專題9.2 用樣本估計(jì)總體（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題9.2用樣本估計(jì)總體【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1百分位數(shù)的求解】 3【題型2樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】 4【題型3總體集中趨勢的估計(jì)】 6【題型4總體離散程度的估計(jì)】 9【題型5分層方差問題】 13【題型6其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢與離散程度】 151、用樣本估計(jì)總體考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)(2)能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度2022年全國甲卷（文數(shù)）：第2題，5分2023年新高考I卷：第9題，5分2023年全國乙卷（文數(shù)、理數(shù)）：第17題，10分從近幾年的高考情況來看，高考對用樣本估計(jì)總體的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等知識，難度不大；在解答題中出現(xiàn)時(shí)，一般會(huì)與其他知識結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，需要靈活求解.【知識點(diǎn)1用樣本估計(jì)總體】1．總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)概念

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)求解步驟

可以通過下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).2．頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.3．總體集中趨勢的估計(jì)在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.具體概念回顧如下：名稱概念平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).4．總體離散程度的估計(jì)(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫成的形式.

我們對方差開平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差①一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=.

②加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)個(gè)，不妨記為，，，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.

總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

②在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.5．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”

根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用中點(diǎn)近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.【方法技巧與總結(jié)】1．若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.2．?dāng)?shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.3．若x1,x2,…,xn的方差為s2，那么的方差為a2s2.【題型1百分位數(shù)的求解】【例1】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）樣本數(shù)據(jù)16，20，24，21，22，18，14，28的75%分位數(shù)為（

）A．16 B．17 C．23 D．24【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．【解答過程】解：樣本數(shù)據(jù)16,20,24,14,28由小到大排列為14,16,18,20,21,22,24,28，共8個(gè)數(shù)據(jù)，8×0.75=6，所以75%分位數(shù)為22+24故選：C．【變式1-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．90【解題思路】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【解答過程】將數(shù)據(jù)從小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90，因?yàn)?×75%所以第75百分位數(shù)是86+882故選：B．【變式1-2】（2024·黑龍江大慶·三模）小明希望自己的高考數(shù)學(xué)成績能超過120分，為了激勵(lì)自己，他記錄了近8次數(shù)學(xué)考試成績，并繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖，如圖，這8次成績的第80百分位數(shù)是（

）A．100 B．105 C．110 D．120【解題思路】根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可.【解答過程】因?yàn)?×80%=6.4，由圖可知8次成績由小到大排序，第7個(gè)位置的數(shù)是110，所以這8次成績的第80百分位數(shù)是110.故選：C.【變式1-3】（2024·福建泉州·一模）海上絲綢之路的起點(diǎn)城市一泉州，有著豐厚的文化底蘊(yùn)，作為國家級非遺的蟳埔女簪花圍習(xí)俗，是福建博大精深的海洋文化“百花園”中的一朵香花．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了18位“簪花圍”體驗(yàn)者對這一活動(dòng)的滿意度評分情況，得到如下數(shù)據(jù)：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)，則a的值不可能為（

）A．71 B．72 C．73 D．74【解題思路】首先可得這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即可得到a的取值范圍，即可判斷.【解答過程】因?yàn)?8×25%=4.5，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為從小到大排列的第依題意可得71≤a≤73，所以a不可能為74.故選：D.【題型2樣本的數(shù)字特征的估計(jì)】【例2】（2024·浙江紹興·三模）已知實(shí)數(shù)1<2<x<y，若xy=36，且這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，則這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（

