九年級數(shù)學(xué)一元二次方程

1.1一元二次方程

--選擇題（共10小題）

1.x=l是關(guān)于x的一元二次方程〃+ax+26=0的解，貝!|2a+4Z?=()

A.-2B.-3C.-1D.-6

2.已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）〃-2x+〃-1=0有一個根為x=0,則a的值為

（）

A.0B.±1C.1D.-1

3.若一元二次方程*-2Zx+N=0的一根為x=-1，則4的值為（）

A.-1B.0（：.1或-1D.2或0

4.若〃（巾0）是關(guān)于X的方程/+Z77X+2〃=0的一個根，則777+〃的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

5.已知m是方程/-2019%+1=0的一個根，則代數(shù)式加-2018/77+1+2的值是（）

m

A.2018B.2019C.2020D.2021

6.若x=2是關(guān)于x的方程a*-bx=2的解，則2019-2a+b的值為（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

7.已知關(guān)于X的一元二次方程M-x+l/77=O的一個實數(shù)根為b，若片4〃-46+加4,

則p的取值范圍是（）

8.若2是關(guān)于x的方程（/77-1）x+m+2=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實

數(shù)根恰好是等腰的兩條邊的長，貝的周長為（）

A.7或10B.9或12C.12D.9

9.已知xig是一元二次方程爐-3x+1=0的兩實數(shù)根，則」一H一1~的值息）

l-3x|1-3?2

A.-7B.-1C.1D.7

10.下列是一元二次方程的是（）

A.M+3=0B.xy+3x-4=0C.2x-3+y=0D.—+2x-6=0

x

二.填空題（共10小題）

11.已知2+F是關(guān)于x的方程/-4%+/77=0的一個根，則m=.

12.若關(guān)于x的一元二次方程/+Z77X+2〃=0有一個根是2,則m+n=.

13.已知x=2是關(guān)于x的一元二次方程蛇+（N-2）X+2&+4=0的一個根，則攵的值

為?

14.若關(guān)于x的一元二次方程a/+6x+3=0的一個解是x=1,則2019-a-b的值

是.

15.定義運算ai^b-a?ab,若a=x+l,b-x,a^b=?3,貝!!x的值為.

16.已知x=-1是一元二次方程a*+bx-8=0的一個解，且aw-6,則于二卜？的值

2a+2b

為.

17.若m是方程2〃-3x-1=0的一個根，則9/77-6而+5的值為.

18.若a是方程解-5x+l=0的一個根，則容+與勺值是.

a

19.關(guān)于x的方程|x-1|（x+1）=攵恰好有三個不同的解，則實數(shù)4的取值范圍是.

20.若關(guān)于x的方程（『4）（*-6x+m）=0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三

邊長，則）的值為.

=.解答題（共16小題）

21.已知x=2是關(guān)于x的方程〃-mx-4加=0的一個根，求m（2m+l）的值.

22.已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程*-4mx+m^=0的根，求代數(shù)式2mlm-2）

-(m+'R)(/77-V3)的值.

23.解方程：(x-5)(x-3)=24.

24.已知：關(guān)于x的一元二次方程〃-(2/77+3)x+m2+3m+2=0.

(1)已知*=2是方程的一個根，求)的值；

(2)以這個方程的兩個實數(shù)根作為歌中AB、AC{的邊長，當(dāng)踩=椀,

6c是等腰三角形，求此時m的值.

25.閱讀下歹！J材料:

(1)關(guān)于x的方程〃-3x+l=0(片0)方程兩邊同時乘以L導(dǎo):X-3+L=C^XJ=3，

XXX

Ioo1191911v99

v,,z

(xH)-x+—TzS'2X—=x+—^-+2，xHr=(x+-)-2=3-2=7

xxxxxx

(2)#+加=(a+6)(用-ab+b^);#-〃=(a-6)(￥+ab+H).

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

-4x+l=0(勝0),則xJ=______,x2+A-=______，X4-HAF=______；

xx2x4

(2)2解-7*+2=0(*/0),求X3_H^值.

x。

26.若用是f一元二次方程#+"-x-5=0的T實數(shù)根.

(1)求a的值；

(2)不解方程，求代數(shù)式(加-6)(m-5+1)的值.

27.已知一元二次方程*+7mx+nMm-4=0有一個根為零,求實數(shù)m的值.

