等差數(shù)列-2021年高考數(shù)列專題終極突破（解析版）

專題02：等差數(shù)列-2021年高考數(shù)列專題終極突破(全國通用)

一、單選題

1.(2021?山西太原市?高三一模(理))己知｛q｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且｛S“｝是

等差數(shù)列，給出以下結(jié)論：

①｛《,+SJ是等差數(shù)列；②｛4?￡,｝是等比數(shù)列；

③｛叫是等差數(shù)列；④,手｝是等比數(shù)列.

則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

［分析］根據(jù)2s2=H+§3可求得%=%，從而確定數(shù)列｛為｝的公比為1，則4=4>0,根據(jù)等差和等

比數(shù)列的定義式依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)論.

【解答】?.?⑸｝是等差數(shù)列，...2S2=S1+S3，即2(%+4)=4+/+。2+。3，整理得：%=%，

???｛4,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，二公比4=5=1，，。“=4>0；

。2

對(duì)于①，an+Sll-ai+nai=(n+l)a,,。，用+S“+|=q+(〃+l)4=(A+2)4,

???3+I+S.M)—(4+S〃)=4,

，數(shù)列｛q,+S,｝是以2q為首項(xiàng)，％為公差的等差數(shù)列，①正確；

對(duì)于②，a“■S“=4/1?=na；,^n+\'^n+\=4,(〃+1)4=(〃+*

,一不是不為零的常數(shù)'二數(shù)列｛a，jS,｝不是等比數(shù)列，②錯(cuò)誤;

對(duì)于③,％,a；+i=a；+i—a；=0,

數(shù)列｛a；｝是首項(xiàng)為生,公差d=O的等差數(shù)列，③正確；

S”+i

對(duì)于④，鼠=%=%,'==又4>。，.?.娛=1,

nn〃+1〃+13〃

n

是以4為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，④正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差和等比數(shù)列的判定問題，判斷數(shù)列為等差或等比的思路是驗(yàn)證數(shù)列前后項(xiàng)滿足等差

和等比數(shù)列的定義式，即若a用一4=d(〃GN*),則數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)列；若皿=q(q于O,nwN"),

則數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列.

2.(2021?浙江紹興市?高三三模)已知四面體ABC。，分別在棱A。，BD，上取〃+1(〃eN*,"23)

等分點(diǎn)，形成點(diǎn)列｛4｝，｛紇｝，｛G｝，過4，4，Q(左=1,2,…力作四面體的截面，記該截面的面

積為則()

A.數(shù)列｛MJ為等差數(shù)列B.數(shù)列｛MJ為等比數(shù)列

c.數(shù)列｛筌，為等差數(shù)列

D.數(shù)列為等比數(shù)列

【答案】C

【分析】設(shè)他=a，CD=b,A3與CO所成角為6,根據(jù)平行關(guān)系可利用〃，攵，。力表示出4紇,4G，

M

根據(jù)面積公式得到,進(jìn)而得到學(xué)；利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列是否滿

足定義，由此得到結(jié)果.

【解答】設(shè)CD=b，AB與CO所成角為。，

由題意可知：\Bk//AB,BkCk//CD,

根據(jù)平行線分線段成比例可知：4修=1-占卜

a,BkCk=b,

〃+l

(n-\-\-k\k

M=4瓦-BCsin0=----------absin0,

kkk(〃+1)

(〃+1-攵-1)(2+1)-(〃+1—%)攵M—7k

對(duì)于A,M八1一M卜absin0=-------z-ahsinO,

(〃+l)2

則用八1一%不恒等于常數(shù)，則數(shù)列｛MJ恒為等差數(shù)列不成立，A錯(cuò)誤;

ahsin0

對(duì)于B,竺

M.(九+1-k)2

(〃+l一半時(shí)sin。

(〃+l)

M.+.（、

不恒等于不為零的常數(shù)，則數(shù)列｛MJ恒為等比數(shù)列不成立，B錯(cuò)誤;

