專題6.4 數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.4數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1觀察法】 3【題型2定義法】 4【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】 5【題型4累加法】 5【題型5累乘法】 6【題型6構(gòu)造法】 7【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 8【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 9【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問題】 10【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】 11【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問題】 12【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】 131、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推關(guān)系(2)掌握求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法2022年新高考全國(guó)I卷：第17題，10分2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解是高考考查的熱點(diǎn)，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問中，難度不大；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法多種多樣，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的通項(xiàng)公式】1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用等式來表示.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見求法】1．觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).2．定義法：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式的類型，對(duì)于含參的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項(xiàng)公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項(xiàng).3．公式法：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).6．構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.7．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.8．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比，直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型1觀察法】【例1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)列1,?22,12,?24,14,?的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

A．?12n?1 B．?22n【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列?2,4,?263,20,?A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=?1【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【題型2定義法】【例2】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通項(xiàng)公式，并求a(2)若bn是由a2,【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an=(1)求通項(xiàng)公式an(2)求證：an【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)且圖象過點(diǎn)5,12，數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm【變式2-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項(xiàng)起，若數(shù)列an的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列an為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列an為“等平方差數(shù)列”，且a(1)判斷滿足條件的數(shù)列an(2)求正項(xiàng)數(shù)列an【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A．a(chǎn)n=n+1 C．a(chǎn)n=2n+1 【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【題型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n?1n C．n?1n【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列an滿足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼硌芯繑?shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作an，下列不是數(shù)列an的項(xiàng)的是（A．35 B．70 C．145 D．170【題型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列an滿足a1=13，an=2n?32n+1an?1A．14n2C．12n?12n+3 【變式5-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，SnA．13n?1 C．6(n+1)(n+2) D．【變式5-3】（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，SnA．a(chǎn)n=2nn∈C．a(chǎn)n=n+2n∈【題型6構(gòu)造法】【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求an(2)證明：a1【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2+3【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)求證：數(shù)列an(2)已知bn=n2?a【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求證：?3【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且點(diǎn)((1)求數(shù)列an(2)數(shù)列{anan+1}前n項(xiàng)和為Tn，求能使Tn【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=?2，(1)求數(shù)列an(2)若an+1≤2k?3a【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數(shù)列an前n項(xiàng)的乘積，若a1【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)a(2)設(shè)bn=an+22n+2?【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=3n(n+2)an，數(shù)列b【變式8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)證明an?3(2)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，am+a【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)當(dāng)k=2時(shí)，求S10(2)若k=52，設(shè)bn【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問題】【例9】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，anan+1+an?an+1+1=0A．?dāng)?shù)列an是周期數(shù)列 B．C．S2024>T【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，A．a(chǎn)3=12 B．a(chǎn)n是周期數(shù)列 【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+12,x≤122x?1,12<x<1x?1,x≥1A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列C．a(chǎn)2023+a2024【變式9-3】（2024·重慶長(zhǎng)壽·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn是an的前n項(xiàng)和a1=2，A．a(chǎn)2021=2 C．a(chǎn)3na3n+1a3n+2=1【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列an滿足anan+12(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?1an+1，數(shù)列【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【變式10-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問題】【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S5=a11=20(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=Snb【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn=3nn?12，數(shù)列bn滿足(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列cn【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項(xiàng)和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)對(duì)任意的m∈N?，將an中落入?yún)^(qū)間2（i）求cm（ii）記dm=22b2(m?1)?cm，dm的前m項(xiàng)和記為【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】【例12】（2024·貴州貴陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)數(shù)列an(2)記cn=a2n，數(shù)列1cncn+1的前【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=n?1n+2ana【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，已知a(1)求數(shù)列{a(2)求證：2≤(一、單選題1．（2024·貴州黔南·二模）n∈N*，數(shù)列1，?3，7，?15，31，???的一個(gè)通項(xiàng)公式為（A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=22．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）若an=an?1+n?1，aA．55 B．56 C．45 D．463．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．4．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a1=1，且an+1=2A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=25．（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．1286．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足2n?3an?2n?1A．2n?2 B．2n2?n C．2n?17．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知