得到它的基礎(chǔ)解系是.所以屬于0的特征向量就是（不全為零）.再將特征值1代入，就得到它的基礎(chǔ)解系是.屬于1的特征向量為（）.將代入齊次方程組，得到它的基礎(chǔ)解系是.屬于的特征向量為（）.

3.2初等變換法矩陣的初等變換即特指下列三種變換：調(diào)換矩陣中兩行（列）的位置，記作;將一個(gè)非零的數(shù)k乘以矩陣中某一行(列)的所有元素,記作;將某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，記作，[8].這就是矩陣的初等變換（行初等變換和列初等變換）.定理1設(shè)是一個(gè)階方陣，為待求特征值，若對(duì)矩陣施行一系列的行初等變換，可得到上三角矩陣，令主對(duì)角線上的元素的乘積為零，矩陣的特征值即為求得的值[9].定理2若對(duì)矩陣進(jìn)行一系列行初等變換，把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)階梯型的矩陣，與此同時(shí)對(duì)一個(gè)單位矩陣，進(jìn)行同樣的變換，使得[]，其中，為滿秩的矩陣，中的個(gè)維行向量，它的轉(zhuǎn)置，就是矩陣A的屬于特征值的特征向量[9].例1求矩陣特征值與特征向量。解：~令的主對(duì)角線元素乘積為零，即，可得出特征值為，.當(dāng)時(shí)，,于是對(duì)應(yīng)的特征向量為所以的屬于全部的特征向量為，其中不全為零的常數(shù)；當(dāng)λ3=-5時(shí)于是λ3=-5對(duì)應(yīng)的特征向量為.所以A的屬于λ3=-5的特征向量為，其中不為零.定理3設(shè)是階方陣，為階單位矩陣，為待求特征值。若對(duì)矩陣施行一系列列初等變換，可得到下三角矩陣，則令的主對(duì)角線元素乘積為零，求得的值，即為矩陣的特征值[10]。定理4對(duì)矩陣施行一系列列初等變換，化為階梯型，同時(shí)對(duì)單位矩陣也施行相應(yīng)的變換，即存在階可逆矩陣，使得其中為滿秩矩陣，則分塊矩陣的個(gè)維列向量，就是矩陣的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量[10]。例2求矩陣的特征值與特征向量。解：使得主對(duì)角元素乘積為零，即，所以可看出特征值.將代入，可得：,可以得出對(duì)應(yīng)的特征向量為然后再將代入，可得：可得出特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為