M女n-bl-k

對(duì)于C,Hsin。,

k〃+1)2

MTMkn+\-k-\

則absin0---absin3=------7absme

k+1k〃+1)~(〃+1)〃+l)-

M

即——恒為常數(shù)，，Mk＞為等差數(shù)列,C正確;

Z+lk

n+l-k-1

absin0

("if

n-k然?不恒等于不為零的常數(shù),

對(duì)于D,置---------二—即

〃+1—左Msinen+\-k以

k/1+1)2k

M

則數(shù)列恒為等比數(shù)列不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定，證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列的基本思路是利用等差或等比

數(shù)列的定義式來進(jìn)行證明.

3.（2021?陜西高三三模（文））已知數(shù)列｛4｝滿足：對(duì)任意”？、〃WN*，都有4,一%=2（〃一利）成立,

且前8項(xiàng)和為0.則該數(shù)列的首項(xiàng)卬=（

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】令機(jī)=1可得4=4+2-2”，推導(dǎo)出數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的求和公式可得

關(guān)于4的等式，由此可求得力的值.

【解答】令川=1可得4一%=2（〃-1）=2〃-2,所以，an=a1+2-2n,

所以，-a”=[q+2—+（4+2—2〃）=—2,

所以，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

所以，數(shù)列｛q｝的前8項(xiàng)和為S8=N&，^=4（4+q—14）=8（a「7）=0,解得4=7.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列的三種判定方法：

（1）定義法：a“+「a”=d（常數(shù)）（〃eN*）o數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

（2）等差中項(xiàng)法：2aM=%+凡+2（〃6叱）=數(shù)列｛叫為等差數(shù)列；

（3）通項(xiàng)公式法：an=an+b（a、b為常數(shù),〃eN*）。數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法.

4.（2021?峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三三模（理））己知等差數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S;>S8，

Ss=S9<Sl0，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CI9=0B.S[5>S]4

C.d<0D.Sg與S9均為S”的最小值

【答案】c

【分析】根據(jù)4=5,12）推導(dǎo)出4<0,“9=0,4。>0,結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性與求和公式判

斷可得出合適的選項(xiàng).

【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，由S8=Sg可得名=5-58=0,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由57>58可得。8=58-57<0,；"=49—。8>0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)，由S10>$9可得％o=So-§9>0,且“9=0,。8<°，d>0，

所以，當(dāng)〃W8且〃WN*時(shí)，??<0,且為=0,則與品均為s“的最小值，D選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，；a9=0，d>0?當(dāng)〃210時(shí)，怎>〃9=。，

所以，515-Sl4=al5>0,B選項(xiàng)正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】在等差數(shù)列中，求5“的最?。ù螅┲档姆椒ǎ?/p>

（1）利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第-項(xiàng)起到分界點(diǎn)到該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大（小）；

（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.

5.（2021?吉林吉林市?高三三模（文））《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚

蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三

個(gè)節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為1.5尺，今年3月20日17時(shí)37分為春分時(shí)節(jié)，

其日影長為（）

A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列{4},設(shè)公差為d,利用基本量代換求出通項(xiàng)公式，然后求％.

【解答】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)

成等差數(shù)列{4},設(shè)公差為乩由題意得：

q+%+%=28.5

%。+%+%=L5

cu—10.5

解得：\?

d--\

所以%=q+（〃-l）d=l1.5—

所以%=11.5—7=4.5,

即春分時(shí)節(jié)的日影長為4.5.

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】（1）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語

言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(2)等差(比)數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換.

6.(2021.河南平頂山市.高三二模(理))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,a6,3為，叫成等差數(shù)列，

若｛4｝中存在兩項(xiàng)4”，an,使得4q為其等比中項(xiàng)，則一+一的最小值為()

mn

23

A.4B.9C.-D.-

32

【答案】D

【分析】根據(jù)R，3%，％成等差數(shù)列，可得2x3%=4+%，即可求得g值，根據(jù)4%為%,。“的等

比中項(xiàng)，可求得加+〃=6,利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.

