03挑戰(zhàn)壓軸題（解答題一）2

（挑戰(zhàn)壓軸題）2023年中考數(shù)學(xué)【三輪沖刺】專題匯編（杭州專用）—03挑戰(zhàn)壓軸題（解答題一）1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)y1=2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖像與x(1)若A，B兩點的坐標(biāo)分別為(1，0)，(2，0)，求函數(shù)y1(2)若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1=2x-h(3)設(shè)一次函數(shù)y2=x-m（m是常數(shù)）．若函數(shù)y1的表達(dá)式還可以寫成y1=2【答案】(1)y1=2(2)-(3)x0-【分析】（1）利用待定系數(shù)法計算即可．（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，構(gòu)造以b+c為函數(shù)的二次函數(shù)，求函數(shù)最值即可．（3）先構(gòu)造y的函數(shù)，把點x0,0代入解析式，轉(zhuǎn)化為【詳解】（1）由題意，二次函數(shù)y1=2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過(1，0)∴2+b+c解得b=-∴拋物線的解析式y(tǒng)1∴圖像的對稱軸是直線x=-（2）由題意，得y1∵y1∴b=4h，c=2∴b+c=2h∴當(dāng)時，b+c的最小值是-4．（3）由題意，得=2x因為函數(shù)y的圖像經(jīng)過點x0所以x0所以x0-m=0【點睛】本題考查了二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值，對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的最值，對稱性是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=ax2+bx+1（a，b（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過1,0和2,1兩點，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．（2）寫出一組a，b的值，使函數(shù)y=ax2+bx+1（3）已知a=b=1，當(dāng)x=p,q（，q是實數(shù)，p≠q）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q=2，求證P+Q>6．【答案】（1）y=x2-2x+1，頂點坐標(biāo)是1,0；（2）a=1，【分析】（1）把點1,0和2,1代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解，然后把一般式化為頂點式即可求解頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解；（3）由題意，得P=p2+p+1，Q=【詳解】解：（1）把點1,0和2,1代入得：a+b+1=04a+2b+1=1解得a=1b=∴y=x2-∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是1,0；（2）例如a=1，b=3，此時y=x因為b2所以函數(shù)y=x2+3x+1（3）由題意，得P=p2+p+1∵p+q=2，∴P+Q====2q由題意，知q≠所以P+Q>6．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是實數(shù)，a≠0）．（1）若函數(shù)y1的對稱軸為直線x＝3，且函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（a，b），求函數(shù)y1的表達(dá)式．（2）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點（1r，0（3）設(shè)函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n，若m+n＝0，求m，n的值．【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）見解析；（3）m＝n＝0．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+br+ar2＝0，即a（1r）2+b?1r+1＝0，推出1（3）由題意a＞0，可得m＝，n＝，根據(jù)m+n＝0，構(gòu)建方程可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意，得到﹣b2＝3，解得b＝﹣6∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過（a，﹣6），∴a2﹣6a+a＝﹣6，解得a＝2或3，∴函數(shù)y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．（2）∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，∴r2+br+a＝0，∴1+br+a即a（1r）2+b?1r+1＝∴1r是方程ax2+bx+1即函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點（1r，0（3）由題意a＞0，∴m＝，n＝，∵m+n＝0，∴+＝0，∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，∵a+1＞0，∴4a﹣b2＝0，∴m＝n＝0．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法的運用及一元二次方程的求解方法．4．（2019·浙江杭州·中考真題）方方駕駛小汽車勻速地從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設(shè)小汽車的行駛時間為t（單位：小時），行駛速度為v（單位：千米/小時），且全程速度限定為不超過120千米/小時.⑴求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；⑵方方上午8點駕駛小汽車從A出發(fā).①方方需在當(dāng)天12點48分至14點（含12點48分和14點）間到達(dá)B地，求小汽車行駛速度v的范圍.②方方能否在當(dāng)天11點30分前到達(dá)B地？說明理由.【答案】（1）；（2）①，②方方不能在11點30分前到達(dá)B地.【分析】（1）根據(jù)題意，得，由題意，得t≥4，從而得到答案；（2）①根據(jù)一元一次不等式，結(jié)合題意即可得到答案；②根據(jù)不等式，即可求解答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，所以，因為，所以當(dāng)時，t≥4所以（2）①根據(jù)題意，得，因為，所以，所以②方方不能在11點30分前到達(dá)B地.理由如下：若方方要在11點30分前到達(dá)B地，則，所以，所以方方不能在11點30分前到達(dá)B地．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的解析式、一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)、一元一次不等式．5．（2018·浙江杭州·中考真題）如圖，△OAB是邊長為2+的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．(1)當(dāng)A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標(biāo)；(2)當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=﹣16x2+bx+c經(jīng)過點A′和E時，求拋物線與x(3)當(dāng)點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．