）A．52 B．3 C．72【解題思路】借助中位數(shù)與平均數(shù)定義結(jié)合題目所給條件計(jì)算即可得.【解答過程】由題意可得2+x2=3xy=36則x=故選：D.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）一組數(shù)據(jù)12，12，13，14，15，16，17的中位數(shù)是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【解題思路】由中位數(shù)的定義求解．【解答過程】一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12,12,13,14,15,16,17，它的中位數(shù)為：14，故選：A.【變式2-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知甲、乙兩支籃球隊(duì)各6名隊(duì)員某場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）從小到大排列如下：甲隊(duì)：7,12,12,20,20+x,31；乙隊(duì)：8,9,10+y,19,25,28.這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x+y的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】利用中位數(shù)與平均數(shù)的求法計(jì)算即可.【解答過程】由得分?jǐn)?shù)據(jù)知：甲乙兩隊(duì)的中位數(shù)為12+202甲乙兩隊(duì)的總得分相等，為7+12+12+20+20+x+31=8+9+13+19+25+28?x=0，所以x+y=3.故選：A.【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）2023年10月4日，在杭州亞運(yùn)會(huì)跳水男子10米臺決賽中，中國選手楊昊奪得金牌．中國跳水隊(duì)包攬杭州亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目全部10枚金牌．跳水比賽的評分規(guī)則如下，7位裁判同時(shí)給分，去掉兩個(gè)最高分，去掉兩個(gè)最低分，剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)求和再乘以難度系數(shù)，就是該選手本輪的得分，下表就是楊昊比賽中的第一輪得分表，則（