【解答】因?yàn)?，3%，%成等差數(shù)列，所以2x3%=4+%，

又｛%｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為q，公比為g,

所以601g4+qq6,所以q2+q-6=0，

解得q=2或“=一3(舍)，

又4%為明,。“的等比中項(xiàng),

所以(4%門=amxa?,

所以16a,2=qx2m-'x?,x2n-l=a~x2m+n-2=24x?,2,

所以〃z+〃-2=4,即=6,

一141,、C4)4加〃八1(c[4m7i3

所以一+—=—(m+n)x——F—=—1+---1---F4>—5+2,——x—=一，

mn6\mn)6\nm)6、nmJ2

4/77n

當(dāng)且僅當(dāng)——=—,即6=2,〃=4時(shí)，等號(hào)成立，

nm

143

所以一+一的最小值為一.

mn2

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、基本不等式等知識(shí)，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本

不等式時(shí)，應(yīng)注意取等條件，即角標(biāo)小，〃必須為正整數(shù)，屬中檔題.

、3。吁2,an1

7.（2021?山西高三一模（理））已知數(shù)列｛r%｝中4=1,4=一，對(duì)于幾?3,且〃wN,有/=_

7〃一2—an-\

D*

若“2021=j（PMGN，且〃國互質(zhì)），則〃+4等于（）

A.8089B.8088C.8087D.8086

【答案】D

ata.I

【分析】對(duì)為=c的兩邊取倒數(shù),利用等差中項(xiàng)的結(jié)論可得數(shù)列《一卜為等差數(shù)列，利用己知條

2??_21%J

件求出首項(xiàng)和公差，即可得出數(shù)列?！钡耐?xiàng)公式，求出4021，即可得出結(jié)果.

an2?41

【解答】對(duì)a“=c-"的兩邊取倒數(shù),

2an_2-an_}

故數(shù)列為等差數(shù)列,

其首項(xiàng)'=1,

114

公差為§

1,4,八4n-l3

收一=1+一(〃-1)=-------,an----

an33"4/7-1

〒曰3

]?^202l=8083'

所以p+g=3+8083=8086.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)見=c?a”?的兩邊取倒數(shù),利用等差中項(xiàng)的結(jié)論得到數(shù)列《一1卜為等差數(shù)列是解決本題的

Za?-2~an-\[%.

關(guān)健.

8.（202「廣西欽州市?高三二模（理））等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，當(dāng)首項(xiàng)4和公差4變化時(shí)，4+。8+%0

是一個(gè)定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是（）

A.S7B.SgC.S3D.S15

【答案】C

【分析】通過數(shù)列的通項(xiàng)得到的是一個(gè)定值，即得解.

【解答】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a,+4+/=34+18d=3（q+6d）=3%是一個(gè)定值，

所以的是一個(gè)定值，

所以耳3=13（4產(chǎn)）=13%為一個(gè)定值，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是通過通項(xiàng)分析%+《+%0是一個(gè)定值，得到的是一個(gè)定值.

9.（2021.全國高三專題練習(xí)（理））記S”為數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)（〃,4）在直線y=10—2x上，若有

且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足S?>k,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（8,14]B.（14,18]

Q1

C.（18,201D.（18,—]

4

【答案】C

【分析】由己知可得數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8,公差為-2,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得

S?=-n2+9n,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得〃=4或5時(shí)，5,取得最大值為20,根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖

象與性質(zhì)即可求得k的取值范圍.

【解答】由己知可得見=10-2//,

由%—4一=-2,所以數(shù)列｛《,｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8,公差為-2，

所以=8"+△"T）x（-2）=-/+9n,

2

當(dāng)”=4或5時(shí)，Sn取得最大值為20,

因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)n滿足S.>k,

所以滿足條件的〃=4和〃=5，

因?yàn)镾3=§6=18,

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是（18,20].