【答案】(1)A′、E的坐標(biāo)分別是（0，1）與（，1）；(2)與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別是（，0）與（2，0）；(3)不可能使△A′EF成為直角三角形，理由見解析.【分析】（1）當(dāng)A′E∥x軸時，△A′EO是直角三角形，可根據(jù)∠A′OE的度數(shù)用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長．據(jù)此可求出A′和E的坐標(biāo)；（2）將A′，E點的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出其解析式．進(jìn)而可求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：①∠A′EF=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A′EF=∠AEF=90°，此時A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．【詳解】（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，由A′E∥x軸，得△直角三角形，∠OEA′=30°，設(shè)A′的坐標(biāo)為（0，b），則OE=2b，AE=A′E=b，b+2b=2+，所以b=1，所以A′、E的坐標(biāo)分別是（0，1）與（，1）．（2）因為A′、E在拋物線上，所以{1所以{c=1函數(shù)關(guān)系式為y=16x2+36x令y=0得到：16x2+36x解得：x1=，x2=2，與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別是（?，0）與（2，0）．（3）不可能使△A′EF成為直角三角形．理由如下：∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，A、E、A三點共線，O與A重合，與已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能，所以不能使△A′EF成為直角三角形．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強(qiáng)．1．（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)y=ax2+1-3ax-4(1)若點1,-1在二次函數(shù)①求該函數(shù)的表達(dá)式和頂點坐標(biāo)；②若點和Q5,n在函數(shù)的圖象上，且m<n，求x0(2)若函數(shù)y的圖象過x1,y1和x2,y【答案】(1)①二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+4x-4，頂點坐標(biāo)2,0；②(2)a【分析】（1）①把1,-②先求出n=-9，再求出y=-x-22=-9的解，即可根據(jù)m<n（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性計算即可，注意分類討論．【詳解】（1）①∵點1,-1在二次函數(shù)y=ax∴-1=a+解得：a=-∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=∵y=∴頂點坐標(biāo)2,0；②∵Q5,n∴n=-當(dāng)y=-x-22=-9∵y=-x2+4x-4開口向下，且點和Q5,n∴或x0（2）二次函數(shù)y=ax2+∵當(dāng)x1<x∴當(dāng)x≤43時，y隨當(dāng)a>0時，在對稱軸左邊y隨x的增大而減小，即x此時32-1當(dāng)a<0時，在對稱軸右邊y隨x的增大而減小，即3此時32綜上所述，當(dāng)x1<x2≤43【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+1，（a，b是實數(shù)，(1)若b≠0，且函數(shù)y1和函數(shù)y2的對稱軸關(guān)于y軸對稱，求(2)若函數(shù)y2的圖像過點(b,9a)，求函數(shù)y1的圖像與(3)設(shè)函數(shù)y1，y2的圖像兩個交點的縱坐標(biāo)分別為m，n．求證：m-【答案】(1)a=-(2)函數(shù)y1的圖像與x軸有1(3)證明見詳解；【分析】（1）根據(jù)函數(shù)y1和函數(shù)y2的對稱軸關(guān)于（2）由二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)及與x軸交點與判別式關(guān)系，即可得到答案；（3）求出交點坐標(biāo)，代入解析式即可得到答案；【詳解】（1）解：由拋物線的對稱軸公式可得，，∵b=0，解得：a=-（2）解：將點(b,9a)代入解析式可得，b2整理得，b2當(dāng)y1ax∴△=∴函數(shù)y1的圖像與x軸有1（3）證明：當(dāng)y1，解得：x=±∴兩個交點的橫坐標(biāo)為1和，∴m=a+b+1，，∴m-∴m-n的值與【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點，關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)等知識點．3．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）小李、小王分別從甲地出發(fā)，騎自行車沿同一條路到乙地參加公益活動．如圖，折線OAB和線段CD分別表示小李、小王離甲地的距離y（單位：千米）與時間x（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)求小王的騎車速度，點C的橫坐標(biāo)；(2)求線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)小王到達(dá)乙地時，小李距乙地還有多遠(yuǎn)？【答案】(1)18千米/小時，0.5(2)y=9x+4.50.5(3)4.5千米【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)先求出小王的騎車速度，再求出點C的坐標(biāo)；（2）用待定系數(shù)法可以求得線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）將x=2代入（2）中的函數(shù)解析式求出相應(yīng)的y的值，再用27減去此時的y值即可求得當(dāng)小王到達(dá)乙地時，小李距乙地的距離．【詳解】（1）解：由圖可得，小王的騎車速度是：27-9÷2-1=18點C的橫坐標(biāo)為：1-（2）設(shè)線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+bk∵A0.5,9，B∴0.5k+b=92.5k+b=27解得：k=9b=4.5∴線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=9x+4.50.5（3）當(dāng)時，y=18+4.5=22.5，∴此時小李距離乙地的距離為：27-答：當(dāng)小王到達(dá)乙地時，小李距乙地還有4.5千米．【點睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校?？级＃┰O(shè)二次函數(shù)y=mx2+nx-m-n（m，n(1)判斷該拋物線與x軸的交點的個數(shù)，并說明理由．(2)若m+n<0，點P2,aa>0(3)設(shè)Mx1,y1，Nx2,y【答案】(1)1個或2個，見解析(2)見解析(3)x【分析】（1）首先求出△=（2）把x＝2代入用m、n表示a，由a的范圍結(jié)合m+n<0可解．（3）通過作差法，根據(jù)y1<y【詳解】（1）解：該二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)是1個或2個，理由如下：∵△=∴該二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)是1個或2個．（2）當(dāng)時，a=4m+2n-m-∵m+n<0，∴-m-①②相加得：2m>0，∴m>0．