28.已知X=〃是關(guān)于X的一元二次方程/77X2-4X-5=0的T根，若77?亦-4"+/77=6,

求m的值.

29.解方程：(x+3)(x+1)=6x+5.

30.定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“好

友方程"，如果關(guān)于x的一元二次方程/-2x=0與解+3x+m-1=0為"友好方程"，

求m的值.

31.已知實數(shù)a是一元二次方程序-x-1=0的一個根，求代數(shù)式#+7a-4的值.

32.關(guān)于x的一元二次方程x(x-2)=x-2①與一元一次方程2x+l=2a-x@.

(1)若方程①的一個根是方程②的根，求a的值；

(2)若方程②的根不小于方程①兩根中的較小根且不大于方程①兩根中的較大根，求a

的取值范圍.

33.在一元二次方程〃-2ax+b=0中，若"-6>0,則稱a是該方程的中點值.

(1)方程〃-8x+3=0的中點值是.

(2)已知〃-mx+n=0的中點值是3,其中一個根是2,求的值.

34.已知A774-1=5加-Sm

(1)試問：加的值能否等于2?請說明理由;

(2)求序+今的值.

35.當(dāng)777為何值時，關(guān)于x的方程(m-2)/2.2-4mx=0為一元二次方程，并求這個

一元二次方程的解.

36.請閱讀下列材料：

問題：已知方程彥+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=2..

把x=工代入已知方程，得(工)2+工-1=o.

222

化簡，得尸+2尸4=0,

故所求方程為/+2y-4=0.

這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為"換根法”.

請用閱讀材料提供的“換根法"求新方程(要求：把所求方程化為一般形式).

(1)已知方程M+x-2=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反

數(shù),則所求方程為：；

(2)已知方程2〃-7X+3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒

數(shù).

答案與解析

-.選擇題(共10小題)

1.*=1是關(guān)于x的一元二次方程〃+ax+26=0的解，貝!|2a+46=()

A.-2B.-3C.-1D.-6

【分析】先把代入方程解+得,然后^用整體代入的方法計

x=1ax+26=0a+2b=-1

算2a+46的值.

【解答】解：把x=1代入方程/+赤+26=0得l+a+2b=0,

所以a+26=-1,

所以2a+46=2(a+2b)=2x(-1)=-2.

雌：力.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

2.已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)4-2x+#-1=0有一個根為x=0,則a的值為

()

A.0B.±1C.1D.-1

【分析】直接把x=0代入進而方程，再結(jié)合a-1^0,進而得出答案.

【解答】解：,.關(guān)于x的一元二次方程(a-1)M-2x+乎-1=0有一個根為x=0,

：.a^-1=0,且a-1聲0,

則a的值為:a=-1.

故選：。.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，注意二次項系數(shù)不能為零.

3.若一元二次方程必-2依+N=0的一根為x=，則攵的值為()

A.-1B.0（：.1或-1D.2或0

【分析】把x=-1代入方程計算即可求出攵的值.

【解答】解：把x=-1代入方程得：1+2〃+攵2=0,

解得：攵=-1,

故選：力.

【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值.

4.若〃（巾0）是關(guān)于x的方程M+/77X+2〃=0的一個根，則的值是（）

A.1B.2C.-1D.-2

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到廣+/77〃+2〃=0,然后利用等式性質(zhì)求m+n

的值.

【解答】解：把*="代入方程〃+/77*+2"=。得〃+777/7+2/7=0,

因為,

所以n+m+2=0,

貝!Jm+n=-2.

故選：。.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

5.已知m是方程/-2019X+1=0的一個根，則代數(shù)式滸-2018/77+1+2的值是（）

ID

A.2018B.2019C.2020D.2021

【分析】利用一元二次方程的解的定義得到加=2019/77-1,利用整體代入的方法變形

得到蘇-2018/77+1+2=/77+1+1,然后通分后再利用整體代入的方法計算.

IDID

【解答】解：是方程*-2019%+1=0的一個根，

二.濟-2019/77+1=0,

.,./7T2=2019/77-1,

二.滸-2018/77+1+2=2019m-2018/77-1+L+2

mm

=m+—+l

ID

2

二四+L+1

ID

―2019m-l+l4，］

m

=2019+1

=2020.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

6.若x=2是關(guān)于x的方程a$-bx=2的解，則2019-2a+6的值為()

A.2016B.2017C.2018D.2019

【分析】把*=2代入方程求出2a-6的值，代入原式計算即可求出值.