）1號裁判2號裁判3號裁判4號裁判5號裁判6號裁判7號裁判難度系數(shù)本輪得分a9.59.010.09.510.010.03.292.80A．這7個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是10.0B．這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是9.0C．a(chǎn)可能是10.0D．a(chǎn)可能是9.5【解題思路】根據(jù)評分規(guī)則，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【解答過程】當(dāng)0≤a≤9.5時(shí)，由題意可知：10+9.5+9.5×3.2=92.8，符合題意，此時(shí)眾數(shù)為10或9.5（此時(shí)a=9.5當(dāng)9.5<a≤10時(shí)，由題意可知：10+9.5+a×3.2=92.8?a=9.5故選：D.【題型3總體集中趨勢的估計(jì)】【例3】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育新人”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)的值為0.005B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C．估計(jì)成績低于60分的有250人D．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2353【解題思路】對A，根據(jù)頻率和為1求解即可；對B，根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)判斷即可；對C，計(jì)算成績低于60分的頻率，進(jìn)而可得人數(shù)；對D，根據(jù)成績低于中位數(shù)的頻率為0.5計(jì)算即可.【解答過程】對A，由題意，10×2a+3a+3a+6a+5a+a=1，解得對B，由直方圖可得估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為70+802對C，由直方圖可得成績低于60分的頻率為10×0.01+0.015=0.25，故估計(jì)成績低于60分的有對D，由A可得區(qū)間40,50,50,60,因?yàn)?.1+0.15+0.15+0.3>0.5，0.1+0.15+0.15<0.5，故中位數(shù)位于70,80內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x，則0.1+0.15+0.15+0.03×x?70=0.5，解得故選：D.【變式3-1】（2024·陜西西安·二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為0.3C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等【解題思路】直接根據(jù)直方圖來計(jì)算判斷每一個(gè)選項(xiàng).【解答過程】對于A：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有100×0.5×0.5=25天，A錯(cuò)誤；對于B：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過3小時(shí)的概率為0.3+0.2+0.1+0.1×0.5=0.35對于C：1.25×0.1+1.75×0.3+2.25×0.5+2.75×0.4+3.25×0.3+3.75×0.2+4.25×0.1+4.75×0.1×0.5=2.75對于D：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為x，則0.1+0.3+0.5×0.5+0.4×x?2.5=0.5故選：C.【變式3-2】（2024·四川德陽·二模）某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問n名學(xué)生，并對這n名學(xué)生的個(gè)性化作業(yè)進(jìn)行評分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績分成40,50，50,60,60,70，70,80,(1)求a,n的值；(2)估計(jì)這n名學(xué)生成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）和中位數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)題意，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）由題意可得，n=3010×0.005+a+0.02+0.03+0.025+0.005解得a=0.015.（2）平均數(shù)為45×0.005+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.005×10=72因?yàn)?.005+0.015+0.02×10=0.4,所以中位數(shù)在70,80之間，設(shè)中位數(shù)為x，則0.005+0.015+0.02×10+x?70×0.03=0.5【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）為了解甲、乙兩種農(nóng)藥在某種綠植表面的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將100株同種綠植隨機(jī)分成A、B兩組，每組50株，其中A組綠植噴甲農(nóng)藥，B組綠植噴乙農(nóng)藥，每株綠植所噴的農(nóng)藥體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在綠植表面的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到PC(1)求乙農(nóng)藥殘留百分比直方圖中a,b的值；(2)估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)．（保留2位小數(shù)）【解題思路】（1）由的估計(jì)值為0.70，可得a+0.20+0.15=0.7，求得a值，再由整體頻率為1即可求得；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義，取組區(qū)間的中點(diǎn)值進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）中位數(shù)在使得直方圖面積為0.5處取得，經(jīng)計(jì)算即可得解.【解答過程】（1）C為事件：“乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到PC則由頻率分布直方圖得：a+0.20+0.15=0.70.05+b+0.15=1?0.7,解得a=0.35所以乙農(nóng)藥殘留在表面的百分比直方圖中a=0.35,b=0.10．（2）估計(jì)甲農(nóng)藥殘留百分比的平均數(shù)為：x甲（3）設(shè)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)為x，則0.05+0.10+0.15×1+0.35×x?5.5=0.5所以估計(jì)乙農(nóng)藥殘留百分比的中位數(shù)約為6.07.【題型4總體離散程度的估計(jì)】【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x10A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)已知條件結(jié)合方差公式直接求解即可.【解答過程】由題意得x1所以數(shù)據(jù)x1,==30?20+10故選：B.【變式4-1】（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲?乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績，甲班的十個(gè)人成績分別為x1?x2?A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小【解題思路】不妨設(shè)x1≤x2≤?≤x10,y1≤y2≤?≤y10，表達(dá)出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到x5≤y5≤【解答過程】不妨設(shè)x1則x1?x2???因?yàn)閤5+x62則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是x5+x設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為s2，平均數(shù)為x，第二組數(shù)據(jù)的方差為s2，平均數(shù)為合并后總數(shù)為20，平均數(shù)為ω，方差為s′s=如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.故選：A.【變式4-2】（2024·寧夏銀川·一模）濱海鹽堿地是我國鹽堿地的主要類型之一，如何利用更有效的方法改造這些寶貴的土地資源，成為擺在我們面前的世界級難題．對鹽堿的治理方法，研究人員在長期的實(shí)踐中獲得了兩種成本差異不大，且能降低濱海鹽堿地30-60cm土壤層可溶性鹽含量的技術(shù)，為了對比兩種技術(shù)治理鹽堿的效果，科研人員在同一區(qū)域采集了12個(gè)土壤樣本，平均分成A、B兩組，測得A組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)x1=0.82，方差sx12=0.0293，B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)A組y0.660.680.690.710.720.74B組y0.460.480.490.490.510.51改良后A組、B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)分別為y1和y2，樣本方差分別記為s(1)求y1(2)應(yīng)用技術(shù)1與技術(shù)2土壤可溶性鹽改良試驗(yàn)后，土壤可溶性鹽含量是否有顯著降低？（若xi?y【解題思路】（1）借助平均數(shù)與方差公式計(jì)算即可得；（2）計(jì)算出x1?y1、2s【解答過程】（1）y1=160.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74y2=160.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.51（2）當(dāng)i=1時(shí)，x1?y∵0.0144<0.02，∴x∴應(yīng)用技術(shù)1后，土壤可溶性鹽含量沒有顯著降低，當(dāng)i=2時(shí)，x2?y∵0.1156>0.1133，∴x∴應(yīng)用技術(shù)2后，土壤可溶性鹽含量顯著降低．【變式4-3】（2024·陜西西安·一模）近年來“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對科學(xué)知識的探索欲望和對我國航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國夢想，某校組織了一次“尋夢天宮”航天知識競賽（滿分100分），各年級學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競賽的成績，從兩個(gè)年級的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績60,7070,8080,9090,100高一學(xué)生人數(shù)1551515高二學(xué)生人數(shù)10102010試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問題：(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級學(xué)生這次競賽成績更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？(2)校后勤部決定對參與這次競賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：記學(xué)生得分為x，當(dāng)x<70時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)70≤x<90時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)x≥90時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．若高一年級組長希望本年級學(xué)生獲得多于高二年級的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？【解題思路】（1）分別運(yùn)用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式計(jì)算，得出平均數(shù)相同，高一年級成績的方差低于高二年級，故得結(jié)論；（2）分別按照方案一和方案二計(jì)算兩個(gè)年級獲得獎(jiǎng)勵(lì)額，進(jìn)行比較后確定方案二.【解答過程】（1）設(shè)高一年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)為x，方差為s12.高二年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)為y，方差為則x=65×15+75×5+85×15+95×15y=s因x=y,（2）按照方案一，高一年級學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：15×10+(5+15)×25+15×35=1175元，而高二年級學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：10×10+(10+20)×25+10×35=1200元，即按照方案一，高一年級獲得獎(jiǎng)勵(lì)少于高二；按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競賽學(xué)生的成績中位數(shù)為80+90?80則樣本中，高一年級學(xué)生成績低于中位數(shù)的人數(shù)約為15+5+15×8267高二年級學(xué)生成績低于中位數(shù)的人數(shù)約為10+10+20×8267因1020>980，即按照方案二，高一年級獲得獎(jiǎng)勵(lì)多于高二.故若高一年級組長希望本年級學(xué)生獲得多于高二年級的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇方案二.【題型5分層方差問題】【例5】（2024·云南·模擬預(yù)測）某學(xué)校高三年級男生共有N1個(gè)，女生共有N2個(gè)，為調(diào)查該年級學(xué)生的年齡情況，通過分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為x1,x2和A．N1S1C．N1N1【解題思路】結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的方差公式可得答案【解答過程】學(xué)校高三年級男生共有N1個(gè)，所占比例為N1N1+故該校高三年級全體學(xué)生的年齡方差為：:S當(dāng)x1=x2時(shí)，故選：C.【變式5-1】（2024·浙江·三模）在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（