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】最值范圍問題常用的方法有：（1）函數(shù)單調(diào)性法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）導(dǎo)數(shù)法：（4）基本不等

式法.要根據(jù)已知靈活選擇合適的方法求解.

10.（2021?全國高三專題練習(xí)（理）（文））我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬

和鴛馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駕馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊,

復(fù)還迎弩馬，九日后二馬相逢.問：齊去長安多少里？（）

A.1125B.1250C.2250D.2500

【答案】A

【分析】由題意可知，良馬每日行的距離｛4｝以及駕馬每日行的距離｛2｝均為等差數(shù)列，確定這兩個(gè)數(shù)列

的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.

【解答】由題意可知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為｛4｝，其中q=103,公差4=13.

駕馬每II行的距離成等差數(shù)列，記為｛〃,｝,其中么=97,公差4=-05

設(shè)長安至齊為x里，則a]+a2^---+4+^4------卜力9=2X,

GP2x=103x9+9X8X13+97X9-9X8X°5=2250,解得x=1125.

22

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】解本題的關(guān)鍵在于得出長安至齊的距離等于良馬和鴛馬九11所行的距離之和的2倍，并結(jié)合題意

得知兩匹馬所行的距離成等差數(shù)列，解題時(shí)要充分抓住題中信息進(jìn)行分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來

求解.

二、多選題

11.（2021?山東高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=31,S10=210,則（)

A.$9=19%

B.數(shù)列｛2%｝是公比為8的等比數(shù)列

C.若二=（-1）"?4,則數(shù)列｛a｝的前2020項(xiàng)和為4040

,1，則數(shù)列｛仇｝的前2020項(xiàng)和為黑^

D.若仇=-----

anan+\

【答案】CD

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可判斷A；結(jié)合已知條件可求出等差數(shù)列的公差，從而可求出通項(xiàng)公式以及2期，

結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B；寫出4，由定義寫出4）2。的表達(dá)式，進(jìn)行分組求和即可判斷C；

裂項(xiàng)相消即可求和.

4〃+3

%=4+7d=31

【解答】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，￡9=19%），故A錯(cuò)誤;設(shè)｛a,J的公差為d,則有，

S〔o—1Oq+45d=210

解得q=3,d=4,故a“=4〃-1,2%=2即1，

則數(shù)列｛23｝是公比為28的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；若"=(-1)”.《,=㈠)",

則｛2｝的前2020項(xiàng)金2c=-3+7-11+15-…+8079=4x1010=4040,故C正確；

若"=（4〃一1；4〃+3）TA丁/｝則也｝的前2020項(xiàng)和

「」仕_1+」_2_++□_____1)2020

2020-4U-7+7-n+-+8079-8083j-24249故O正確.

故選:CD.

【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：

求數(shù)列的前〃項(xiàng)和常見思路有：1、對(duì)于等差和等比數(shù)列，直接結(jié)合求和公式求解；2、等差數(shù)列士等比數(shù)

列時(shí)，常采取分組求和法；3、等差數(shù)列x等比數(shù)列時(shí)，常采取錯(cuò)位相減法；4、裂項(xiàng)相消法.

12.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是（）

A.若S?=n2-1,則｛q｝是等差數(shù)列

B.若S“=2"-1,則｛凡｝是等比數(shù)列

C.若｛q｝是等差數(shù)列，則S99=9960

D.若｛4｝是等比數(shù)列,且4>0國>0,則S2,IS,,+|>S2.2

【答案】BC

【分析】由S,,求見,根據(jù)通項(xiàng)公式可判斷AB是否正確，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷C,取〃=1時(shí)，結(jié)合

等比數(shù)列求和公式作差比較S3與S；大小即可判斷D.