【解答】解：把x=2代入方程得：4a-26=2,即2a-6=1,

則原式=2019-(2a-b)=2019-1=2018,

故選：C.

【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值.

7.已知關(guān)于x的一元二次方程/-%+1/77=0的一個實數(shù)根為b，若片4g-4。+加三,

則y的取值范圍是()

A.y>得B.y>AC.y>-1D.y>-1

【分析】先表示出判別式△,根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得出"的取值范圍，根據(jù)6是方程

的一個實數(shù)根，可得4〃-46+2m=0,整體代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得y的取值

范圍.

【解答】解：1.關(guān)于x的一元二次方程M-x+Lm=0有實數(shù)根，

2

；4=1-2/7720,

：.m<—,

2

??力是方程的一個實數(shù)根，

:.*-b+^m=0,

2

；.4%-46+2/77=0,

.,.4b2-46=-2m,

:.y=4b^-46+加_X=-2m+/n2_X=（zn-1）2--,

444

而m<^,

2

：.y>-1.

故選：。.

【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)

鍵是掌握一元二次方程判別式與方程根的關(guān)系.

8.若2是關(guān)于x的方程〃一（機一1）x+m+2=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實

數(shù)根恰好是等腰的兩條邊的長，貝h/8c的周長為（）

A.7或10B.9或12C.12D.9

【分析】將x=2代入方程求得用的值，繼而可還原方程，因式分解法求解得出x的值,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，結(jié)合三角形三邊間的關(guān)系即可得出答案.

【解答】解：將x=2代入方程得:4-2(<n-l)+6+2=0,

解得：777=8,

則方程為M-7x+10=0,

即(x-5)(x-2)=0,

解得：x=5或x=2,

當(dāng)三角形的三邊為2、2、5時，2+2<5,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)三角形的三邊為5、5、2時，三角形的周長為5+5+2=12,

綜上所述，三角形的周長，12.

觀察選項，選項C符合題意.

雌：C.

【點評】本題主要考查方程的解的定義、解方程的能力、等腰三角形的性質(zhì)及三角形三

邊間的關(guān)系，熟練掌握方程的解的定義及解方程的能力是解題的關(guān)鍵.

9.已知Xi,X2是一元二次方程必-3x+1=0的兩實數(shù)根廁」一H一1_的值是()

l-3xj1-3x2

A.-7B.-1C.1D.7

【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到用2-3X1+1=0,至2-3及+1=0,則1-3短

11(Xi+Xo)^-2x(x9

=-,1-3X2=-X22,則」一H一i_可變形為——~2——丁」,再根據(jù)

2

1-3X11-3x2(X1X2)

根與系數(shù)的關(guān)系得到X1+加=3,X1M=1,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：,歪是一元二次方程4-3x+l=0的兩實數(shù)根,

/.Ai2-3AI+1=0,X22-3至+1=0,

/.I-3xi=-X12,1-3x2=-X22,

2

.11,.工.1.(町+9)-2盯乂2

22

1-3入11-3乂2X/x2(x^2)

??.依，木是一元二次方程必?3x+l=0的兩實數(shù)根，

：.X1+X2=3,X1X2-1,

，原式?與＞=-7.

I2

故選：/.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解?也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.

10.下列是一元二次方程的是()

A.x^+3=0B.xy+3x-4=0C.2x-3+y=0D.—+2x-6=0

x

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答.

一元二次方程必須滿足四個條件：

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;

(2)二次項系數(shù)不為0；

(3)是整式方程；

(4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答

案.

【解答】解：4該方程是一元二次方程，故本選項正確；

員該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項錯誤；

G該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項錯誤；

該方程是分式方程，故本選項錯誤；

故選：

【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

二.填空題（共10小題）

11,已知2+居關(guān)于X的方程M-4X+/77=0的一個根，則/77=二

【分析】把X=2+仃弋入方程得到關(guān)于777的方程，然后解關(guān)于m的方程即可.

【解答】解：把乂=2+仃弋入方程得（2+我）2-4（2+遙）+/77=o,

解得m=l.

故答案為1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

12.若關(guān)于x的一元二次方程/+/77*+2〃=。有一個根是2,則m+n=-2.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把X=2代入^+mx+2n=0得至（J4+2/77+2/7=0

得"+m=-2,然后利用整體代入的方法進行計算.

