山東省聊城市高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

山東省聊城市2018屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文科）1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】.故選A.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.4B.2C.D.1【答案】C【解析】,故選C.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】,故公差.故選B.4.我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個(gè)全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個(gè)如圖所示的大正方形和一個(gè)小正方形.設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角的正切值為3.在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正方形內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】不妨設(shè)兩條直角邊為,故斜邊,即大正方形的邊長為,小正方形邊長為,故概率為.5.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得,故是遞增數(shù)列,反之也成立,所以為充要條件.選C.6.已知直線與拋物線：相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè),代入拋物線得,兩式相減得,即,即直線的斜率為,由點(diǎn)斜式得,化簡(jiǎn)得,故選D.7.已知函數(shù)，不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由于,所以函數(shù)為奇函數(shù),且為單調(diào)遞增函數(shù),故,所以,故選A.8.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)到雙曲線的左焦點(diǎn)的距離為（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為,所以.雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè),即雙曲線右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,故,由于,解得,右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為,故選D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為1.5，則輸入的值應(yīng)為（）A.4.5B.6C.7.5D.9【答案】B【解析】,判斷是,,判斷是,,判斷是,,判斷否,輸出,故選B.10.在中，邊上的中線的長為2，，則（）A.1B.2C.2D.1【答案】C【解析】,故選C.11.如圖是某幾何體的三視圖，其中俯視圖為等邊三角形，正視圖為等腰直角三角形，若該幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與該幾何體的體積的比為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)底邊長和高為,則三棱錐的體積為.底面外接圓半徑,故幾何體外接球的半徑為,體積為.故比值為.故選C.12.已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,在上單調(diào)遞減.若,則在上遞增,那么零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有一個(gè),不符合題意,故.故需當(dāng)時(shí),且,使得第一段有一個(gè)零點(diǎn),故.對(duì)于第二段,,故需在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn),,故在上遞增,在上遞減,所以,解得.綜上所述,【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查含有參數(shù)的分段函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,最值等基本問題.其中用到了多種方法,首先對(duì)于第一段函數(shù)的分析利用了分離常數(shù)法,且直接看出函數(shù)的單調(diào)性.第二段函數(shù)利用的是導(dǎo)數(shù)來研究圖像與性質(zhì).13.設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】4【解析】,畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值為.[點(diǎn)睛]本小題主要考查線性規(guī)劃的基本問題,考查了指數(shù)的運(yùn)算.畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：①畫出直線（有等號(hào)畫實(shí)線，無等號(hào)畫虛線）；②當(dāng)時(shí)，取原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，判斷原點(diǎn)所在的平面區(qū)域；當(dāng)時(shí)，另取一特殊點(diǎn)判斷；③確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________．【答案】【解析】依題意得,故,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,故.[點(diǎn)睛]已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：(1)先利用求出；(2)用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；(3)對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．15.已知，，，則的最小值為__________．【答案】【解析】由得,故.16.若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)，既有最大值又有最小值，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】,其中,,故,解得,故,解得.17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┮阎?，的面積為，求的周長.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】【試題分析】(I)利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知,可求得的值,進(jìn)而求得的大小.(II)利用余弦定理和三角形的面積公式列方程組求解的的值,進(jìn)而求得三角形周長.【試題解析】（Ⅰ）由及正弦定理得，，，∴，又∵，∴.又∵，∴.（Ⅱ）由，，根據(jù)余弦定理得，由的面積為，得.所以，得，所以周長.18.為促進(jìn)農(nóng)業(yè)發(fā)展，加快農(nóng)村建設(shè)，某地政府扶持興建了一批“超級(jí)蔬菜大棚”.為了解大棚的面積與年利潤之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了其中的7個(gè)大棚，并對(duì)當(dāng)年的利潤進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理后得到了如下數(shù)據(jù)對(duì)比表：大棚面積（畝）4.55.05.56.06.57.07.5年利潤（萬元）677.48.18.99.611.1由所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，各樣本點(diǎn)都分布在一條直線附近，并且與有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）小明家的“超級(jí)蔬菜大棚”面積為8.0畝，估計(jì)小明家的大棚當(dāng)年的利潤為多少；（Ⅲ）另外調(diào)查了近5年的不同蔬菜畝平均利潤（單位：萬元），其中無絲豆為：1.5，1.7，2.1，2.2，2.5；彩椒為：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，請(qǐng)分析種植哪種蔬菜比較好？參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）大約為11.442萬元.（Ⅲ）種植彩椒比較好.【解析】【試題分析】(I)利用回歸直線方程計(jì)算公式計(jì)算出回歸直線方程.(II)將代入求得當(dāng)年利潤的估計(jì)值.(III)通過計(jì)算平均數(shù)和方差比較種植哪種蔬菜好.【試題解析】（Ⅰ），，，，，那么回歸方程為：.（Ⅱ）將代入方程得，即小明家的“超級(jí)大棚”當(dāng)年的利潤大約為11.442萬元.（Ⅲ）近5年來，無絲豆畝平均利潤的平均數(shù)為，方差.彩椒畝平均利潤的平均數(shù)為，方差為.因?yàn)?，，∴種植彩椒比較好.19.如圖，四棱錐中，為等邊三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【試題分析】(I)取的中點(diǎn)為，連接，.利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證得,由此證得平面,故,故.(II)可知是棱錐的高,利用體積公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得的值,進(jìn)而求得面積.【試題解析】證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連接，，∵為等邊三角形，∴.底面中，可得四邊形為矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，所以.（Ⅱ）由面面，，∴平面，所以為棱錐的高，由，知，，∴.由（Ⅰ）知，，∴..由，可知平面，∴，因此.在中，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，，∴.所以棱錐的側(cè)面積為.20.已知圓經(jīng)過橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，它們?cè)谳S兩側(cè)，且的平分線在軸上，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn).【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直線過定點(diǎn).【解析】【試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知,故,由此求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點(diǎn).【試題解析】（Ⅰ）圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸交點(diǎn)即為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，所以，.從而，因此橢圓的方程為：.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為.由，消去得.設(shè)，，則，.直線的斜率；直線的斜率..由的平分線在軸上，得.又因?yàn)?，所以，所?因此，直線過定點(diǎn).[點(diǎn)睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系.涉及直線與橢圓的基本題型有：（1）位置關(guān)系的判斷.（2）弦長、弦中點(diǎn)問題.（3）軌跡問題.（4）定值、最值及參數(shù)范圍問題.（5）存在性問題.常用思想方法和技巧有：（1）設(shè)而不求.（2）坐標(biāo)法.（3）根與系數(shù)關(guān)系.21.已知函數(shù)（，且）.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（Ⅰ）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II)由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對(duì)分類討論求得函數(shù)在不同取值時(shí)的最大值.【試題解析】（Ⅰ），設(shè)，則.∵，，∴在上單調(diào)遞增，從而得在上單調(diào)遞增，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可知.∵，，∴.設(shè)，則.∵當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增.又∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，，即，這時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，即，這時(shí)，.綜上，在上的最大值為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．..................22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的普通方程為.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出圓的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為、，為圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.直線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）.【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標(biāo)方程展開后化簡(jiǎn)得直角坐標(biāo)方程.(II)求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)，代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.【試題解析】（Ⅰ）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.直線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由直線的方程可得點(diǎn)，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，則..由（Ⅰ）知，則.因?yàn)椋?23.選修45：不