第二章自動(dòng)控制原理v

機(jī)械與電子工程學(xué)院西北農(nóng)林科技大學(xué)楊兵力機(jī)械工程控制基礎(chǔ)11/1/2024第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型MathematicalmodelofLinearSystem11/1/2024引言1——為什么要建立數(shù)學(xué)模型控制理論研究的問題是：

1.一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)有哪些性質(zhì)和特征？

——系統(tǒng)的分析2.怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使它的運(yùn)動(dòng)具有給定的性質(zhì)和特征？

——系統(tǒng)的綜合和設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)——泛指一切物理量隨時(shí)間的變化。自然界各種物理系統(tǒng)的相似性

——所有運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)均可用微分方程描述

——建立描述控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是控制理論的基礎(chǔ)引言11/1/2024引言2——為什么要建立數(shù)學(xué)模型從工程角度看，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程和解出方程以及得出描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的曲線不是目的，而是要解決諸如以下的問題：

這些曲線有沒有什么共同性質(zhì)？系統(tǒng)參數(shù)值的波動(dòng)對(duì)曲線有什么影響？怎樣修改系統(tǒng)的參數(shù)值甚至系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)才能改進(jìn)這些曲線，使之滿足工程要求的性質(zhì)？

——建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型則是研究和解決這些問題的第一步。引言11/1/2024引言3——有關(guān)數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型的定義

—控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的形式

—有輸入—輸出模型和狀態(tài)空間模型兩種。其中，輸入輸出模型又有多種形式，它們各有特長和最適用的場(chǎng)合?！鞣N數(shù)學(xué)描述方法的共同基礎(chǔ)是微分方程。數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性的關(guān)系—在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的過程中，我們必須在模型的簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性之間作出折中的考慮。引言11/1/2024

本章內(nèi)容簡(jiǎn)介線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型—討論描述線性控制系統(tǒng)的微分方程的建立控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型—討論用Laplace（拉普拉斯）變換為工具來描述線性控制系統(tǒng)，即傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖—討論描述線性控制系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形法引言11/1/2024

2.1線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

—微分方程Unit1Time-domainmodelofLinearSystem─DifferentialEquations

11/1/2024本節(jié)內(nèi)容簡(jiǎn)介2.1.1列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法2.1.2線性定常系統(tǒng)2.1.3線性定常微分方程的求解2.1.4運(yùn)動(dòng)的模態(tài)2.1微分方程11/1/20242.1.1列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法現(xiàn)以例2-1的RC電路為例說明建立數(shù)學(xué)模型的方法2.1微分方程11/1/2024解：根據(jù)基爾霍夫定律可列寫出下列方程去掉中間變量，可以得到輸入輸出的微分方程2.1微分方程11/1/2024建立元件或環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟：確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量。

由系統(tǒng)原理線路圖畫出系統(tǒng)方塊圖。從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫變化（運(yùn)動(dòng)）過程中的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組。消去中間變量，得到輸出與輸入之間的微分方程。標(biāo)準(zhǔn)化，將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列，將其整理為具有一定物理意義的形式。2.1微分方程11/1/20242.1.2線性定常系統(tǒng)用線性定常微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)齊次性（均勻性、比例性）；可疊加性；頻率保持性。2.1微分方程11/1/20242.1.3線性定常微分方程的求解線性定常微分方程的求解方法有：—經(jīng)典法—拉氏變換法求解線性定常微分方程的步驟：對(duì)微分方程取拉氏變換——變?yōu)閟的代數(shù)方程由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式用部分分式分解的方法對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，就得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式。2.1微分方程11/1/2024

數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義

設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作

⑵拉氏變換基本定理線性定理位移定理

延遲定理

終值定理

2.1微分方程11/1/2024初值定理

微分定理

積分定理

⑶拉氏反變換F(s)化成下列因式分解形式：

a. F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為

2.1微分方程11/1/2024b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為

c.F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為

其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。2.1微分方程11/1/2024例2-2有一網(wǎng)絡(luò)，在開關(guān)S閉合前，電容上有初始電壓。求：當(dāng)開關(guān)瞬時(shí)閉合后，電容的端電壓。解：當(dāng)開關(guān)S瞬時(shí)閉合時(shí)，相當(dāng)于有階躍電壓輸入，列出微分方程為：2.1微分方程11/1/2024兩端進(jìn)行拉氏變換，可得解此代數(shù)方程，可得到2.1微分方程11/1/2024展開成部分分式對(duì)上試兩端求拉氏反變換，可得2.1微分方程11/1/2024結(jié)論：1.其解=零初始條件解+零輸入解2.解的兩部分的分母相同。3.解的兩部分具有相同的形式：4.運(yùn)動(dòng)模態(tài)的概念。2.1微分方程11/1/20242.1.4運(yùn)動(dòng)的模態(tài)——微分方程解的結(jié)構(gòu)

