專題10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【四大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分類加法計數(shù)原理的應用】 3【題型2分步乘法計數(shù)原理的應用】 3【題型3涂色問題】 4【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應用】 51、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義(2)能利用計數(shù)原理解決簡單的實際問題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對兩個計數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個計數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.【知識點1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理】1．分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.(2)分類的原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當?shù)姆诸悩藴?，然后利用這個分類標準進行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復也不能遺漏.3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數(shù)原理；分步→將問題分為幾個相互關聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計數(shù)原理.在解決有關計數(shù)問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應用.【知識點2分類、分步計數(shù)原理的解題策略】1．分類加法計數(shù)原理的解題策略分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復；(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.2．分步乘法計數(shù)原理的解題策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【方法技巧與總結(jié)】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.【題型1分類加法計數(shù)原理的應用】【例1】（2024·全國·模擬預測）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預測）平面上的兩個點A(x1，y1)，B(A．19 B．20 C．25 D．27【變式1-2】（2024·安徽·模擬預測）甲?乙等6名高三同學計劃今年暑假在A,B,C,D四個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲?乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（

）A．96種 B．132種 C．168種 D．204種【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在n個數(shù)碼1,2,?,nn≤9,n∈N*的全排列j1j2?jnA．19 B．20 C．21 D．22【題型2分步乘法計數(shù)原理的應用】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預測）已知x∈Z，y∈Z，則滿足方程xy+2024(x?y)=8092的解(x,y)的個數(shù)為（

）A．27 B．54 C．108 D．216【變式2-2】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種【變式2-3】（2024·海南·模擬預測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個區(qū)域填一個數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）ABCDEFA．20種 B．24種 C．36種 D．48種【題型3涂色問題】【例3】（2024·四川資陽·模擬預測）某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（

）A．360種 B．420種 C．480種 D．540種【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預測）為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成A,B,C,D,E五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，A，B，C，D為四個不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區(qū)域進行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A．18 B．17 C．16【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想.多用于哲學、中醫(yī)學和占卜方面.五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．30 B．120 C．150 D．240【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值有（

）A．30個 B．42個 C．41個 D．39個【變式4-1】（2024·河北·模擬預測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個.A．212 B．213 C．224 D．225【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式4-3】（2024高二·全國·專題練習）從正十五邊形的頂點中選出3個構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種一、單選題1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（

）A．112 B．80 C．64 D．322．（2024·陜西西安·三模）方程xy=2160的非負整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．123．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將自然常數(shù)e≈2.71828…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個數(shù)字，則小明可以設置的不同密碼種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．104．（2024·山東泰安·模擬預測）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（

）A．192種 B．180種 C．29種 D．15種5．（2024·四川成都·模擬預測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同學選擇的電影不相同的概率為（

）A．16 B．12 C．136．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由1+a?1+b的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來，以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區(qū)別的紅球、3個無區(qū)別的藍球、2個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（A．1+a+B．1+C．1+aD．1+7．（23-24高二上·山東德州·階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種8．（2024·四川南充·模擬預測）距高考30天之際，高三某班級五位同學打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學準備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風景區(qū)三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)為（

）A．18 B．36 C．48 D．32二、多選題9．（23-24高三下·全國·強基計劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開始走，每個點至多經(jīng)過一次，最終回到出發(fā)點．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（

）次．A．96 B．98 C．104 D．10210．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習）數(shù)學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（

）A．四位回文數(shù)有45個 B．四位回文數(shù)有90個C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個 D．2n+1（n∈11．（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（

）A．可以圍成20個不同的正方形B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個不同的三角形D．可以圍成16個不同的等邊三角形三、填空題12．（2024·湖南岳陽·模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是.13．（2024·河南濮陽·模擬預測）對一個四棱錐各個頂點著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種（用數(shù)字作答）．14．（2024·江蘇連云港·模擬預測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先各組進行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽場．四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習）分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號