）A．11 B．13 C．15 D．17【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為x，女生的平均數(shù)為y，總體的平均數(shù)為w，方差為s2【解答過程】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為x，女生的平均數(shù)為y，總體的平均數(shù)為w，方差為s2則w=s2=2結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.故選：A.【變式5-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（

）A．1.3 B．1.5 C．1.7 D．1.9【解題思路】根據(jù)給定條件，求出該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)，再利用分層抽樣方差的計(jì)算方法求得結(jié)果.【解答過程】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：4060該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：4060故選：D.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知總體劃分為3層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本容量分別為n1，n2，n3，樣本平均數(shù)分別為x1，x2，x3，樣本方差分別為s12，A．xB．sC．總體樣本平均數(shù)xD．當(dāng)x1=x2【解題思路】根據(jù)樣本平均數(shù)以及方差的定義，即可判斷A、B項(xiàng)；計(jì)算可判斷C；根據(jù)分層抽樣，總體方差的求解，計(jì)算即可得出D.【解答過程】對于A、B項(xiàng)，由于樣本容量與樣本平均數(shù)、樣本方差之間并不是成某種比例關(guān)系，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，設(shè)n1則總體樣本平均數(shù)x=n1對于D項(xiàng)，當(dāng)x1=x所以總體方差s2=1n1+故選：D．【題型6其他統(tǒng)計(jì)圖表中反映的集中趨勢與離散程度】【例6】（23-24高一下·河南信陽·期中）樹人中學(xué)男女學(xué)生比例約為2:3，某數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)為了解該校學(xué)生課外體育鍛煉情況（鍛煉時(shí)間長短（單位：小時(shí)）），采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生m人，女生n人進(jìn)行調(diào)查.記男生樣本為x1,x2,???,xm，樣本平均數(shù)、方差分別為x(1)該興趣社團(tuán)通過分析給出以上兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，假設(shè)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，根據(jù)兩圖信息分別估計(jì)男生樣本、女生樣本的平均數(shù)；(2)已知男生樣本方差s12=5.5，女生樣本方差s【解題思路】（1）利用各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，由頻率分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)平均數(shù)的方法可求得結(jié)果；（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算平均數(shù)和方差的方法直接求解即可.【解答過程】（1）∵每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)均勻分布，∴以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值；由頻率分布直方圖估計(jì)男生樣本課外體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)x=1×0.05×2+3×0.1×2+5×0.175×2+7×0.1×2+9×0.075×2=0.1+0.6+1.75+1.4+1.35=5.2由扇形圖估計(jì)女生樣本課外體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)y=1×15%+3×25（2）∵采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，∴m:n=2:3；∴估計(jì)樹人中學(xué)學(xué)生課外運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)w=∴s2=mm+n【變式6-1】（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線圖：(1)分別計(jì)算甲、乙兩廠提供10個(gè)輪胎寬度的平均值；(2)輪胎的寬度在194,196內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對更好?【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法可直接求得結(jié)果；（2）確定甲、乙兩廠生產(chǎn)的輪胎中標(biāo)準(zhǔn)輪胎的寬度數(shù)據(jù)，由此可計(jì)算得到平均數(shù)和方差，對比數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.【解答過程】（1）記甲廠提供的10個(gè)輪胎寬度的平均值為x1，乙廠提供的10個(gè)輪胎寬度的平均值為xx1=195×2+194×2+196×2+193×2+197×2（2）甲廠10個(gè)輪胎寬度在194,196內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195，則平均數(shù)為195+194+196+194+196+1956所以方差s1乙廠10個(gè)輪胎寬度在194,196內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,195,195，則平均數(shù)為195+196+195+194+195+1956所以方差s2因?yàn)榧?、乙兩廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均值一樣，但乙廠的方差更小，所有乙廠的輪胎相對更好.【變式6-2】（23-24高一下·湖北武漢·期末）近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營銷形式．某直播平臺1200個(gè)直播商家，對其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖所示．

(1)該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時(shí)，工作人員對（1）中抽取的60個(gè)商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題：①估計(jì)該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；②若將平均日利潤超過430元的商家評為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）①根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；②根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.【解答過程】（1）60×1?25%?15所以應(yīng)抽取小吃類24家，生鮮類9家；（2）①根據(jù)題意可得0.001×3+a+0.003+0.005+0.007×50=1，解得a=0.002設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?.001+0.003×50=0.2，0.001+0.003+0.007所以x?300×0.007+0.2=0.5，解得x≈342.9平均數(shù)為：225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001×50=352.5所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.②450?43050所以估計(jì)該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為168.【變式6-3】（2024·河南信陽·三模）信陽市旅游部門為了促進(jìn)信陽生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙，丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺上進(jìn)行推廣宣傳.該平臺邀請部分曾在這三家民宿體驗(yàn)過的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評分，評分越高表明游客體驗(yàn)越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評分中各隨機(jī)抽取10個(gè)評分?jǐn)?shù)據(jù)，并對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.a.甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評分的折線圖：