【解答】解：，乜（用0）是關(guān)于x的一元二次方程〃+mx+2n=0的一個根，

.,.4+2/77+2/7=0,

..n+m=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，

所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

13.已知x=2是關(guān)于x的一元二次方程攵彥+（N-2）X+264=0的一個根，則攵的值

為-3.

【分析】把x=2代入奸+（N-2）X+2Z+4=0得4攵+2代-4+2Z+4=0,再解關(guān)于

Z的方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定攵的值.

【解答】解：把X=2代入k*+(N-2)x+24+4=0得4Z+2N-4+2Z+4=0,

整理得*+3攵=0,解彳導(dǎo)h=0,后=-3,

因為60,

所以〃的值為-3.

故答案為-3.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

14.若關(guān)于x的一元二次方程ax^+bx+3=0的一個解是x=1,則2019-a-b的值是

2022.

【分析】先利用一元二次方程根的定義得到a+6=-3,再把2019-a-6變形為2019

-(a+6),然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：x=1代入一元二次方程a^+bx+3=0得a+6+3=0,

:.a+b=-3,

.-.2019-a-6=2019-(a+b)=2019-(-3)=2022.

故答案為2022.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

15.定義運算aisb=a-ab,若a-x+1,b=x,a^b=-3,則x的值為2或-2.

【分析】先根據(jù)新定義得出一元二次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：由題意可得：x+1-(x+1>x=-3,

-A2=-4,

解得：x=±2,

故答案為：2或-2

【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知得出一元二次

方程，題目匕匕較新穎，難度適中.

16.已知x=-1是一元二次方程a彥+bx-8=0的一個解，且”-6,則.號沁之的值為

2a+2b

4.

【分析】先利用約分得至嫄式=空也，再利用一元二次方程根的定義得到a-6=8,然

2

后利用整體的方法計算.

【解答】解：?.-%=-1是一元二次方程ax^+bx-8=0的T解，

：.a-/?-8=0,即a?b=8,

所以原式="）『）=空也=8.=4.

2（a+b）22

故答案為4.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

17.若m是方程2〃-3x-1=0的一個根，則9/77-6而+5的值為2.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：2加-3/77-1=0,

:2m2--3/n=1

?.原式=-3（2加-3/77）+5=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，

本題屬于基礎(chǔ)題型.

18.若a是方程/-5x+l=0的一個根，貝?。萦?」產(chǎn)值是23.

【分析】把X=a代入方程，得至IJ型+1=5a,則將其代入整理后的代數(shù)式進行求值即可.

【解答】解：把x=a代入方程爐-5x+l=0,得

a2-5a+l=0,

所以#+l=5a,

2

則于+L=(a+L)-2=(5a)2.2=25-2=23.

a2aa

故答案是：23.

【點評】此題主要考查了方程解的定義，所謂方程的解，即能夠使方程左右兩邊相等的

未知數(shù)的值.

19.關(guān)于x的方程|x-1|(x+1)=%恰好有三個不同的解，則實數(shù)1的取值范圍是0<〃

<1.

【分析】畫出函數(shù)f(X)=|x-1|(X+1)的圖象，分析攵取不同值時,函數(shù)圖象與直線

f(X)的交點個數(shù)即可得答案.

【解答】解：設(shè)〃X)=|%-1|(X+1),

X2-1(x)l)

:,f(X)=<

,-x2+l(X<1)

如關(guān)于X的方程|x-1|(x+1)=%恰好有三個不同的解，

則O<Z<1,

故答案為：0<Xr<l.

【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根，將其中關(guān)于x的方程f(x)=攵的解的

個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃x)的圖象與直線f(x)=攵的交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵.

20.若關(guān)于x的方程(X-4)(2-6x+m)=0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三

邊長，則)的值為團.

一且一

【分析】運用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，根據(jù)勾股定理列方程解答即可.

【解答】解：設(shè)某直角三角形的三邊長分別為a、b、c,

依題意可得

X-4=0或/-6x+m=0,

..x=4,A2-6x+m=0,

設(shè)〃-6%+/77=0的兩根為a、b,

(-6)2-Am>0,m<9,

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得a+6=6,ab=m,則c=4,

①c為斜邊時，a2+Z?2=c2,(a+b)2-2ab=&

」.62-2m=42,10(不符合題意，舍去)；

②a為斜邊時，〃+〃=于，

42+(6-a)2=#,

a=^~,6=6-a=—,

33

：.m=ab=l^-x—=—>

339

故答案為毀.