（3）∵M(jìn)x1,∴y1=mx∴y1∵x1∴x1∵y1∴x1∴mx∴mx∵m+n=0，m≠∴m=-∴x1+x∴x1【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．5．（2022·浙江杭州·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y1=x(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若的圖象與一次函數(shù)y2=x+b（b為常數(shù)）的圖象有且僅有一個交點，求b(3)已知（x0，n）x0>0在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，求證：n＞﹣54【答案】(1)或(2)-(3)見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用已知條件可得方程x-a2+a-1=x+b有兩個相等的實數(shù)根，則（3）由題意可得當(dāng)x=0時的函數(shù)值小于當(dāng)x=【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），∴1-解得：a＝0或1，∴函數(shù)的表達(dá)式為或；（2）解：∵若的圖象與一次函數(shù)y2=x+b（b∴方程x-∴x2∴Δ=2a+1解得：b=-（3）證明：∵，∴0+x∵拋物線的對稱軸為直線x=a，拋物線開口方向向上，∴x=0和x=2a∴由圖象可知當(dāng)x=0時的函數(shù)值小于當(dāng)x=即：，∵a2∴，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與交點，能夠運用函數(shù)圖像的性質(zhì)列式是解題關(guān)鍵．6．（2022·浙江杭州·杭州采荷實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2＋2ax﹣a2﹣a＋2（a是常數(shù)）上．(1)若該二次函數(shù)圖象的頂點在第二象限時，求a的取值范圍；(2)若拋物線的頂點在反比例函數(shù)y＝﹣8x（x＜0）的圖象上，且y1＝y(tǒng)2，求x1＋x2(3)若當(dāng)1＜x1＜x2時，都有y2＜y1＜1，求a的取值范圍．【答案】(1)a＜0(2)x1+x2＝﹣4(3)a≤0或a＝1【分析】（1）先將拋物線解析式化成頂點式，求出拋物線頂點坐標(biāo)為（a，﹣a+2），再根據(jù)第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征得出不等式組a<0-（2）將拋物線頂點坐標(biāo)為（a，﹣a+2）代入反比例函數(shù)解析式即可求得a=2，從而得出拋物線頂點坐標(biāo)（﹣2，4），再利用拋物線的對稱性和中點坐標(biāo)公式求解即可；（3）根據(jù)當(dāng)1＜x1＜x2時，都有y2＜y1＜1，得出不等式組a<1-1+2a-a2（1）解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2＝﹣（x﹣a）2﹣a+2，∴拋物線y＝﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2的頂點為（a，﹣a+2），∵拋物線的頂點在第二象限，∴a<0-解得a＜0；（2）解：∵拋物線y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的頂點坐標(biāo)為(a,a+2)，又∵拋物線y=﹣x2+2ax﹣a2﹣a+2=﹣（x﹣a）2﹣a+2的頂點坐標(biāo)在反比例函數(shù)y=﹣8x（x＜0∴a（﹣a+2）＝﹣8，解得a＝4或a＝﹣2，∵a＜0，∴a＝﹣2，∴頂點為（﹣2，4），∵y1＝y(tǒng)2，∴點A（x1，y1），B（x2，y2）關(guān)于直線x＝﹣2對稱，∴x1+x∴x1+x2＝﹣4；（3）解：∵當(dāng)1＜x1＜x2時，都有y2＜y1＜1，∴a<1-1+2a-a2解得a≤0或a＝1，故a的取值范圍為a≤0或a＝1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．7．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線（a，b為常數(shù)，且a≠0(1)已知點A1,4，B-1,0，(2)點Mm,n為（1）中拋物線上一點，且0<m<4，求n(3)若拋物線與直線y=ax+3b都經(jīng)過點2,m，設(shè)t=a2+4b【答案】(1)y=(2)-(3)見解析【分析】（1）先求出拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），從而確定拋物線經(jīng)過A、B兩點，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)（1）所求函數(shù)解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)拋物線與直線y=ax+3b都經(jīng)過點2,m，可以推出b=2a+3，得到t=a【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），∴拋物線不可能經(jīng)過點C（0，2），即拋物線經(jīng)過點A（1，4）、B（1，0），∴a+b+3=4a∴a=-∴拋物線解析式為y=-（2）解：由（1）得拋物線解析式為y=-∴拋物線的函數(shù)值最大值為4，∵-1<0∴當(dāng)x<1時，y隨x增大而增大，當(dāng)x≥1時，y隨當(dāng)x=0時，，當(dāng)x=4時，y=-5∴當(dāng)時，-5<y≤∵點Mm,n為拋物線上一點，且0<m<4∴-5<n（3）解：∵拋物線與直線y=ax+3b都經(jīng)過點2,m，∴4a+2b+3=m2a+3b=m∴b=2a+3，∵t=a∴t=a∵1>0，∴t≥-又∵a≠∴t≠又∵當(dāng)a=-8，t=-∴t≥-【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江杭州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京冬奧會的召開燃起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1:y=-112x2+43(1)當(dāng)小雅滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行達(dá)到最高位置為172米．求出a，c(2)小雅若想滑行到坡頂正上方時，與坡頂距離不低于103米，請求出a【答案】(1)a=-18(2)-【分析】（1）根據(jù)題意，拋物線C2的頂點坐標(biāo)為（6，172），設(shè)C2的解析式為：y=ax-6（2）求出山坡的頂點坐標(biāo)為（8，203），根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可求得a【詳解】（1）解：根據(jù)題意，拋物線C2的頂點坐標(biāo)為（6，17設(shè)C2：y=ax代入x=0,y=4，得36a+17解得a=-∴y=-1∴a=-18，（2）解：拋物線C1：y=-因此拋物線C1的頂點坐標(biāo)為（8，203即當(dāng)x=8時，運動員到達(dá)坡頂，此時a×82+32解得a≥-根據(jù)實際情況，a<0，∴-【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+cc<0與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸，與拋物線交于另一點D，直線(1)已知點C的坐標(biāo)是0，-4，點B的坐標(biāo)是(2)若，求證：AD⊥BC(3)如圖2，設(shè)第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側(cè)部分的一點，點P的橫坐標(biāo)為t，點Q是直線BC上一點，是否存在這樣的點P，使得△PGQ是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足∠GQP=∠OCA【答案】(1)(2)證明見解析(3)t=13或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