浙江省紹興市會(huì)稽聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期紹興會(huì)稽聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量共線與垂直的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由向量，，對(duì)于A中，由，所以向量與不共線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以與不垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，可得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以向量與不平行，所以D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，列出方程組，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得.故選：B.3.已知，是平面內(nèi)的一組基底，若向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由，是平面內(nèi)的一組基底，向量與共線，則存在實(shí)數(shù)使得，可得，解得.故選：A.4.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理角化邊，進(jìn)行化簡，再根據(jù)余弦定理求角.【詳解】由正弦定理角化邊可知，，整理為，，，所以.故選：C5.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若，，且圓臺(tái)的表面積為，則該圓臺(tái)的高為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，圓臺(tái)高為，上下底面半徑分別為：.弧長公式求得，，再用圓臺(tái)的表面積公式解得，進(jìn)而再得圓臺(tái)的高為．【詳解】設(shè)，圓臺(tái)高為，上下底面半徑分別為：.則，解得，所以圓臺(tái)的表面積為：，解得，故圓臺(tái)的高為：．故選：D.6.在中，已知，，若點(diǎn)為的外心，點(diǎn)滿足的點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量，再計(jì)算數(shù)量積，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義，求數(shù)量積的值.【詳解】，,，，，.故選：D7.已知圓錐的底面積為，高為，過圓錐的頂點(diǎn)作截面，則截面三角形面積最大為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】截面三角形為等腰直角三角形時(shí)，截面面積最大，進(jìn)而計(jì)算面積即可．【詳解】由題知，過圓錐頂點(diǎn)的截面中，截面為等腰直角三角形時(shí)，截面面積最大．圓錐的底面積為，則底面半徑為，高為，求得母線為.截面三角形面積最大為：．故選：C8.已知直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，球的體積為，則該三棱柱的體積為（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圓的半徑，再求三棱柱外接球的半徑，根據(jù)球的體積公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的體積公式，即可求解.【詳解】，則，則，所以外接圓的半徑，設(shè)，所以直三棱柱外接球半徑，球的體積，所以，即，所以三棱柱的體積.故選：A二、多選題：（本大題共3小題，每小題4分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得4分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分）9.已知復(fù)數(shù)，下列命題正確的有（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為CD.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，對(duì)于A中，由復(fù)數(shù)的虛部為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以B正確；對(duì)于C中，由復(fù)數(shù)，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限，所以D正確.故選：BCD.10.給出下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A.在中，，，若角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.在中，若，則為等腰直角三角形C.在中，若，則在方向上的投影向量的模為D.在中，若，則點(diǎn)為的重心【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)角為鈍角，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的正負(fù)，以及不平行，確定的取值范圍；根據(jù)數(shù)量積的公式，結(jié)合余弦定理，判斷三角形的形狀；根據(jù)向量模的公式，判斷C，根據(jù)向量的運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，結(jié)合重心的定義，即可判斷D.【詳解】A.若角為鈍角，則，且與不平行，則，且，解得：且，故A錯(cuò)誤；B.若，則，兩邊平方得，由余弦定理，所以，所以，則，所以為直角三角形，故B錯(cuò)誤；C.，所以在方向上的投影向量的模為，故C正確；D.如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，若，則，則三點(diǎn)共線，且，所以點(diǎn)是的重心，故D正確.故選：CD11.已知在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，，則（）A. B.邊的取值范圍是C.面積取值范圍是 D.周長取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理得到，得到；B選項(xiàng)，由正弦定理得到，根據(jù)為銳角三角形，得到，從而得到；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到；D選項(xiàng)，由正弦定理得到，結(jié)合B選項(xiàng)，得到周長的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，即，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，由正弦定理得，故，因?yàn)殇J角中，，所以，解得，故，，B正確；C選項(xiàng)，由B可知，，故，面積取值范圍是，C正確；D選項(xiàng)，由正弦定理得，故，因?yàn)?，所以，故，所以周長取值范圍是，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.非選擇題部分三、填空題：（本大題共3小題，每題4分，共12分）12.已知一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是菱形，且，，則原四邊形的面積是______；【答案】32【解析】【分析】根據(jù)直觀圖還原四邊形，再求四邊形的面積.【詳解】如圖，為水平放置的直觀圖，還原四邊形，四邊形是矩形，,，所以四邊形的面積為.故答案為：3213.已知復(fù)數(shù)，，，且復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，，則的取值范圍是______；【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義，可得的幾何意義為以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，而的幾何意義為定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離，進(jìn)而可解.【詳解】由已知得對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由得的幾何意義為以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，則的幾何意義為點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離，如圖可得最大距離，最小距離為，故答案為：.14.已知的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，求得，且，結(jié)合三角形的性質(zhì)，得到，再由正弦定理得到，進(jìn)而求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，可得，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，則，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)椋?，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.四、解答題：（本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知在長方體中，，，，為棱的中點(diǎn).（1）求三棱錐的表面積；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，分別求得各個(gè)面的面積，進(jìn)而得到其表面積；（2）根據(jù)題意，利用棱柱和棱錐的體積公式，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：在長方體中，由，，，為棱的中點(diǎn)，可得，可得，所以三棱錐的表面積為.【小問2詳解】解：在長方體中，由，，，為棱的中點(diǎn)，可得，且所以.16.如圖，已知等腰梯形，，，，.點(diǎn)滿足，點(diǎn)上，滿足交于，設(shè)，.（1）用，表示，并求的模；（2）求的長.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）表達(dá)出，平方后求出答案；（2）由垂直關(guān)系得到.【小問1詳解】等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)，，作，垂足為，因?yàn)?，，所以，又，所以，，；【小?詳解】，又，在中，.17.已知復(fù)數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，若.（1）若為的共軛復(fù)數(shù)，求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，由求出，即可得到，再求出其共軛復(fù)數(shù)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得解；（2）將代入方程，再由復(fù)數(shù)相等得到方程組，解得即可.【小問1詳解】，又，所以，解得，所以，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；【小問2詳解】是關(guān)于的方程的一個(gè)根，，得，所以，解得.18.在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且，為邊上的動(dòng)點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，，，求邊；（2）若平分，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式求得角，結(jié)合平面向量加法法則得，再由余弦定理求解；（2）設(shè)，由根據(jù)題意，利用余弦定理求解的值，從而得解.【小問1詳解】，，為的中點(diǎn)，則，平方得：，又，，由余弦定理得：，；【小問2詳解】設(shè)，若平分，，易得，又，得，，平分，，即在中，，19.