9

【點評】本題考查了一元二次方程的解，熟練運用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式是解題的

關(guān)鍵.

三.解答題(共16小題)

21.已知X=2是關(guān)于X的方程A2-777%-4/772=0的一個根，求利(2/77+1)的值.

【分析】根據(jù)X=2是關(guān)于x的方程〃-mx-4加=0的一個根，將x=2代入方程變形

即可求得所求式子的值.

【解答】解：?.?%=2是關(guān)于x的方程x2-mx-4濟=0的一個根，

：.22-2m-4/772=0,

.,.4=4/772+2/77,

：.2=m(2/77+1),

：.m(2/77+1)=2.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用方程的思想解

答.

22.已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程解-4mx+濟=0的根，求代數(shù)式2/77(/77-2)

-(m+M)(m-a)的值.

【分析】先利用乘法公式展開、合并得到原式=蘇-4/77+3,再利用一元二次方程根的

定義得到蘇-4/77=-1,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：原式=2加-4m-(蘇-3)

=2加-4f77-加+3

=m2--4/77+3,

.：x=1是關(guān)于x的一元二次方程/-4mx+*0的根，

..I-4m+m2=0,即加-4/n=-1,

二原式=-1+3=2.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

23.解方程：(x-5)(x-3)=24.

【分析】利用十字相乘法解一元二次方程即可；

【解答】解：/-8X+15-24=0

*-8x-9=0

(x-9)(x+l)=0,

：.x-9=0或x+1=0,

.,.Al=9,X2=-1.

【點評】本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會根據(jù)方程的特點選擇適當(dāng)?shù)?/p>

方法解方程.

24.已知：關(guān)于x的一元二次方程*-(2/77+3)x+m2+3m+2=0.

(1)已知x=2是方程的一個根，求機的值；

(2)以這個方程的兩個實數(shù)根作為中AB、AC(的邊長，當(dāng)8G糊，

△/8C是等腰三角形,求此時m的值.

【分析】(1)把x=2代入方程〃-(2m+3)x+9+3/77+2=0得到關(guān)于m的一元二

次方程，然后解關(guān)于機的方程即可；

(2)先計算出判別式，再利用求根公式得到M=m+2,及=m+1,則AC=777+2,AB

=m+1.然后討論：當(dāng)AB=6c時，有/77+1=依；當(dāng)/C=8c時，有6+2=代，再

分別解關(guān)于6的一次方程即可.

【解答】解：(1)??.x=2是方程的一個根,

/.4-2(2/77+3)+/772+3/77+2=0,

.??/77=0或777=1；

(2)---A=(2/77+3)2-4(7772+3/77+2)=1,

=1;

.一2nri-3±1

2

/.Ai=777+2,A>=/77+1,

??,AB、AC{AB<AC)的長是這個方程的兩個實數(shù)根，

：.AC-777+2,AB-777+1.

-BC=4s.6c是等腰三角形，

.?.當(dāng)4?=%時，有/77+1=遙，

■-m=y/s-1；

當(dāng)ZC=8C時，有加+2=代，

.??/77=V5-2,

綜上所述，當(dāng)m=代-1或m=代-2時，是等腰三角形.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.也考查了等腰三角形的判定.

25.閱讀下歹II材料：

(1)關(guān)于x的方程/-3x+l=0(胖0)方程兩邊同時乘以U導(dǎo)：x-3+工=限3x3=3，

XXX

In91191011oo

(X-H-)=x+-x,一二x，x+產(chǎn)(x+—)-2=3-2=7

+F+2z

XXxx

(2)￥+加=(8+b)(a2-ab+b2);a3-/^=(a-d)(.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

24

(l)〃-4x+l=0(E0),貝！)xJ=」_,-J-=14,U-=194;

xYx2Yx4

(2)2〃-7x+2=0(xr0),求值.

X

【分析】(1)模仿例題利用完全平方公式即可解決.

(2)模仿例題利用完全平方公式以及立方和公式即可.

【解答】解；(l).?/?4x+l=0,

/.%+—=4,

x

??.(X+L)2=16,

X

.?/+2+^-=16,

2

x

.?/+工=14,

2

x

.?.(解+_k)2=196,

X

.?./+工+2=196,

4

x

.?.M+L=194.

x4

故答案為4,14,194.