【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，若S“=”2-i,當(dāng)〃22時(shí)，q=0不滿足4=2〃-1,故A錯(cuò)誤；

S_s—2"一］〃>2

對(duì)于B選項(xiàng)，若5“=2"-1,則見=("一"T二，一，由于q=1滿足a“=2"T,所以｛4,｝是等

S1=1,7?=1

比數(shù)列，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若｛叫是等差數(shù)列，則%=處詈?=99%0,故c正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)”=1時(shí)，S「S3-S；=q2(l+q+/)_a；(l+q)2=_a；q<0,故當(dāng)〃=1時(shí)不等式不等

式，故邑,一「S?用〉邑J不成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的前”項(xiàng)和為S"與。”之間的關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S”的

公式等，考查運(yùn)算求解能力.本題D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵將問題特殊化，討論〃=1時(shí)，&?S3與S；大小情況.此

外還需注意一下公式：an=\";；若｛4｝是等差數(shù)列，則$2,1=(2〃—1)4.

13.(2021.全國高三其他模擬)下列說法正確的是()

A.若｛4｝為等差數(shù)列，S.為其前〃項(xiàng)和，則》，S2k-Sk,%-52?一..仍為等差數(shù)列卜6叱)

B.若｛4｝為等比數(shù)列，S“為其前”項(xiàng)和，則SQS2k-Sk,S3*—S”，…仍為等比數(shù)列(％eN*)

C.若｛4｝為等差數(shù)列，4〉0,d<0,則前〃項(xiàng)和S“有最大值

D.若數(shù)列｛4｝滿足/La；-5%+9嗎=4,則±+七+L+七<l

v<|4“°LL4J

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可判定A正確；當(dāng)q=T時(shí)，取&=2,得到$2=0,可判定B錯(cuò)誤；根

據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確：化簡得到一-=------------利用裂項(xiàng)法，可判定O正確.

4,-2%-3%-3

【解答】對(duì)于A中，設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d,

因?yàn)槎?q+4+…+4，S2k-Sk=aM+ak,2+L+a2k,S3k-S2k=^,+1+a,,+2+L+a3k,…，

可得($2*—Sj—&=(S“—S”)—(S2「Sj=L=HdgN*),

所以S*,5,,-5,,S3+-S2*,…構(gòu)成等差數(shù)列，故A正確；

對(duì)于8中，設(shè)數(shù)列｛叫的公比為4(4。())，

當(dāng)q=-l時(shí)，取女=2,此時(shí)§2=q+々=0,此時(shí)不成等比數(shù)列，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，當(dāng)4〉0,d<0時(shí)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，

此時(shí)所有正數(shù)項(xiàng)的和為S”的最大值，故C正確；

對(duì)于力中，由6+1=4-54+9,可得%-3=a；-5a“+6=(a“-2).(a.-3),

所以4尸2或忠工3,

-----------=1-------

4-3an+x-3alt+l-3

，111

因?yàn)?=4,所以J=a;一5%+9>a“，可得4+1>4,所以1----二<1，故。正確.

故選：ACD

【點(diǎn)評(píng)】由〃向="；-5”“+9,得到%+「3=*—5%+6=(%一2>(4,-3),進(jìn)而得出

結(jié)合“裂項(xiàng)法”求解是解答本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.

14.(2021.全國高三其他模擬)已知數(shù)列｛%｝為遞增的等差數(shù)列，其公差為4,前〃項(xiàng)和為S“.若2%=%，

則下列說法正確的是()

A.J>0B.S7=S8>0

C.僅S’為S”的最小值D.S“>0時(shí)〃的最小正整數(shù)為16

【答案】AD

【分析】根據(jù)條件可知d>0,并且可知能=0,判斷AB選項(xiàng)，根據(jù)《=0,利用正負(fù)項(xiàng)的分界，判斷c

選項(xiàng)，利用4=0,可知15=0,判斷D選項(xiàng).

【解答】本題考查等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前〃項(xiàng)和的應(yīng)用.

2a5=a,n2tz,+8t/=al+</^>al+76/=0=>a8=0.