出當(dāng)時，拋物線的解析式為y=12x2+12c+1x+c，由此求出設(shè)直線AD與y軸交于點E，則E0，-2，得到OA=OE=2，則∠OAE=45°，同理得∠OBC=45°，從而得到∠AMB=90°（3）如圖所示，連接AC，PQ，求出拋物線對稱軸為直線x=1，則A-2，0，推出tan∠GQP=tan∠OCA=12，求出直線BC的解析式為y=x-4，設(shè)Pt，12t2-t-4，Qs，s-4，然后分當(dāng)點Q在點P下方時，如圖31所示，過點Q、P分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，證明△QMG∽△GNP，得到4-st-1【詳解】（1）解：把B4，0，C0，∴b=-∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴拋物線解析式為y=1令y=12x解得或x=-2∴A-∴拋物線對稱軸為直線x=-∵CD∥∴D-設(shè)直線AD的解析式為y=kx+2∴k-解得k=-∴直線AD的解析式為y=-設(shè)直線AD與y軸交于點E，∴E0∴OA=OE=2，∴∠OAE=45∵OC=OB=c，∴∠OBC=45∴∠AMB=90∴AD⊥（3）解：如圖所示，連接AC，∵拋物線解析式為y=1∴拋物線對稱軸為直線x=1，∴A-∴OA=2，∴tan∠∵∠GQP=∴tan∠設(shè)直線BC的解析式為y=k∴-4∴k1∴直線BC的解析式為y=x-設(shè)Pt當(dāng)點Q在點P下方時，如圖31所示，過點Q、P分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，∵∠QGP=90∴∠MGQ+∠MQG=90°=∠MGQ+∠NGP，tan∠∴∠MQG=又∵∠QMG=∴△QMG∴QMGN∴4-∴4-s=2t-2，1-∴1-解得t=13當(dāng)點Q在點P上方時，如圖32所示，過點G作MN∥y軸，過點P、Q分別作直線MN的垂線，垂足分別為N、M，同理可得QMGN∴s-∴s-4=2t-2，s-∴2t+2-解得t=7綜上所述，t=13或t=【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2mx+m2(1)求拋物線的對稱軸；（用含m的式子表示）(2)記拋物線在A，B之間的部分為圖象F（包括A，B兩點），y軸上一動點C0,a，過點C作垂直于y軸的直線l與F有且僅有一個交點，求a(3)若點M2,y3也是拋物線上的點，記拋物線在A，M之間的部分為圖象G（包括M，A兩點），記圖形G上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為t，若t≥【答案】(1)(2)a=1或2<a(3)m≤2-3或【分析】（1）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可得解；（2）將Am-1,y1，B（3）分點M在點A的左側(cè)；點A的右側(cè)，對稱軸的左側(cè)；以及對稱軸的右側(cè)，結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】（1）解：，∴對稱軸為：；（2）解：由可知：拋物線的頂點坐標(biāo)為：m,1，當(dāng)x=m-1時：y1當(dāng)x=m+2時：y1∴Am∵C0,a∴過點C垂直于y軸的直線l：y=a，如圖：由圖象可知：當(dāng)a=1或2<a≤5時，直線l與F有且僅有一個交點，∴a的取值范圍為：a=1或2<a≤5；（3）解：∵Am-1,2∴t≥當(dāng)時，y3=∴M①當(dāng)M在點A的左側(cè)，即：m-1>2，m>3時：在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，∴M點的縱坐標(biāo)最大，A點的縱坐標(biāo)最小，∴t=m解得：m≥4或m≤②當(dāng)M在點A的右側(cè)，對稱軸的左側(cè)時，此時t<2-1=1，不符合題意；③當(dāng)M對稱軸的右側(cè)，即m<2時，當(dāng)y3此時A點的縱坐標(biāo)最大，拋物線的頂點處的縱坐標(biāo)最?。簍=2-1=1<3不符合題意；③當(dāng)M對稱軸的右側(cè)，即m<2時，當(dāng)y3>2此時M點的縱坐標(biāo)最大，拋物線的頂點處的縱坐標(biāo)最小，∴t=m解得：m≥2+3（舍），或m≤2-∴m≤綜上：m≤2-3或m【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標(biāo)；(3)設(shè)P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）(3)點P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，進(jìn)而求解；（3）分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），故點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax-x1將點C坐標(biāo)代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y=-x把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：n=30=-3m+n，解得n=3∴直線的解析式為y＝x+3；（2）解：設(shè)直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最?。褁＝﹣1代入直線y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為（﹣1，2）；（3）解：設(shè)P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），則BC2＝18，PB2＝-1+32若點B為直角頂點時，則BC即18+4+t2＝解得t＝﹣2；若點C為直角頂點時，則BC2+PC2＝PB2，即4+t2＝18+解得t＝4，若P為直角頂點時，則BC2=PB2+PC解得t＝3±17綜上，點P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．12．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n(n≥0)的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階方點”．例如，點13,13是函數(shù)y=x圖像的“12階方點”；點(2,1)是函數(shù)y=(1)在①-2,-12；②；③(1,1)三點中，是反比例函數(shù)y=1x圖像的“1階方點”(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1圖像的“n階方點”【答案】(1)②③(2)3或；(3)1【分析】（1）根據(jù)“n階方點”的定義逐個判斷即可；（2）如圖作正方形，然后分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據(jù)“2階方點”有且只有一個判斷出所經(jīng)過的點的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出a的值，并舍去不合題意的值即可得；（3）由二次函數(shù)解析式可知其頂點坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動，作出簡圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過點（n，－n）和點（－n，n）時為臨界情況，求出此時n的值，由圖象可得n的取值范圍．