線性微分方程的解是一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解之和。其中齊次微分方程的解代表對(duì)象的自由運(yùn)動(dòng)，由微分方程的特征根所決定。2.1微分方程11/1/2024它的特征方程是特征方程的根是所以齊次微分方程的解就是現(xiàn)以例來說明運(yùn)動(dòng)模態(tài)的概念，設(shè)系統(tǒng)的齊次微分方程為

運(yùn)動(dòng)的模態(tài)（1）2.1微分方程11/1/2024運(yùn)動(dòng)的模態(tài)（2）這里，系數(shù)C1和C2是由初值決定的一組實(shí)常數(shù)，任意給定一組初值，必可確定唯一的一組實(shí)系數(shù)C1、C2。反之，任意給定一組實(shí)系數(shù)C1、C2。就確定了一解。2.1微分方程11/1/2024第一，任意兩個(gè)形如（2）的解之和必仍是一個(gè)解。也即，齊次微分方程（1）的所有的解的全體在實(shí)數(shù)域上構(gòu)成向量空間。亦即一個(gè)控制系統(tǒng)的所有的自由運(yùn)動(dòng)的全體，在實(shí)數(shù)域上構(gòu)成向量空間。第二，齊次微分方程（1）的任何一個(gè)解總可表為這兩個(gè)函數(shù)的線性組合：由此，可得出三項(xiàng)重要的結(jié)論：所以，是齊次微分方程的一個(gè)基本解組。2.1微分方程11/1/2024運(yùn)動(dòng)的模態(tài)（3）第三，我們把這一組函數(shù)稱為齊次微分方程（1）的運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。一般說，如果微分方程的特征根是

1，2，…

n，其中沒有重根，則把函數(shù)定義為該微分方程所描述的運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。基本解組或基不是唯一的，而模態(tài)是唯一的。模態(tài)也叫振態(tài)。每一種模態(tài)代表一種類型的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。下面，我們給出了運(yùn)動(dòng)模態(tài)的五種形式。2.1微分方程11/1/2024Y(t)=Ce-λt特征根分布圖：0-λj0運(yùn)動(dòng)模態(tài)1特征根為負(fù)實(shí)數(shù)-

2.1微分方程11/1/2024Y(t)=Ce-σtsin(ωt+α)特征根分布圖：運(yùn)動(dòng)模態(tài)20-σjω特征根為共軛復(fù)根

=j2.1微分方程11/1/2024Y(t)=Csin(ωt+α)特征根分布圖：運(yùn)動(dòng)模態(tài)30jω0特征根為一對(duì)共軛虛根

=j2.1微分方程11/1/2024Y(t)=Ceatsin(bt+α)特征根分布圖：0ajb0運(yùn)動(dòng)模態(tài)4特征根為共軛復(fù)根

=ajba>02.1微分方程11/1/2024Y(t)=Ceat特征根分布圖：0aj0運(yùn)動(dòng)模態(tài)5特征根為正實(shí)數(shù)a2.1微分方程11/1/2024運(yùn)動(dòng)模態(tài)總結(jié)j0j0j0j0j02.1微分方程11/1/20242.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

Unit2

Linearizationofnonlinearmathematical

model11/1/2024非線性數(shù)學(xué)模型的線性化我們以【例2-3】為例說明非線性微分方程的線性化方法。

【例2-3】已知電加熱爐的方程為其中輸入為加熱電壓u，輸出為爐溫θ，Ｒ為熱阻，Ｃ為熱熔，r為電阻絲電阻。試求非線性微分方程在工作點(diǎn)附近的線性化方程。2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024非線性方程的線性化方法：設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為，在工作點(diǎn)處展成泰勒級(jí)數(shù)為：