???｛4｝為遞增數(shù)列，??"〉（），故A選項(xiàng)正確；

iZ>0'/=0,，S7=$8<。，故B選項(xiàng)不正確；

???J>0,%=0，，S7=S8同為S”的最小值，故C選項(xiàng)不正確;

???4=0，55=15/=。，...使Sa>0的〃的最小正整數(shù)為16,故D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前幾項(xiàng)和的最值，關(guān)鍵是求得用=0,根據(jù)正負(fù)項(xiàng)的分界，判斷選項(xiàng).

15.（2021?江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列｛。"｝,｛2｝均為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的有（）

A.數(shù)列｛。,力“｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4+2｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列"g是等差數(shù)列D.數(shù)列｛lg（a），）｝是等差數(shù)列

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式判斷.

［解答］設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為小，數(shù)列也｝的公比為%,所以?！?,bn=如丁.

對(duì)于A,=a占4'-1餐,從而數(shù)列｛/〃,｝的公比為［%，故A正確.

對(duì)于B,,%與生不一定相等，所以數(shù)列｛4+4｝不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤.

=館旦+(〃-1)愴念從而數(shù)列Mg%I的公差為1g

對(duì)于C,%.故C正確.

q%an

對(duì)于D,lg（a,芯）=21g|a也|=21g|a閔+,從而數(shù)列｛lg（"；b；）｝的公差為2囿0%|,D

正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷.掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義是關(guān)鍵.判斷方法有：（1）

定義法；（2）通項(xiàng)公式法；（3）等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)法；（2）前.〃項(xiàng)和公式.特別注意等比數(shù)列中各項(xiàng)均

不為0.

三、填空題

16.（202L貴州畢節(jié)市?高三三模（理））已知公比為q的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d的等差

數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為T“，且S“+7；=2"M+〃2—2,則:的值為.

【答案】1

【分析】將5,7；分別用前〃項(xiàng)和表示，然后根據(jù)等式的特征，可得|q=2，再解方程即可.

-=1

2

【解答】令等比數(shù)列的首項(xiàng)為外,等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,

所以

。?a.(l-q")rr,..d、-a,?rr,,d+-^-=2"+,+n2-2=2-2n+n2-2

S，，+Z，=^Z^+萬人他-5)〃==4+5"Sz「耳

1一夕

4=2

所以，q=2=>

d=2

-=1

2

因此q=1.

d

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用等比數(shù)列及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，然后建立方程組.

17.（2021.江西九江市.高三三模（理））已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,q=l,且

S,+S,i=q：（〃22）,設(shè)］=（T）（24+1）,則數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和的取值范圍為________.

S"

【答案】—

［分析］根據(jù)s“,an之間關(guān)系可得數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列并得到an,然后得到bn,根據(jù)裂項(xiàng)相消可得數(shù)列

｛〃｝前〃項(xiàng)和，最后進(jìn)行判斷即可.

【解答】由S”+%=［①,則5n+1+S.=吃②

②-①化筒可得：（見+1_4,-1）（。"+1+。"）=0，又。“〉0，所以?！?1一?！?1（〃22）

當(dāng)〃=2時(shí)，S2+5,=a；nq+%+q=%。n4=2

所以外-4=1符號(hào)用一4=1,故數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列

所以4,=〃，則S?=（"叫"

2

2（-l）n-（2n+l）=2（叫卜1

所以仇=

〃+1

令設(shè)數(shù)列｛d｝前"項(xiàng)和7“

：+（一1）".1

"22334'）〃+1

-1—-1,“為偶數(shù)

所以4=〃+1,

-1-------,〃為奇數(shù)

〃+1

112

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Tn=-------1,則7；4二一1二-7且7；＞—1

〃+133

113

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，T=---------1,則（之——1=一一目工,＜一1

n〃+122

綜上所述：Tne

故答案為：一刁,_］卜［_1,一'1

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，第一求得％=〃，第二求得”=2（-1）”（'+」二］.