(2),??2/-7x+2=0,

?y.1-7皿-1—41

X2x24

34-^—=(%+—)(g-1+^-)=-Lx(-1)=-25'9_.

X不

xx2248

【點評】本題考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解決問題的關(guān)鍵是

靈活應(yīng)用完全平方公式，記住兩邊平方不能漏項(利用完全平方公式整體平方)，屬于中

考?？碱}型.

26.若m是一個一元二次方程3a+i|一X一5=0的T實數(shù)根.

(1)求a的值；

(2)不解方程，求代數(shù)式(加-m)(心+1)的值.

ID

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的定義得到|a+l|=2,然后解絕對值方程即可；

(2)利用m是一個一元二次方程*-x-5=0的一個實數(shù)根達到加-m=5,貝！)(加

-mm-反+1)=(加-m>(皿/+1),然后利用整體代入的方法計算.

IDID

【解答】解：(1)根據(jù)題意得|a+l|=2,解得a=1或a=-3;

(2)是一個一元二次方程/-X-5=0的一個實數(shù)根，

..m2-/77-5=0,

：.ni2-m-5,

：.(ni2-m)(m--+1)=(rrP-m>(10+1)

min

=5x(四+1)

m

=5x2

=10.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

27.已知一元二次方程*+7mx+出+3m-4=0有一個根為零，求實數(shù)m的值.

【分析】把x=0代入方程*+7mx+*+3m-4=0得加+36-4=0,然后解關(guān)于m

的方程即可.

【解答】解：把X=0代入方程4+7/77X+加+3m-4=0得加+36-4=0,解得利

=-4,rrt2=l,

所以m的值為-4或1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

28.已知x=〃是關(guān)于x的一元二次方程一4x-5=0的一個根，若m*-4n+m=6,

求m的值.

【分析】把x=〃代入方程求出-4〃的值，代入已知等式求出6的值即可.

【解答】解：把x=〃代入方程得：m*-4n-5=0,即m庠-4〃=5,

代入已知等式得：5+m=6,

解得：777=1.

【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握運算法則

是解本題的關(guān)鍵.

29.解方程：(x+3)(x+1)=6x+5.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式法則把一元二次方程化為一般形式，利用公式法解出方程.

【解答】解：(x+3)(x+l)=6x+5

〃+3x+x+3=6x+5

/-2x-2=0

2

A=(-2)-4xlx(-2)=12>0

2±i±7s

2

Xi=l+4s，X2=l-43.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程的一般步驟是

解題的關(guān)鍵.

30.定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“好

友方程"，如果關(guān)于x的一元二次方程/-2x=0與Mx+m-1=0為"友好方程"，

求m的值.

【分析】通過解方程*-2x=0,可得出方程的根，分x=0為兩方程相同的實數(shù)根或x

=2為兩方程相同的實數(shù)根兩種情況考慮：①若x=0是兩個方程相同的實數(shù)根，將x=

0代入方程4+3X+/77-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的

解，對照后可得出m=1符合題意；②若x=2是兩個方程相同的實數(shù)根，將x=2代入

方程Mx+m-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的解，對

照后可得出m=2符合題意.綜上此題得解.

【解答】解：解方程/-2x=0,得：/i=0,&=2.

①若x=0是兩個方程相同的實數(shù)根.

將X-0代入方程)^+3x+m-1=0,得：/n-l=O,

-m=1,此時原方程為爐+3%=0,

解得：M=0,歪=-3,符合題意，

：.m-1;

②若x=2是兩個方程相同的實數(shù)根.

將X=2代入方程8+3*+/77-1=0,得：4+6+777-1=0,

.■.m=-9,此時原方程為/+3x-10=0,

解得：M=2,歪=-5,符合題意，

：.m=-9.

綜上所述：)的值為1或-9.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解題的關(guān)鍵.

31.已知實數(shù)a是一元二次方程/-x-1=0的一個根，求代數(shù)式#+7a-4的值.

【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對代數(shù)式進行化簡求值.

【解答】解：是一元二次方程*一x-1=o的一個根，

a2-a-1=0

：.cP=a+l,

濟=(a+1)2=#+2a+l=a+l+2a+l=3a+2

#=(3a+2)2=9#+12a+4=9(a+l)+12a+4=21a+13

又r/-a-1=0

a

即a4=7-a4

.，+7a.4

=21a+13+7(7-拯)

=21a+13+7(7-3a-2)

=21a+13+49-21a-14

=49+13-14

=48.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關(guān)于a的等式，

利用等式對代數(shù)式進行化簡并求出代數(shù)式的值.