當(dāng)很小時(shí)，可忽略上式中二次以上各項(xiàng)，則有：2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024或令則可得線性化增量方程為：即得到函數(shù)在工作點(diǎn)附近的線性化方程為和2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024【例2-3】解：設(shè)穩(wěn)定工作點(diǎn)為，其穩(wěn)態(tài)方程為將在附近展成泰勒級(jí)數(shù)，則2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024將上式代入原方程中，并用工作點(diǎn)值與增量之和表示瞬時(shí)值，得用上式減去穩(wěn)態(tài)方程，得以增量表示的線性化方程2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024非線性微分方程的線性化小結(jié)將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化。小偏差線性化：非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)上是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。幾何意義：以過平衡點(diǎn)（工作點(diǎn)）的切線代替工作點(diǎn)附近的曲線。2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/2024說明：A.線性化時(shí)各自變量在工作點(diǎn)X0處必須有各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在,如圖所示的繼電器特性,X0的各界導(dǎo)數(shù)處處不存在，本質(zhì)非線性；B.必須明確工作點(diǎn)的參數(shù)；C.如果非線性運(yùn)動(dòng)方程較接近線性時(shí)，則線性化運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于變量的增量在較大范圍適用，反之，只能適用于變量的微小變化。繼電器特性X02.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化11/1/20242.3線性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型

—傳遞函數(shù)

Unit3TransferFunctionofControlSystem11/1/2024本節(jié)內(nèi)容簡(jiǎn)介2.3.1

傳遞函數(shù)的定義2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)2.3.3

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)2.3.4

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)11/1/20242.3.1傳遞函數(shù)的定義這一節(jié)我們用Laplace變換建立一種新的數(shù)學(xué)模型，即傳遞函數(shù)，并用傳遞函數(shù)來研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。為什么我們要用傳遞函數(shù)來表示控制系統(tǒng)呢？2.3傳遞函數(shù)11/1/2024以例2-6為例說明傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，對(duì)方程兩邊取拉氏變換：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024傳遞函數(shù)的定義定義：在零初值條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的定義是以s為自變量的函數(shù)，這里s就是Laplace變換所用的復(fù)變量：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024我們稱s為復(fù)頻率，稱s的虛部為（角）頻率。所以傳遞函數(shù)是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。它具有復(fù)變函數(shù)理論所闡明的一切性質(zhì)。傳遞函數(shù)包含了微分方程的全部系數(shù)，所以它是與微分方程這種數(shù)學(xué)模型相通的。但從形式上說，傳遞函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是一個(gè)方程。一方面，給我們帶來運(yùn)算上和作圖上的許多方便，另一方面，也帶來了分子分母之間相消問題。2.3傳遞函數(shù)11/1/2024自變量分析法數(shù)學(xué)形式微分方程時(shí)間t時(shí)間域分析法方程傳遞函數(shù)復(fù)頻率s頻率域分析法函數(shù)微分方程和傳遞函數(shù)的區(qū)別：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，

ai(i=1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

傳遞函數(shù)的推導(dǎo)過程2.3傳遞函數(shù)11/1/2024即有則，這個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為對(duì)微分方程兩端取拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的大小和形式無關(guān)；傳遞函數(shù)只反應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性；傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s的有理分式，即它的分母多項(xiàng)式s的最高階次n總大于或等于其分子多項(xiàng)式s的最高階次m；2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)2.3傳遞函數(shù)11/1/2024傳遞函數(shù)與微分方程有相通性；傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是單位脈沖響應(yīng)g(t)。單位脈沖響應(yīng)（單位脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。2.3傳遞函數(shù)11/1/2024傳遞函數(shù)的求取方法以RC電路為例說明系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求法。解：（1）根據(jù)電路定理列出原始方程；

2.3傳遞函數(shù)11/1/2024（2）在零初始條件下，對(duì)每個(gè)方程兩邊取拉氏變換，得：（3）消去中間變量，化簡(jiǎn)得：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024

為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也即微分方程的特征根。因此，它決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。為傳遞系數(shù)或根軌跡增益1）傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的定義2.3.3傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)2.3傳遞函數(shù)11/1/20242）傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)于運(yùn)動(dòng)的影響自由運(yùn)動(dòng)：在輸入量為零時(shí)的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)：在有輸入量作用的情況下的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，它們決定了微分方程的自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。設(shè)某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：2.3傳遞函數(shù)11/1/2024傳遞函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于運(yùn)動(dòng)的影響設(shè)兩個(gè)對(duì)象的傳遞函數(shù)分別是：在零初始條件下，它們的單位階躍響應(yīng)分別是：結(jié)論：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)影響到各模態(tài)在運(yùn)動(dòng)中所占的“比重”。從工程角度來看，決不能認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)唯一地或主要地由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定，必須注意到零點(diǎn)的作用。2.3傳遞函數(shù)11/1/2024任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1放大環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。式中，K為常數(shù)，稱為放大系數(shù)或增益。放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：2.3.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)放大環(huán)節(jié)的微分方程為