b.丙家民宿“綜合滿意度”評分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1c.甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的平均數(shù)、中位數(shù)：甲乙丙平均數(shù)m4.54.2中位數(shù)4.54.7n根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)表中m的值是______，n的值是______；(2)設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的方差分別為S甲2、S乙(3)根據(jù)“綜合滿意度”的評分情況，該平臺打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認(rèn)為該平臺會(huì)將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說明理由（至少從兩個(gè)方面說明）.【解題思路】（1）利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義計(jì)算出m=4.5和n=4.5；（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖和丙的數(shù)據(jù)，分析出數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況，從而比較出方差得大??；（3）從平均數(shù)，中位數(shù)，方差等方面分析得到結(jié)論，答案不唯一.【解答過程】（1）甲家民宿“綜合滿意度”評分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，∴m=1丙家民宿“綜合滿意度”評分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，從小到大排列為：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.∴中位數(shù)n=4.5+4.5（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可知，乙的評分?jǐn)?shù)據(jù)在4分與5分之間波動(dòng)，甲的數(shù)據(jù)在3.2分和5分之間波動(dòng)，根據(jù)丙的數(shù)據(jù)可以在2.6至5分之間波動(dòng)，∴S乙（3）推薦乙，理由：乙的方差最小，數(shù)據(jù)穩(wěn)定，平均分比丙高，答案不唯一，合理即可.一、單選題1．（2024·江西·一模）從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（

A．16 B．30 C．32 D．51【解題思路】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.【解答過程】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)?1×60%故選：C.2．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）已知甲組數(shù)據(jù)：1，3，5，7，9，11，乙組數(shù)據(jù)：2，4，8，16，根據(jù)不同組別，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本，則該樣本的平均數(shù)不可能是（

）A．5 B．7 C．9 D．11【解題思路】先根據(jù)分層抽樣算出甲乙兩組數(shù)據(jù)抽到的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，列出表格，在結(jié)合平均數(shù)公式計(jì)算得出答案；【解答過程】根據(jù)分層抽樣可知甲組數(shù)據(jù)抽取3個(gè)數(shù)據(jù)，乙組數(shù)據(jù)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，具體情況如下表：甲組抽樣乙組抽樣平均數(shù)3，5，72，855，7，114，875，7，98，169平均數(shù)為11時(shí)，需5個(gè)樣本數(shù)字之和為55，而樣本之和最大值為7＋故選：D．3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）為了解高中學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間,某市教育部門隨機(jī)抽取1000高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,把每天進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間按照時(shí)長（單位：分鐘）分成6組:30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90.然后對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可估計(jì)這1000名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)為（

）A．47.5 B．45.5 C．43.5 D．42.5【解題思路】根據(jù)第25百分位數(shù)的概念，知道它在第二組40,50里.運(yùn)用概率之和為0.25，構(gòu)造方程，解出即可.【解答過程】第25百分位數(shù)設(shè)為x，而0.1<0.25<0.1+0.2，則所求百分位數(shù)在第二組，則可列方程0.1+0.02(x?40)=0.25,解得x=47.5.故選:A.4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（

）A．圖（1）的平均數(shù)＝中位數(shù)＞眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)C．圖（2）的平均數(shù)＜眾數(shù)＜中位數(shù) D．圖（3）的中位數(shù)＜平均數(shù)＜眾數(shù)【解題思路】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.【解答過程】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A錯(cuò)誤；圖（2）頻率直方圖可得，單峰不對稱且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯(cuò)誤；同理圖（3）“左拖尾”，眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知有4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的新方差為（

）A．73 B．133 C．6【解題思路】設(shè)原來的4個(gè)數(shù)依次為a,b,c,d,再利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式結(jié)合整體法即可.【解答過程】設(shè)原來的4個(gè)數(shù)依次為a，b，c，d，∵原來4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，∴a+b+c+d=2014∴(a?5)∴a∴a現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16則這6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為:1==1故選：C.6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為a，眾數(shù)為b，平均值為c，則（）