32.關(guān)于x的一元二次方程x(x-2)=x-2①與一元一次方程2x+l=2a-x@.

(1)若方程①的一個根是方程②的根，求a的值；

(2)若方程②的根不小于方程①兩根中的較小根且不大于方程①兩根中的較大根，求a

的取值范圍.

【分析】(1)通過解方程①、②分別得到x的值；然后列出關(guān)于a的方程，解該方程即

可；

(2)根據(jù)題意列出關(guān)于a的不等式，解不等式即可.

【解答】解：解方程①,得用=1,加=2,

解方程②，得*=紅土.

3

當(dāng)生L=1時，a=2;

3

當(dāng)紅lL=2時，a=工.

32

綜上所述，a的值是2或工；

2

(2)由題可知，l<2azL<2,解得2<a<l.

32

【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知

數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，

所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

33.在一元二次方程爐-2ax+b=0中，若"-0,則稱a是該方程的中點值.

(1)方程〃-8x+3=0的中點值是4.

(2)已知*-mx+n=O的中點值是3.其中一個根是2,求的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的中點值的定義計算；

(2)利用方程的中點值的定義得到m=6,再把把x=2代入〃-m；什"=0計算出n

的值，然后計算mn.

【解答】解：(1)；(-三)2-3=13,

2

方程4-8x+3=0的中點值為4;

故答案為4;

(2)?.0=3,

2

../77=6,

把X=2代入4-/77X+/7=0得4-6x2+〃=0,解得77=8,

/./77/7=6X8=48.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

34.已知A774-1=5加-Sm

（1）試問：加的值能否等于2?請說明理由;

（2）求蘇+毛的值.

ID

【分析】（1）根據(jù)平方差公式、提公因式法把原式變形，把加=2代入，判斷即可；

（2）把原式利用提公因式法因式分解，分情況討論，計算即可.

【解答】解：（1）加的值不能等于2,

理由如下：原等式變形得，（加+1）（〃-1）=5m（加-1）,

若加=2,即土胸，等式左邊=3,等式右邊=±5&,

.?左邊。右邊，

的值不能等于2;

（2）由（加+1）（加-1）=56（加-1）,得（蘇-1）（蘇-5/77+1）=0

當(dāng)蘇-1=0,即方=1時，加+工=2,

m

當(dāng)/T?2-5/77+1=0,即時，m+—=5,

m

.-./772+_1_=（/77+.L）2-2=23.

m2m

【點評】本題考查的是一元二次方程的解法、因式分解的應(yīng)用，掌握公式法、提公因式

法因式分解的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

35.當(dāng)/77為何值時，關(guān)于x的方程（m-2）0.2-4mx=0為一元二次方程，并求這個

一元二次方程的解.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得到關(guān)于m的一元二次方程和關(guān)于m的不等式，

解之即可得到。的值，代入原方程解一元二次方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

/m2-2=2,

尸-2盧0

解得:m=-2,

即原方程為：-4M+8x=0,

解得:xi=Q,X2=2.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義，正確掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

36.請閱讀下列材料：

問題：已知方程爐+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=Z.

把x=工代入已知方程，得(工)2+工-1=o.

222

化簡，得尸+2尸4=0,

故所求方程為y+2尸4=0.

這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

請用閱讀材料提供的“換根法"求新方程(要求：把所求方程化為一般形式).

(1)已知方程8+x-2=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反

數(shù),則所求方程為：公-七2=0;

(2)已知方程2M-7x+3=0,求一一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒

數(shù).

【分析】(1)利用題中解法，設(shè)所求方程的根為匕則片-x,所以x=-匕然后把x

=-y代入已知方程得(-y)2+(-y)-2=0；

(2)設(shè)所求方程的根為y,則p=L,所以x=1.然后把x=工代入已知方程得2(1)

xyyy

2-7-1+3=0.再化成整式方程即可.

y

【解答】解：(1)設(shè)所求方程的根為匕則片-x,所以x=-y

把乂=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0.

化簡得〃-尸2=0,

故所求方程為尸2=0,

（2）設(shè)所求方程的根為y,則y=工，所以x=L.

xy

把x=1代入已知方程，得2（工）2-7?工+3=0.

yy