【詳解】（1）解：∵點-2,-12到x軸的距離為2，大于∴不是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點∵點和點(1,1)都在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，且到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于1∴和(1,1)是反比例函數(shù)y=1x圖象的“1階方點”故答案為：②③；（2）如圖作正方形，四個頂點坐標(biāo)分別為（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），當(dāng)a＞0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，則y=ax-3a+1過點（－2，2）或（2，－把（－2，2）代入y=ax-3a+1得：2=-2a-3a+1，解得：a=-1把（2，－2）代入y=ax-3a+1得：-2=2a-3a+1，解得：a=3；當(dāng)a＜0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖象的“2階方點”有且只有一個，則y=ax-3a+1過點（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax-3a+1得：2=2a-3a+1，解得：a=-1；把（－2，－2）代入y=ax-3a+1得：-2=-2a-3a+1，解得：a=3綜上，a的值為3或；（3）∵二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1圖象的頂點坐標(biāo)為（n∴二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1圖象的頂點坐標(biāo)在直線y＝－2x∵y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1圖象的“n∴二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1的圖象與以頂點坐標(biāo)為（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n如圖，當(dāng)y=-(x-n)2-2n+1過點（n將（n，－n）代入y=-(x-n)2-2n+1解得：n=1，當(dāng)y=-(x-n)2-2n+1過點（－n將（－n，n）代入y=-(x-n)2-2n+1解得：n=14或由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-n)2-2n+1圖象的“n階方點”一定存在，n【點睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“n階方點”的幾何意義，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）設(shè)二次函數(shù)y=x-ax-a+2，其中(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P2,-1(2)把二次函數(shù)的圖象向上平移k個單位，使圖象與x軸無交點，求k的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點Am,t，點Bn,t，設(shè)m-n=d【答案】(1)y=(2)k>1(3)t的最小值為0【分析】（1）把P2,-1代入解析式，即可解得a（2）先由二次函數(shù)交點式求出拋物線的對稱軸，從而求得頂點縱坐標(biāo)為1，則將二次函數(shù)圖象向上平移k個單位可得頂點縱坐標(biāo)為，因為圖象與x軸無交點，所以k-1>0，即可求解；（3）因為二次函數(shù)的對稱軸為直線x=x1+x22=a-1，設(shè)m<n，則m=a-1-d2，n=a-1+d2【詳解】（1）解：把，y=-1代入y=x-ax-a+2-1=2-a2-a+2，解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）解：由二次函數(shù)的交點式得二次函數(shù)與x軸交點橫坐標(biāo)x1=a，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=x把x=a-1代入解析式得頂點縱坐標(biāo)為1．∴將二次函數(shù)圖象向上平移k個單位可得頂點縱坐標(biāo)為，∵圖象與x軸無交點，∴k-1>0，∴k>1．（3）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x=x1+∴m=a-1-d2，把x=a-1-d2，y=t代入函數(shù)解析式，得因為d≥2，所以t的最小值為0．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象平移，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵．14．（2022·浙江杭州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是（﹣4，0），（0，8），動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長線上取點E，使PE＝AO，設(shè)點P運動的時間為t秒．(1)當(dāng)點C運動到線段OB的中點時，求t的值及點E的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點C在線段OB上時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；(3)在線段PE上取點F，使PF＝3，過點F作MN⊥PE，截取FM＝，F(xiàn)N＝1，且點M，N分別在第一、四象限，在運動過程中，當(dāng)點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)t=2；E（6，0）；(2)證明見解析；(3)t1＝28﹣16，t2＝2，t3＝4+2，t4＝12【分析】（1）由運動的路程OC的長和運動速度，可以求出運動時間t的值；再求線段OE的長和點E的坐標(biāo)；（2）證△AOC≌△EPD即可；（3）點M，N中，有一點落在四邊形ADEC的邊上時，分類討論即可求解．【詳解】（1）∵點A，B的坐標(biāo)分別是（﹣4，0），（0，8），∴OA=4，OB=8，∵點C運動到線段OB的中點，∴OC=BC=12OB=4∵動點C從點B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動，∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4，動點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴點E（6，0）（2）證明：∵四邊形PCOD是平行四邊形，∴OC=PD，OC∥PD，∴∠COP=∠OPD，∴∠AOC=∠DPE在△AOC和△EPD中OC=PD∴△AOC≌△EPD（SAS）∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，∴AC∥DE，∴四邊形ADEC是平行四邊形．（3）由題意得：C(0，82t)，P(t，0)，F(xiàn)(t+3，0)，E(t+4，0)，D(t，2t8)，設(shè)CE的解析式為y=kx+b，則b=8-2t0=k(t+4)+b解得：k=2t-8∴CE的解析式為y=2t-8同理，DE的解析式為y=4-t①當(dāng)M在CE上時，M(t+3，)，則2t-8解得，t=28-163②當(dāng)N在DE上時，N(t+3，1)，則-1=解得，t=2，當(dāng)點C在y軸的負(fù)半軸上時，③如果點M在DE上時，3=解得，t=4+23④當(dāng)N在CE上時，2t-8t+4解得，t=12，綜上分析可得，滿足條件的t的值為：t1＝28﹣16，t2＝2，t3＝4+2，t4＝12．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的動態(tài)問題，平行四邊形的判定，抓住動點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點A(1，m)和點B(3，n)在二次函數(shù)y=ax(1)若m=1，n=4，求二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對稱軸．(2)若，試說明二次函數(shù)的圖象與x軸必有交點．