A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【解題思路】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，對比即可得結(jié)果.【解答過程】30個(gè)數(shù)中第15個(gè)數(shù)是5，第16個(gè)數(shù)是6，所以中位數(shù)a=5+6由題意可知：眾數(shù)b=5，平均值c＝3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×230所以b<a<c.故選：D.7．（2024·江西·二模）從甲隊(duì)60人、乙隊(duì)40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊(duì)共抽取10人，進(jìn)行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：甲隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊(duì)答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對題目的方差為（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82【解題思路】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計(jì)算即可.【解答過程】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊(duì)中抽取10×60從乙隊(duì)中抽取10×40這10人答對題目的平均數(shù)為110所以這10人答對題目的方差為110故選：D.8．（2024·山東·二模）甲乙兩名歌手參加選拔賽，5位評委評分情況如下：甲：77,76,88,90,94；乙：75,88,86,88,93，記甲、乙兩人的平均得分分別為x甲,xA．x甲<x乙，甲比乙成績穩(wěn)定C．x甲>x乙，甲比乙成績穩(wěn)定【解題思路】由平均數(shù)和方差公式求出x甲,x乙，【解答過程】x甲x乙SS乙所以x甲故選：B.二、多選題9．（2024·河北保定·三模）若一組數(shù)據(jù)14，17，11，9，12，15，m，8，10，7的第65百分位數(shù)為12，則m的值可能為（

）A．8 B．10 C．13 D．14【解題思路】根據(jù)題意先將數(shù)據(jù)排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義分析求解.【解答過程】將這組數(shù)據(jù)除去m后，按從小到大的順序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.因?yàn)?0×65%=6.5，所以故選：AB.10．（2024·廣東茂名·一模）中秋節(jié)起源于上古時(shí)代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動(dòng)，以月之圓兆人之團(tuán)圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn).某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，隨機(jī)抽查了100人的成績整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本的眾數(shù)為75B．樣本的71%C．樣本的平均值為68.5D．該校學(xué)生中得分低于60分的約占20【解題思路】由圖求得a的值，再根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】依題意，0.015+0.025+0.035+0.005+2a×10=1，解得a=0.010選項(xiàng)A，∵最高小矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為75，∴眾數(shù)是75，故A正確.選項(xiàng)B，設(shè)樣本的71%分位數(shù)為x，又10×∴0.5+x?70×0.035=0.71，解得選項(xiàng)C，平均數(shù)為45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，故C正確.選項(xiàng)D，樣本中得分低于60分的占0.010+0.015×10=25∴該校學(xué)生中得分低于60分的約占25%故選：AC.11．（2024·重慶九龍坡·三模）已知樣本數(shù)據(jù)x1,xA．?dāng)?shù)據(jù)3x1?1,3B．?dāng)?shù)據(jù)3x1?1,3C．?dāng)?shù)據(jù)x1D．?dāng)?shù)據(jù)x1【解題思路】對于AB：根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)分析求解；對于CD：根據(jù)平均數(shù)、方差公式運(yùn)算求解.【解答過程】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1對于選項(xiàng)A：所以數(shù)據(jù)3x1?1,3x2對于選項(xiàng)B：數(shù)據(jù)3x1?1,3x2對于選項(xiàng)C：因?yàn)閤1+x則數(shù)據(jù)x1,x所以方差為14對于選項(xiàng)D：由x1+x得x12+所以數(shù)據(jù)x12,故選：BD.三、填空題12．（2024·安徽·模擬預(yù)測）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的35，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是6【解題思路】先依據(jù)題意列等量關(guān)系式求出m，再依據(jù)百分位數(shù)的定義以及求解步驟直接求解即可得解.【解答過程】由題該組數(shù)據(jù)的極差為17?2=15，中位數(shù)為m+122所以m+122=15×3所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是該組數(shù)據(jù)的第三位數(shù)為6.故答案為：6.13．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某小學(xué)對四年級的某個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測試的總體方差為15.8．【解題思路】先求出總體的平均數(shù)x=89，在利用s【解答過程】設(shè)全體同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分為x，方差為s2記x1=91，s12=11，x2=86依題意有x=則s=30故答案為：15.8.14．（2024·廣西·二模）設(shè)實(shí)數(shù)x，y4≤x<y，滿足1，3，4，x，y，y+2的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，y+2的方差為149【解題思路】利用平均數(shù)與分位數(shù)相等，得y=x+1，代入數(shù)據(jù)中得方差.【解答過程】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)1,3,4,x,y,y+2的平均數(shù)為1+3+4+x+y+y+26數(shù)據(jù)1,3,4,x,y,y+2的50%分位數(shù)為4+x∴1+3+4+x+y+y+26=4+x2，即即為x,x+1,x+3，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x+x+1+x+33∴數(shù)據(jù)x,y,y+2的方差為13故答案：149四、解答題15．（2024·全國·模擬預(yù)測）中央廣播電視總臺《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國”為主題，創(chuàng)新“思想+藝術(shù)+技術(shù)”融合傳播，與全球華人相約除夕，共享一臺精彩紛呈、情真意切、熱氣騰騰的文化盛宴.2023年12月2日，中央廣播電視總臺發(fā)布了甲辰龍年春晚的主標(biāo)識——龘．為了解大家對這一標(biāo)識的看法，某網(wǎng)站進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)調(diào)研，并將參與調(diào)查的網(wǎng)友對這一標(biāo)識的打分情況（分?jǐn)?shù)在50分到100分之間）繪制成頻率分布直方圖如下：

