甘肅省高三第一次高考診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題

2018年甘肅省第一次高考診斷考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A．B．C．D．2.已知為虛數(shù)單位，則（）A．B．C．D．3.函數(shù)則（）A．1B．2C．3D．44.已知等差數(shù)列中，，，則的值為（）A.15B.17C.22D.645.如圖所示，若程序框圖輸出的所有實(shí)數(shù)對(duì)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則pu實(shí)數(shù)的值依次為（）A．B．C.D．6.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足則的最大值是（）A．1B．1C.27.某幾何體挖去兩個(gè)半球體后的三視圖如圖所示，若剩余幾何體的體積為，則的值為（）A．B．2C.1D．8.中國(guó)古代三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽,創(chuàng)作了一幅“勾股弦方圖”，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示,在“勾股弦方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成，這一圖形被稱(chēng)作“趙爽弦圖”.若正方形與正方形的面積分別為25和1，則（）A．B．C.D．8.過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（）A．B．C.D．9.從某中學(xué)高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿(mǎn)分100分)的莖葉圖如右圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均分和乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)都是85，則的值為（）A.7B.8C.9D.1010.設(shè)的面積為，若，，則（）A．1B．2C.D．11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓被直線(xiàn)（）截得的弦長(zhǎng)為2，角的始邊是軸的非負(fù)半軸，終邊過(guò)點(diǎn)，則的最小值（）A．B．1C.D．212.已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（）A．670B．334C.337D．二、填空題：本題共4小題，每題5分，滿(mǎn)分20分.13.已知數(shù)列中，，（），則．14.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．15.在某班舉行的成人典禮上，甲、乙、丙三名同學(xué)中的一人獲得了禮物.甲說(shuō)：“禮物不在我這”；乙說(shuō)：“禮物在我這”；丙說(shuō)：“禮物不在乙處”.如果三人中只有一人說(shuō)的是真的，請(qǐng)問(wèn)(填“甲”、“乙”或“丙”)獲得了禮物.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)()的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于異于原點(diǎn)的，若點(diǎn)與中點(diǎn)的連線(xiàn)與垂直，則雙曲線(xiàn)的離心率為．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，且.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求的面積.18.2017年12月，針對(duì)國(guó)內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問(wèn)題，某市政府及時(shí)安排部署，加氣站采取了緊急限氣措施，全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅(jiān)戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況，對(duì)該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線(xiàn)圖.（Ⅰ）由折線(xiàn)圖可以看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合年度天然氣需求量(單位：千萬(wàn)立方米)與年份(單位：年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程是，試確定的值，并預(yù)測(cè)2018年該地區(qū)的天然氣需求量；（Ⅱ）政府部門(mén)為節(jié)約能源出臺(tái)了《購(gòu)置新能源汽車(chē)補(bǔ)貼方案》，該方案對(duì)新能源汽車(chē)的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定，根據(jù)續(xù)航里程的不同，將補(bǔ)貼金額劃分為三類(lèi)，A類(lèi)：每車(chē)補(bǔ)貼1萬(wàn)元，B類(lèi)：每車(chē)補(bǔ)貼2.5萬(wàn)元，C類(lèi)：每車(chē)補(bǔ)貼3.4萬(wàn)元.某出租車(chē)公司對(duì)該公司60輛新能源汽車(chē)的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：類(lèi)型類(lèi)類(lèi)類(lèi)車(chē)輛數(shù)目102030為了制定更合理的補(bǔ)貼方案，政府部門(mén)決定利用分層抽樣的方式了解出租車(chē)公司新能源汽車(chē)的補(bǔ)貼情況，在該出租車(chē)公司的60輛車(chē)中抽取6輛車(chē)作為樣本，再?gòu)?輛車(chē)中抽取2輛車(chē)進(jìn)一步跟蹤調(diào)查，求恰好有1輛車(chē)享受3.4萬(wàn)元補(bǔ)貼的概率.19.四棱臺(tái)被過(guò)點(diǎn)的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體，其下底面四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離..20.橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，是否存在直線(xiàn)與橢圓交于，使得的中點(diǎn)落在直線(xiàn)上，并且與拋物線(xiàn)相切，若直線(xiàn)存在，求出的方程，若不存在，說(shuō)明理由.21.函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑.按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將曲線(xiàn)繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線(xiàn)記為.（Ⅰ）求曲線(xiàn)，的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）射線(xiàn)（）與曲線(xiàn)，分別交于異于極點(diǎn)的，兩點(diǎn)，求.23.選修45：不等式選講已知函數(shù)，，且的解集為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，且，求證：.

2018年甘肅省第一次高考診斷文科數(shù)學(xué)考試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題15:DCBAB610:CBDDA11、12：BC二、填空題13.14.15.甲16.三、解答題17.解:（Ⅰ）∵，∴，∴∴，∴，∴.（Ⅱ）根據(jù)余弦定理可知，∴，又因?yàn)?，∴，∴，∴，則.18.解：（Ⅰ）如折線(xiàn)圖數(shù)據(jù)可知代入線(xiàn)性回歸方程可得.將代入方程可得千萬(wàn)立方米.（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣可知類(lèi)，類(lèi)，類(lèi)抽取人數(shù)分別為1輛，2輛，3輛分別編號(hào)為,，，，，.基本事件有共15種設(shè)“恰好有1輛車(chē)享受3.4萬(wàn)元補(bǔ)貼”為事件,則19.證明：（Ⅰ）其底面四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，則有，∵平面，∴，而∴平面，平面.∴.解：（Ⅱ）利用等體積法，根據(jù)題目條件可求出，，，可知是直角三角形設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，解得.20.解：（Ⅰ）解：由題意可知解得橢圓方程是.(Ⅱ)由（Ⅰ）可知?jiǎng)t有代入可得拋物線(xiàn)方程是若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為滿(mǎn)足橢圓方程兩式作差可得，的中點(diǎn)落在直線(xiàn)上則有代入可得，直線(xiàn)方程可以設(shè)為與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消元可得方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切則有，則直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：消元可得方程，，所以直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.所以，綜上這樣的直線(xiàn)存在，方程是或.21.（Ⅰ）解：的定義域是，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