(3)若點C(x0，y0)是二次函數(shù)圖象上的任意一點，且滿足y0【答案】(1)y=12x(2)證明見解析；(3)mn<1；【分析】（1）利用待定系數(shù)法把點A(1，1)和點B(3，4)代入y=ax2+bx+1（2）把點A(1，m)和點B(3，n)代入y=ax2+bx+1中，得方程組a+b+1=m9a+3b+1=n，從而得出a、b的關(guān)系，進(jìn)而利用（3）由點C(x0，y0)是二次函數(shù)圖象上的任意一點，且滿足y0≤m得二次函數(shù)圖像開口向下，即a<0，頂點坐標(biāo)為(1，m)，進(jìn)而求得即b=-2a于是有mn=a+b+1(1)解：把點A(1，1)和點B(3，4)代入y=ax得a+b+1=19a+3b+1=4，解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(1，1)和(0，1)，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1(2)解：把點A(1，m)和點B(3，n)代入y=ax得a+b+1=m∴m-n=a+b+1-∴Δ=∴二次函數(shù)圖象與x軸必有交點；(3)解：∵點C(x0，y0)∴二次函數(shù)圖像開口向下，即a<0，頂點坐標(biāo)為(1，m)，∴對稱軸為直線，即b=-2a∴mn=∵a<0，∴mn<1．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的表達(dá)式、判斷二次函數(shù)與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，ab≠0）．當(dāng)x=-b2a(1)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，并且經(jīng)過0,0點，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若一次函數(shù)y=ax+c的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y=ax①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．②若是該二次函數(shù)圖象上的兩點，求證：p>q．【答案】(1)y=(2)①頂點坐標(biāo)為（1，1）；②證明見解析【分析】（1）先確定頂點坐標(biāo)，再設(shè)出該函數(shù)的頂點式解析式，將點（0,0）的坐標(biāo)代入解析式中求出a，即可求解；（2）①將頂點代入y=ax+c，再利用，進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，求出-b2a=-1②設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax+12-1，代入兩點坐標(biāo)后得到p【詳解】（1）解：由題意，得函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為1,-1，所以可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax-1把0,0代入，解得a=1，所求函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）①由題意，將頂點代入y=ax+c，化簡，得．又因為，所以b=2a，c=a-1．所以-b所以頂點坐標(biāo)為．②由①可知，函數(shù)頂點坐標(biāo)為，c=a-1所以可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax+1所以．．因為函數(shù)有最小值，所以a>0，所以p-q>0，所以p>q．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)及其圖象、作差法比較大小等，解題的關(guān)鍵是牢記函數(shù)的頂點式解析式和頂點坐標(biāo)公式等．2．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2+ax+a（a(1)當(dāng)a=2時，求二次函數(shù)的對稱軸．(2)當(dāng)時，求該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)．(3)設(shè)Mx1,y1，Nx2,y【答案】(1)直線x=(2)無交點(3)a≥-4且a【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式求解即可．（2）令y=0得到一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的判別式判斷即可．（3）用x1表示y1，用x2表示y2，根據(jù)題意列出不等式，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．(1)解：∵a=2，∴二次函數(shù)的解析式為．∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-(2)解：二次函數(shù)的解析式為y=x令y=0得x2∴Δ=a∵，∴a-∴aa-4<0，即∴該二次函數(shù)的圖象與x軸無交點．(3)解：∵M(jìn)x1,y1∴y1=x12∵當(dāng)x1+x∴-x1+x2∴x1∴a>-∴a≥-∵a≠∴a≥-4且a≠【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱軸公式，二次函數(shù)與x軸交點問題，不等式的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax+ax+c（a≠0）．(1)若它的圖象經(jīng)過點（1，0）、（1，2），求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若a＜0，當(dāng)1≤x<4時，求函數(shù)值y隨x的增大而增大時x的取值范圍；(3)若a=1、c=2，點（m，n）在直線y=x2上，求當(dāng)x=m，n時的二次函數(shù)的函數(shù)值和的最小值．【答案】(1)y=(2)-(3)-【分析】（1）把兩個點的坐標(biāo)代入解析式得到二元一次方程組并求解即可．（2）根據(jù)a的正負(fù)確定二次函數(shù)圖象開口方向，根據(jù)解析式求出二次函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合x的范圍求解即可．（3）根據(jù)點（m，n）及其所在直線用m來表示n，再用m表示出當(dāng)x=m，n時的二次函數(shù)的函數(shù)值和，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可．【詳解】（1）解：把（1，0）、（1，2）代入二次函數(shù)解析式得0=a解得a=1,所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x（2）解：∵a<0，∴二次函數(shù)圖象開口方向向下．∵二次函數(shù)解析式為y=ax+ax+c（a≠0），∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-∵1≤x<4，∴當(dāng)-1≤x≤-12時，y隨x的增大而增大；當(dāng)-12≤∴函數(shù)值y隨x的增大而增大時x的取值范圍-1（3）解：∵二次函數(shù)的解析式為y=ax+ax+c（a≠0），a=1，c=2，∴二次函數(shù)的解析式為y=x∵點（m，n）在直線y=x2上，∴n=m-∴當(dāng)x=m時，y=m2+m-2；當(dāng)x=n設(shè)x=m，n時的二次函數(shù)的函數(shù)值和是S．∴S=m∴當(dāng)m=12時，S取得最小值是∴當(dāng)x=m，n時的二次函數(shù)的函數(shù)值和的最小值是-5【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)的最值，熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．4．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖1用一個平面截取圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、雙曲線，而當(dāng)平面與圓錐的母線平行，且不過圓錐頂點時，所截得的圖形為拋物線，即圖2中曲線ACB為拋物線的一部分，交母線于點C，交底面⊙P于點A，B，AB垂直于底面⊙P的直徑EF，垂足為點O．