\nn+\）

18.（2021.長沙市.湖南師大附中高三二模）已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，ay,且a“a,i+l=2a,i，數(shù)列也｝滿

足bn=1J,則也｝的通項(xiàng)公式是b?=.

…r10

【答案】n-----

3

【分析】根據(jù)已知，利用作差法求％一勿_1易判斷｛々｝為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式即可.

【解答】anan^+1=2tz?_l,

.h_h=!!==1

""I4「Ian-\-1（凡-1）（41-1）+1一”"T-%an-\~an

417

又a=一,則4L=---7=-r-

7%-13

7

...數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為-（，公差為1的等差數(shù)列，

,7,10

:?b,,=---Fn-1=n------.

〃33

故答案為：n-----.

3

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用作差的方法求么一勿一，判斷數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而求通項(xiàng).

,、Ihhb/

19.（2021?安徽高三三模（理））已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：q=l,4=一，一+—+…+—n=--+6（〃22

34。2%an-\

,為奇數(shù)

且〃EN+）,等比數(shù)列也｝公比4=2,令,則數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和§2“=.

如〃為偶數(shù)

4n+1-4

【答案】2"—九+

3

【分析】依據(jù)題意可得4,然后依據(jù)公式可得勾，然后根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列,」為等差數(shù)列，進(jìn)步

IAJ

得出最后分組求和可得結(jié)果.

1b.b,b,b_..

【解答】因?yàn)閝=l,。，=一，一+=+…+—=nJ+6（〃22且“eN+）,①

-3??%-1

可得〃=2時(shí)，1+二=-i+6,即4+3伍=a+6,

%a24

由等比數(shù)列的低｝的公比為4=2,

即4+6bl=44+6,解得4=2,

所以2=2",

當(dāng)〃=3時(shí)，—+—+—=—+6,即2+3x4+芻=3x16+6,

a

qa2。3i/

解得生=；，

又+…+^±=_^_+6(〃N3且“eN+),(2)

a\"2an-ian-2

g與-r/口b“_仇+1b”

①-②可得，—-----------，

an4,1an-2

2"2n+12"11

即一=----------,化為一+----=

aaa

?a,ia吁2"'-2

又一+—=6=—,

a,a3a,

[11,11.

所以數(shù)列《一卜為等差數(shù)列，且公差△=------=2,

a?4?i

則—=—+2(〃—1)=2n—1,

an4

為奇數(shù)

2"/為偶數(shù)

所以$2“=1+2?+5+2"+…+(4〃-3)+2?”

=(1+5+…+4〃-3)+02+24+…+22")

_w(l+4n-3)40-4")

-2+1-4

4M+1-4

故答案為：2/一〃+-------

3

【點(diǎn)評(píng)】得出an,bn的公式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)熟練分組求和的方法.

20.（2021?曲靖市第二中學(xué)高三二模（文））已知數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為滿足2S,,=〃2+〃（〃GN*）,

設(shè)bn=（一1）”為包一，則數(shù)列｛4｝的前2021項(xiàng)和石021

an'an+i

2023

【答案】

2022

【分析】利用4=S,—S,T5N2）求得/,注意得出"后，用裂項(xiàng)相消法求和7202.

2

【解答】因?yàn)?5“=/+〃，所以s,

〃22時(shí)，an=Sn-S,i=-------------------

4=5=?=1也適合上式，所以4=〃，

二(-1)"(2〃+1)1

b=(-1)"(-+），

n〃+1

所以，02]=一([)+(1)-(1)+???+(---------1--------)---------1----------=-1-------------=-----------

20212233420202021(20212022)20222022

2023

故答案為:

2022

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由前〃項(xiàng)和S“求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和.數(shù)列求和的常用方法:

設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列,

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列｛a/.｝的前〃項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列｛—^｝（我為常數(shù)，4#0）的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛pa“+q〃J用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時(shí)可能

用并項(xiàng)求和法；

（5）倒序相加法：滿足%,+%”,“=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

21.（2021.江西高三二模（文））AABC中角A、B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,a+2c=2bcosA,

若AABC的周長為15,且三邊的長成等差數(shù)列，則AABC的面積為.