2.3傳遞函數(shù)11/1/20242積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。積分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為2.3傳遞函數(shù)11/1/20243理想微分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。理想的微分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。2.3傳遞函數(shù)11/1/20244慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。2.3傳遞函數(shù)11/1/20245一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為2.3傳遞函數(shù)11/1/20246二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為2.3傳遞函數(shù)11/1/2024式中ξ－阻尼比

-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。2.3傳遞函數(shù)11/1/20247二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為2.3傳遞函數(shù)11/1/20242.4結(jié)構(gòu)圖

Unit4BlockDiagrams

ofControlSystem11/1/2024本節(jié)內(nèi)容簡(jiǎn)介2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制2.4.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡(jiǎn)2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20242.4.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)Y(S)-C(S)(S)F(S)1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含四個(gè)基本單元：方框信號(hào)線比較點(diǎn)取出點(diǎn)2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024（2）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。信號(hào)線2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024（3）比較點(diǎn)（合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）SummingPoint

兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減。“+”號(hào)可省略不寫。注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量綱。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024(4)引出點(diǎn)（分支點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）BranchPoint

表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的相關(guān)概念定義：應(yīng)用函數(shù)框圖、引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，將控制系統(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來，以描述信號(hào)在系統(tǒng)中流通的過程的圖示表示法。實(shí)質(zhì)：是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合，是數(shù)學(xué)模型的另一種表示法。它表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算。用途：1.進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算2.直觀了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、各部件之間的關(guān)系及作用3.可以方便地求出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20242系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制例：畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

解：（1）根據(jù)電路定理列出每個(gè)元件的方程：2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024（2）寫出每個(gè)方程對(duì)應(yīng)的拉氏變換式，（3）根據(jù)以上列出的4個(gè)式子作出對(duì)應(yīng)的框圖；（怎么繪制基本結(jié)構(gòu)圖？）（4）根據(jù)信號(hào)的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024由圖清楚地看到，后一級(jí)R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024另外也可以直接畫出該電路的運(yùn)算電路圖（如圖(b)），再列出方程式，而繪制出該系統(tǒng)的方框圖。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024如果在這兩極R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個(gè)輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-22所示。則此電路的方塊圖如圖(b)所示。

2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制方法1.分析系統(tǒng)，考慮負(fù)載效應(yīng)寫出系統(tǒng)各部件的運(yùn)動(dòng)方程2.對(duì)各部件的微分方程取Laplace變換，并將它們用方框（塊）表示。3.根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20242.4.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡(jiǎn)框圖的變換：用一個(gè)框圖去代替與只之等價(jià)的另一個(gè)框圖，其目的通常是為了把框圖化簡(jiǎn)?？驁D的三種基本連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋

在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜的系統(tǒng)主要由串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。等效變換的原則

1.前向通道中各串聯(lián)函數(shù)方框的傳函乘積保持不變；

2.各反饋回路所含函數(shù)方框的傳函之積保持不變。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024等效變換方法

通過移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)以及交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并，減少內(nèi)回路。2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024由圖2-24得通式：3、反饋連接圖2-252.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20241）負(fù)反饋連接2）正反饋連接例如4、引出點(diǎn)移動(dòng)1）引出點(diǎn)后移圖2-262.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20242）引出點(diǎn)前移5、綜合點(diǎn)移動(dòng)1）綜合點(diǎn)后移2）綜合點(diǎn)前移2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024右表列出了信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)等效變換的各種方法。

2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/202411/1/202484例題求圖2-35所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解將圖中引出點(diǎn)A后移，然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn)，其過程為圖2-36所示。圖2-352.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20248511/1/2024求傳遞函數(shù)圖2-37（a)圖2-37（b)EiEEo++－－R1C2s+－R1C2S+++---EiEo2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/2024圖2-37（c)圖2-23（d)圖2-37（e)EiEoEoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEo2.4結(jié)構(gòu)圖11/1/20242.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)如圖2-38所示,圖中R(s)—參數(shù)輸入,D(s)—擾動(dòng)圖2-3811/1/2024開環(huán)傳遞函數(shù)（1）系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號(hào)E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即(2）前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)D(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價(jià)于