4矩陣的特征值與特征向量反問題4.1特征值、特征向量反問題定義定義：矩陣特征值反問題的求解，就是根據(jù)已知矩陣的特征值或者特征向量來決定矩陣中的元素[11]。4.2反問題求解A的方法1已知矩陣的全部特征值和特征向量，求矩陣定理一當(dāng)矩陣A有個(gè)互不相同的特征值時(shí)，A必有n個(gè)特征向量，那么矩陣A必可對(duì)角化，即，這里B為由矩陣A的特征值所構(gòu)成的對(duì)角矩陣，可逆矩陣P由A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成[11],由上面內(nèi)容可得，。所以.例1設(shè)三階方陣A的特征值是對(duì)應(yīng)的特征向量分別是,求解A.解:因?yàn)槭蔷仃嘇對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,所以有,令所以則有AP=PB,其中所以由上式可得：2已知實(shí)對(duì)稱矩陣的部分特征值和特征向量，求矩陣?yán)眯再|(zhì)5，這類問題的解題步驟為：設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的個(gè)不同特征值，已知屬于特征值的特征向量為（，若為重根，那么可能會(huì)多一個(gè)特征向量），設(shè)屬于特征值的特征向量為,則由對(duì)稱矩陣性質(zhì)知：解這個(gè)方程組，可得到特征值的特征向量，進(jìn)而求得實(shí)對(duì)稱矩陣[12]。例2三階的實(shí)對(duì)稱矩的特征值是6、3、3,已知和6對(duì)應(yīng)的特征向量是,求解.解:（1）首先我們要求矩陣的分別屬于齊次線性方程組特征值3的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.由性質(zhì)5，知：都正交，即有，也即是齊次線性方程組的兩個(gè)線性無關(guān)解，其系數(shù)矩陣是，它的秩為1，于是，于是上述方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是，取其為.(2)把向量組予以正交化，得.(3)分別再把向量單位化，得令，則為正交矩陣，并有所以.5特征值與特征向量的應(yīng)用5.1高階解當(dāng)n階矩陣A可對(duì)角化時(shí)，即矩陣A可與對(duì)角陣相似時(shí)，計(jì)算其高次冪由簡單的方法，當(dāng)n階矩陣A其滿足下面的三個(gè)條件之一時(shí)，即可對(duì)角化，即,階矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量;階矩陣有個(gè)互不相等的特征值;為實(shí)對(duì)稱矩陣.對(duì)來說，其中，它由A的n個(gè)特征向量構(gòu)成.A的n個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣是，有，其中[13].例1已知矩陣，求（k是一個(gè)正整數(shù)）解：從題中可以看出，A是一個(gè)對(duì)稱矩陣，所以可以利用上面所述方法計(jì)算，通過特征值的解法，可以得出矩陣A的特征值為，設(shè)特征向量是，故對(duì)角矩陣為，，且.又，則5.2在實(shí)際生活中的應(yīng)用1為了探討某個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和環(huán)境的污染之間的關(guān)系,可建立以下數(shù)學(xué)模型:[14]設(shè)分別為此地區(qū)當(dāng)前的環(huán)境污染水平以及經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平,分別是這個(gè)地區(qū)若干年以后環(huán)境污染和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的水平,這兩者之間有下述的關(guān)系:令∴由上可以得出：.那么，經(jīng)濟(jì)發(fā)展與污染的增長模型是令∴以上所描述關(guān)系的矩陣形式是∴從由上面的式子可以得到:（*）從矩陣A的特征多項(xiàng)式可以輕松得到A的特征值是對(duì)于,可解方程得特征向量對(duì)于,可解方程得特征向量顯而易見,線性無關(guān)，那便可以分為以下三種情況作討論:假設(shè)1:從（*）和它的性質(zhì)可以知道即或從上述的式子可以看出:我們可以預(yù)測(cè)多年來該區(qū)域的水平。環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平在目前的條件下,年后,當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平非常高的時(shí)候，環(huán)境污染也同樣保持著惡化趨勢(shì).假設(shè)2:∵,∴可以不用討論此種情況.假設(shè)3:∵不是特征值,∴不能進(jìn)行類似的分析,但是可以由唯一的線性表達(dá)出來由（*）式和特征值與特征向量它們的性質(zhì)可以得到:也就是從上述式子可以預(yù)測(cè)出：這個(gè)地區(qū)年后的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的水平.因?yàn)闆]有實(shí)際的意義，所以在假設(shè)2中沒有作相關(guān)討論，但是，它在假設(shè)3中的討論中起到了重要作用.由增長模型可以得出，矩陣的特征值與特征向量在模型的分析與實(shí)際生活中已被成功的應(yīng)用.2設(shè)某中小城市，及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬人從事農(nóng)、工、商工作，假設(shè)這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)一直保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，6萬人經(jīng)商；在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商；在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工?，F(xiàn)想預(yù)測(cè)一、二年以后，從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)。若用三維向量表示第年后，從事這三種職業(yè)人員總數(shù)，則已知。而欲求并考察在時(shí)的發(fā)展趨勢(shì)。依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員綜述應(yīng)為即以代入上式，可得即一年后，從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為：12.9萬、9.9萬、7.2萬人。以及即兩年后，從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為：11.73萬、10.23萬、8.04萬人。進(jìn)而推得也就是年后從事各業(yè)人員的人數(shù)是由所決定的[15]。結(jié)論高等代數(shù)的一個(gè)重要部分是矩陣。特征值和特征向量的問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，特征值和特征向量具有許多特定的應(yīng)用。在本課題中，尋找必要的信息并在老師的指導(dǎo)下，我總結(jié)了特征值和特征向量的應(yīng)用：首先，我簡要概述了特征值和特征向量的定義和性質(zhì)，并研究了特征值和特征向量的兩種解法：即一般解法和初等變換法，以及給出了相應(yīng)的示例，并給出了求解過程。其次本課題致力于解決特征值和特征向量及其在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，給出了解決高階矩陣的應(yīng)用。由此，如果知道對(duì)于高階的矩陣可對(duì)角化，那么就會(huì)存在簡便算法。在實(shí)際生活中，給出經(jīng)濟(jì)增長和環(huán)境污染及預(yù)測(cè)分析的應(yīng)用，將通過具體示例來說明這兩個(gè)應(yīng)用。最終，我們可以得出結(jié)論，特征值和特征向量不僅在數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用，而且在諸如實(shí)際生活等其他領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用。因此，矩陣的特征值和特征向量對(duì)于廣泛討論很有價(jià)值。

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