【答案】在?

4

【分析】利用余弦定理可求得9058=-4，可求得角5的值，然后設(shè)a<c,可得出a+〃=2c,利用三角

2

形的周長可求得c=5,結(jié)合余弦定理得出關(guān)于。、力的方程組，解出這兩個(gè)量的值，再結(jié)合三角形的面積

公式可求得結(jié)果.

人242_2^2,2_2

【解答】???〃+2c=2人cosA=2b?^~~-——=^—――,整理可得"+/_人2=一碇，

2bcc

2212[0

所以，cosB=a+C-.?.5=——，所以，b>a且。〉c，

2ac23

設(shè)a<c,則。+人=2c,因?yàn)镼+/?+C=3C=15,可得。=5,

代入儲(chǔ)+/一匕2=一。。可得儲(chǔ)一/+25+5。=0,

ci+b=10。二3

聯(lián)立《22，解得《

a-b~+5?+25=0,二7，

因止匕，=：acsinB=gx3x5x*=^^.

故答案為：見5.

4

【點(diǎn)評(píng)】在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答

案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理"角化邊”；

（2）若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”：

（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

22.（2021.黑龍江哈爾濱市.哈九中高三三模（文））已知數(shù)列｛a,,｝與｛勿｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,且

2x3〃+1

?！?gt;0,2S“=a；+a“，H^?則T”的取值范圍是.

71*

【答案】［二,：）中&〃eN*對(duì)應(yīng)的那些值

444

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式求出《，代入得勿，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求出,，再根據(jù)數(shù)列｛（｝的單調(diào)性可求出

結(jié)果.

【解答】當(dāng)〃=1時(shí)，2q=a；+q得。：=4,因?yàn)閍“>0,所以q=l,

當(dāng)時(shí),2s=a3+a“_|,2an=2Sn-2Sn_t=a^,+an--an_t,

所以4,+a”1=（凡+??_1）（??-，

因?yàn)閍“+a“T>0,所以a“一a“T=。

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

所以=q+（〃_l）d=1+（〃_1）x1=〃，

1________]

所以”

~3"+n~3"+'+n+l

十，，T,,,111111

所以1,=b.+b-,+,,?+/?=—：------：----1—：------?----1-…-I----------n------

"12"3'+132+232+23s+33"+n3"+,+n+l

11

-4-3,,+l+n+l-

]]71

因?yàn)閿?shù)列｛（｝為遞增數(shù)列，所以雹2工=--------=—,又7；（一，

49+2444

71

所以（的取值范圍是[石,1）.

故答案為：[二,工）小（“NGN"對(duì)應(yīng)的那些值.

【點(diǎn)評(píng)】利用裂項(xiàng)求和法求出，是解題關(guān)鍵.

23.（2021?陜西高三三模（理））已知數(shù)列｛4｝與｛,｝前，?項(xiàng)和分別為S“，Tn,且

2"+1

7

%>0,2s“=a；+a”,〃wN*,bn=（2"+aJ（2"，%）'則=

【答案】一

135

【分析】由遞推關(guān)系求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，代入"，根據(jù)裂項(xiàng)求和的辦法求得小

【解答】因?yàn)?S?=a：+an,所以當(dāng)〃..2,〃eN*時(shí)，2S?_,=+%，

兩式相減得：2a“=a；+an-—an_｛,

整理得，（q一。,_1_1）（%+）=0，

由a”>0知，an+0,

從而an-an_x-1=0,

即當(dāng)〃..2,〃eN*時(shí)，=1.

當(dāng)〃=1時(shí)，2q="；+%,解得q=l或0（舍），

則｛為｝首項(xiàng)為1，公