已知底面⊙P的半徑為5，OP＝3.(1)求弦AB的長．(2)以AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)OC＝8時，求經(jīng)過點A，C，B的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(3)若拋物線上有一點H（m，6），求m的值．【答案】(1)8(2)y=(3)2或2【分析】（1）連接AP，由勾股定理求得AO的長，再由垂徑定理可求得AB的長．（2）由已知可知A、B、C三點的坐標(biāo)，進(jìn)而由待定系數(shù)法可求得函數(shù)表達(dá)式．（3）直接代入點坐標(biāo)，解方程即可得到答案．（1）解：如圖，連接AP∵AB⊥∴AO=A∴（2）解：由已知，A-設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax∴16a-4b+c=016a+4b+c=0c=8，解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=（3）解：依題意有-1解得m=2或m=【點睛】本題考查二次函數(shù)和圓的知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1)求c的值及a，b滿足的關(guān)系式；(2)拋物線同時經(jīng)過兩個不同的點Mk，m和N(3)若拋物線在A和B兩點間y隨x的增大而減少，求a的取值范圍．【答案】(1)c=4，(2)b=(3)a的取值范圍為0＜a≤1或1≤a＜0；【分析】（1）把點A和B代入拋物線的解析式，即可得出答案；（2）先求解拋物線的對稱軸為x=--2a-22a=a+1a，再根據(jù)拋物線同時經(jīng)過兩個不同的點Mk（3）先求出拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象的開口方向和二次函數(shù)的增減性即可得出答案．(1)解：∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，4）和B（2，0），∴c=44a+2b+c=0，∴c=4，(2)解：由（1）得：拋物線為：y=ax∴該拋物線的對稱軸為x=-∵拋物線同時經(jīng)過兩個不同的點Mk，m∴該拋物線的對稱軸為x=k∴a+1解得：a=-1∴(3)由（1）可得：y=ax2+（2a2）x+4，∴該拋物線的對稱軸為x=--∵拋物線在A、B兩點間y隨x的增大而減小，∴當(dāng)a＞0時，開口向上，對稱軸在B點右側(cè)或經(jīng)過B點，即a+1a≥∵a＞0，∴a+1≥2a，解得a≤1，∴0＜a≤1．當(dāng)a＜0時，開口向下，對稱軸在A點左側(cè)或經(jīng)過A點，即a+1a≤∵a＜0，∴a+1≥0，解得a≥1，∴1≤a＜0．綜上，a的取值范圍為0＜a≤1或1≤a＜0．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能結(jié)合函數(shù)的對稱性、增減性解決問題是關(guān)鍵．6．（2022·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y=-12(1)當(dāng)m=2時，若點A8,n在該函數(shù)圖象上，求n(2)小明說二次函數(shù)圖象的頂點在直線y=-(3)已知點，Q(4m-5+a,c)都在該二次函數(shù)圖象上，求證：c≤13【答案】(1)7(2)對，理由見解析(3)見解析【分析】（1）把m=2，點A（8，n）代入解析式即可求解；（2）由拋物線解析式，得頂點是（2m，3-m），把x＝2m代入y=-（3）由點P（a+1，c），Q（4m5+a，c）的縱坐標(biāo)相同，即可求得對稱軸為直線x=a+1+4m-5+a2=a+2m2，即可得出a+2m2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到c=-12（3-2【詳解】（1）解：當(dāng)m＝2時，y=∵A（8，n）在函數(shù)圖象上，∴n=（2）解：由題意得，頂點是（當(dāng)x＝2m時，y=∴頂點（2m，3-（3）證明：∵P（a+1,c），Q（4m5+a，c）都在二次函數(shù)的圖象上∴對稱軸是直線x=∴a+2m2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入拋物線解析式，得∴c=-12（3-2m∵2<0，∴c有最大值為138∴c≤138【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知：二次函數(shù)y=x2+bx-3(1)求b的值；(2)設(shè)、、均在該函數(shù)圖象上，①當(dāng)m=4時，y1、y2、②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、【答案】(1)(2)①當(dāng)m=4時，y1、y2、y3【分析】（1）把(-2,5)代入二次函數(shù)（2）①把m=4代入解析式求出y1、y2、y3，然后根據(jù)三角形構(gòu)成的條件：任意兩邊之和大于第三邊判斷即可；②把、、代入y=x2-2x-3=(x-1)2-4求得y1、y2（1）解：把(-2,5)代入二次函數(shù)y=x∴b=（2）解：①答：當(dāng)m=4時，y1、y2、理由是當(dāng)m=4時，、、，代入拋物線的解析式得：y1=5，y2，∴當(dāng)m=4時，y1、y2、②理由是：∵把、、代入y=x2-2x，，，，，y1，y2，y，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊（也可求出兩小邊的和大于第三邊），∴當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、【點睛】本題考查了二次函數(shù)點的坐標(biāo)特征，和構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵。8．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，礦井內(nèi)一氧化碳濃度和時間x(h)的關(guān)系如圖所示：從零時起，井內(nèi)空氣中一氧化碳濃度達(dá)到，此后濃度呈直線增加，在第6小時達(dá)到最高值發(fā)生爆炸，之后y與x成反比例關(guān)系．請根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問題：(1)求爆炸前后y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；(2)當(dāng)空氣中濃度上升到時，井下3km深處的礦工接到自動報警信號，若要在爆炸前撤離到地面，問他們的逃生速度至少要多少km/h？(3)礦工需要在空氣中一氧化碳濃度下降到及以下時，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，則礦工至少要在爆炸多少小時后才能下井？【答案】(1)，此時自變量x的取值范圍是x>6(2)1.5(3)9小時【分析】（1）根據(jù)圖象可以得到函數(shù)關(guān)系式，再由圖象所經(jīng)過點的坐標(biāo)，求出k1與b的值，然后得出函數(shù)式，從而求出自變量x的取值范圍．再由圖象知y=k2x(k2≠0)過點，求出k（2）結(jié)合以上關(guān)系式，當(dāng)y=60時，由得x=4，從而求出撤離的最長時間，再由v=st（3）由關(guān)系式y(tǒng)=k2x知，y=30【詳解】（1）解：∵爆炸前濃度呈直線型增加，∴可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，由圖象知y=k1x+b過點，30=b75=6k解得k1，此時自變量x的取值范圍是0?x∵爆炸后濃度成反比例下降，∴可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k由圖象知y=k2x∴，，，此時自變量x的取值范圍是x>6；（2）當(dāng)y=60時，由得：，解得x=4，∴撤離的最長時間為6-∴撤離的最小速度為3÷（3）當(dāng)y=30時，由得，x=15，15-∴礦工至少在爆炸后9小時才能下井．