(1)求網(wǎng)友打分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）、中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)設(shè)網(wǎng)友打分的平均值為μ，若按打分是否在區(qū)間μ?m,μ+mm>0內(nèi)進(jìn)行分層抽樣，抽取10人進(jìn)行深度調(diào)研，打分在區(qū)間μ?m,μ+m內(nèi)的至少抽取8人，試估計(jì)m【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)得求法依次計(jì)算即可求解；（2）由（1）知μ=74.5，根據(jù)打分在區(qū)間74.5?m,74.5+m內(nèi)的頻率不低于0.8分類討論確定5.5<m<14.5，進(jìn)而求解.【解答過程】（1）網(wǎng)友打分的平均值為55×0.005+65×0.035+75×0.030+85×0.020+95×0.010×10=74.5分?jǐn)?shù)在50,70的頻率0.05+0.035×10=0.4<0.5，分?jǐn)?shù)在50,80的頻率0.4+0.030×10=0.7>0.5，設(shè)中位數(shù)為x，則x∈70,800.4+x?70×0.030=0.5，得即中位數(shù)約為73.3．（2）由（1）可知μ=74.5．要使抽取的10人的打分在74.5?m,74.5+m內(nèi)的人數(shù)不低于8人，則打分在區(qū)間74.5?m,74.5+m內(nèi)的頻率不低于0.8．若m=5.5，則74.5?m,74.5+m=69,80頻率0.03×10+70?69若m=14.5，則74.5?m,74.5+m=60,89頻率0.035×10+0.03×10+89?80當(dāng)m最小時(shí)，5.5<m<14.5，且0.03×10+70?解得m≈13.95，即m的最小值約為13.95．16．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為3,5，5,7，7,9，…，17,19，19,21九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)3,9，9,15，15,21的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為15，13，【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在3,9，9,15，15,21中分別為事件A1，A2，【解答過程】（1）解：（1）由于在3,13的樣本數(shù)據(jù)比例為：0.01+0.02+0.12+0.17+0.23=0.55∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在13,15內(nèi)∴估計(jì)為：13+2×0.7?0.55（2）（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在3,9，9,15，15,21中分別為事件A1，A2，∴PA1=0.01+0.02+0.12=0.15，設(shè)事件A=在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”PA17．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）近年來“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對科學(xué)知識的探索欲望和對我國航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國夢想，某校組織了一次“尋夢天宮”航天知識競賽（滿分100分），各年級學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競賽的成績，從兩個(gè)年級的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績60,7070,8080,9090,100高一學(xué)生人數(shù)1551515高二學(xué)生人數(shù)10102010試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問題：(1)從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級學(xué)生這次競賽成績更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？(2)校后勤部決定對參與這次競賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案