C(s)與誤差E(s)之比2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024

從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024閉環(huán)傳遞函數(shù)令D(s)=0，則圖2-38變?yōu)閳D2-39圖2-391、參數(shù)輸入作用下的閉環(huán)傳函（1）閉環(huán)傳函CR（S）/R（S）2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024根據(jù)式（2-46）求得系統(tǒng)的輸出為如果H(s)=1，則圖2-31所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024請(qǐng)記住2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024（2）閉環(huán)傳函CE（S）/R（S）2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024令r(t)=0，把圖2-38改畫為圖2-40，由該圖求得2、擾動(dòng)D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)（1）閉環(huán)傳函CD（S）/D（S）-D(s)CD(s)H(s))(2sG)(1sG圖2-40輸出對(duì)擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024圖2-33（2）閉環(huán)傳函ED（S）/D（S）2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/2024當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到R(s)和D(s)作用時(shí)，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為系統(tǒng)總的誤差為2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)11/1/20242.6信號(hào)流圖與梅遜公式

信號(hào)流圖和框圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。因而信號(hào)流圖也是數(shù)學(xué)模型一種表示。

框圖及其等效變換雖然對(duì)分析系統(tǒng)很有效，但是對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡(jiǎn)過程往往顯得繁瑣、費(fèi)時(shí)，并易于出錯(cuò)。如采用信號(hào)流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。一、信號(hào)流圖及其等效變換11/1/2024x1信號(hào)流圖起源于S.J.Mason

利用圖示法來描述一個(gè)或一組線性代數(shù)方程式，它是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。dx4x3x2abce1fgx5例如，已知線性代數(shù)方程為：

信號(hào)流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來表示的方法。

1）基本概念2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024節(jié)點(diǎn)：用以表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，用 “o”表示。傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路：連接兩節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段稱為支路。源點(diǎn)：只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點(diǎn)（與系統(tǒng)的輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)）。x1x4x3x2abc12）信號(hào)流圖的常用術(shù)語:2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024阱點(diǎn)：只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)或輸出節(jié)點(diǎn)，與輸出信號(hào)相對(duì)應(yīng)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。通路：沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的通徑。開通路：如通路與任意節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱為開通路。閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024回路增益：回路中各支路增益之乘積叫回路增益。不接觸回路：回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，則稱其為不接觸回路。前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱為前向通路總增益。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/20241．節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)的變量，源點(diǎn)代表輸入量，阱點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，出支路的信號(hào)等于各支路信號(hào)的疊加。3）信號(hào)流圖的基本性質(zhì)2．支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024x1x4x3x2abc13．增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹罚梢园鸦旌瞎?jié)點(diǎn)化為阱點(diǎn)。4．對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。信號(hào)流圖和方框圖是一一對(duì)應(yīng)的，且可以互相轉(zhuǎn)化。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/20244）信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a4abX1X2X1X2

1.串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨e;2.并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?3.混合節(jié)點(diǎn)可以通過移動(dòng)支路的方法消去;4.回路可以根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024右表列出了信號(hào)流圖的等效變換規(guī)則:2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024信號(hào)流圖的繪制

1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖；

2）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024例題

方框圖化為信號(hào)流圖

試將下圖所示的系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖并進(jìn)行簡(jiǎn)化，求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解（a）所示的框圖可化為圖(b)所示的信號(hào)流圖，注意：框圖中比較環(huán)節(jié)的正負(fù)號(hào)在信號(hào)流圖中表現(xiàn)在支路傳輸?shù)姆?hào)上。圖2-30表示了信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化過程。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（總傳輸）為

2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/20242.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024例題2設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為繪制的步驟如圖2-43所示。圖2-43方程組的信號(hào)流程2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024二、梅遜增益公式梅遜公式用于計(jì)算輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間的總增益，它用下式表示2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/20242.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024圖2-45例1試用梅遜公式求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024解：1）2）2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024

利用梅遜公式求系統(tǒng)總傳輸時(shí),只要求出信號(hào)流圖中的n、Pk、

和

K,代入公式計(jì)算即可。例題2：試用梅遜公式計(jì)算下圖系統(tǒng)的總傳輸。2.6信號(hào)流圖與梅遜公式11/1/2024

=1-