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)一次函數(shù)y1=ax-3a+1（a是常數(shù)，a≠0）和反比例函數(shù)y2=k(1)無論a取何值，該一次函數(shù)圖象始終過一個定點，直接寫出這個定點坐標(biāo)；(2)若4≤x≤5時，該一次函數(shù)的最大值是(3)若一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2圖象兩個交點關(guān)于原點對稱，請判斷反比例函數(shù)【答案】(1)無論a取何值，該一次函數(shù)圖像始終過一個定點3,1(2)a=1(3)反比例函數(shù)y2【分析】（1）函數(shù)恒過定點問題，是將原自變量與常數(shù)互換，再根據(jù)無論a取何值，函數(shù)恒過定點，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論：①a>0；②a<0，結(jié)合若4≤x≤5（3）設(shè)交兩個點坐標(biāo)為x1,y1、x2【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y1=ax-3a+1（a是常數(shù)，∴將a看作自變量，將x看作常數(shù)，則y1∴無論a取何值，函數(shù)恒過定點，∴當(dāng)x-3=0時，解得x=3，∴將x=3代入可得y1∴無論a取何值，該一次函數(shù)圖像始終過一個定點3,1；（2）解：∵一次函數(shù)y1=ax-3a+1（a是常數(shù)，∴分兩種情況討論：①a>0；②a<0，①當(dāng)a>0時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，y1隨著x∵若4≤x≤∴當(dāng)x=5時，y1=5a-3a+1=2a+1=3，解得②當(dāng)a<0時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，y1隨著x∵若4≤x≤∴當(dāng)x=4時，y1=4a-3a+1=a+1=3，解得綜上所述，a=1；（3）解：設(shè)交兩個點坐標(biāo)為x1,y∵一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2圖象兩個交點關(guān)于原點對稱，則聯(lián)立y1=ax-3a+1y2=，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2，即反比例函數(shù)y2=【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及到函數(shù)恒過定點問題、一次函數(shù)增減性與最值問題、已知函數(shù)交點確定參數(shù)討論反比例函數(shù)性質(zhì)問題等知識點，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y1=ax2+bx-a（a(1)已知函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（1，2）和(-2,-1)，求函數(shù)y(2)若函數(shù)y1圖象的頂點在函數(shù)y2=2ax(3)已知點A(-2,0)，B(1,k2-a)在函數(shù)y1的圖象上，且k≠0．當(dāng)【答案】(1)y=(2)證明見解析(3)x<-2或x>【分析】（1）把（1，2）和(-2,-1)代入拋物線y1（2）先求解拋物線的頂點坐標(biāo)為：-b2a,-b（3）把點A(-2,0)，B(1,k2-a)在函數(shù)y1的圖象上，可得&a=25k2(1)解：把（1，2）和(-2,-1)代入拋物線y1&a+b-解得：&a=1&b=2所以拋物線為：y=(2)解：∵函數(shù)y∴拋物線的頂點橫坐標(biāo)為：x=-拋物線的縱坐標(biāo)為：y=a∵函數(shù)y1圖象的頂點在函數(shù)y∴-整理得：b2∴b∴(3)解：∵點A(-2,0)，B(1,k2-a)&4a-解得：&a=2∴y∵k≠0,則k2當(dāng)y1>0∴令w=2x∴二次函數(shù)圖象的開口向上，令2x2+3x-2=0,解得：x1所以2x2+3x-2>0時，【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式，掌握“數(shù)形結(jié)合的方法解不等式”是解問題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江杭州·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y=-(x-m)2+1-2m(1)當(dāng)m=-1時，若點A(2，n)在該函數(shù)圖象上，求(2)已知A(2，-2)，B(1，2)，(3)已知點P(1-a，p)，Q(2m+1-a，【答案】(1)n=(2)點(2,-2)在以(3)見解析【分析】（1）把m=1代入得出函數(shù)解析式，再把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可得出n的值；（2）根據(jù)題意得出頂點坐標(biāo)為（m，12m），然后判斷點C符合頂點坐標(biāo)，最后驗證點A是否在函數(shù)圖象上即可；（3）由點P、Q都在該二次函數(shù)圖象上，可得對稱軸為直線x=ma+1，從而得出a=1，則P（0，p），最后得出p=-【詳解】（1）解：當(dāng)m=1時，，∵點A(2，∴n=-（2）解：由題意知，頂點坐標(biāo)為（m，12m），當(dāng)m=2時，12m=3；當(dāng)m=1時，12m=1；∴A、B、C三點中只有C可以作為該二次函數(shù)圖象的頂點，∴二次函數(shù)為y=-當(dāng)x=2時，y=-(2∴點(2,-（3）證明：∵點P(1-a，p)，∴對稱軸為x=1∴ma+1=m，∴a=1，∴P（0，p），∴p=-∴p≤【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a(x-h)2-8a的頂點為A(1)若a=2，①點A到x軸的距離為______；②求此拋物線與x軸的兩個交點之間的距離；(2)已知點A到x軸的距離為4，若此拋物線與直線必有兩個交點，分別為Bx1,y1，Cx2,y2，其中x1<x2【答案】(1)①16；②(2)a=±12【分析】（1）①將a=2代入函數(shù)解析式求點A的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②把y=0代入函數(shù)解析式，分別求出x1，x（2）由點A到x軸的距離為4可得a=±12，根據(jù)h>0，結(jié)合圖象可得拋物線開口向上時，點A在點【詳解】（1）解：①把a(bǔ)=2代入y=a(x-h)2-8a∴點A坐標(biāo)為h,∴點A到x軸距離為16，故答案為：16．②將y=0代入y=2(x-h)2-16解得x1=h+2∴x（2）解：∵點A坐標(biāo)為h,∴-解得a=±∵當(dāng)x1<xD<∴當(dāng)x1<x<x2時，∵h(yuǎn)∴當(dāng)點A在點Cx2,∵a=∴點A縱坐標(biāo)為y=-將y=-4代入得-4=-解得x=5，∴h≥令12(x-h)∵拋物線與直線有2個交點，∴Δ解得h<∴5【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．13．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(b＞0)與y軸交于點C(0，－8)，頂點D的縱坐標(biāo)是－9．(1)求點D的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示)；(2)若直線y＝kx－k(k≠0)與拋物線有一個交點A(x0，y0)；點(x，y)在拋物線上，當(dāng)x＞x0時，y＞0；當(dāng)0＜x＜x0時，y＜0．①求拋物線的解析式；②將拋物線向右平移12個單位長度，再向上平移9個單位長度后，得到的新拋物線與直線y＝kx＋12交E，F(xiàn)兩點，過點E，F(xiàn)的兩條直線分別與新拋物線均只有一公共點，且這兩條直線交于點P，直線PE與PF都不與y軸平行，求證：點P【答案】(1)-(2)①y=4x2+4x【分析】(1)把點C的坐標(biāo)代入，可得c=8，再由頂點D的縱坐標(biāo)是－9，可得，據(jù)此即可求得；(2)①由題意可得