11-三角形-八大題型（拔尖）

三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形

【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線OA的距離為a，點(diǎn)P在射線OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【變式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大值是【變式2-2】（2023秋·安徽·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿足此條件的三角形共有個(gè)．【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】【例3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內(nèi)建造供水站O向三個(gè)城鎮(zhèn)按如圖路線供水，則所需供水管長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？【變式3-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式3-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關(guān)系；(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關(guān)系．【變式3-3】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說(shuō)明理由【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉(cāng)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_(kāi)________；(2)若∠A=α，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠【變式4-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請(qǐng)直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)F是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PE⊥CD于點(diǎn)E，PN平分∠MPF．

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°，求∠NPE的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EM（不與點(diǎn)M，E重合）上時(shí)，設(shè)∠PFM=α°，直接寫出∠NPE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將射線PF從（1）中的位置開(kāi)始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△FPM為直角三角形．【變式5-2】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【變式5-3】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？计谥校┮阎狹N∥PQ，點(diǎn)D是直線(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點(diǎn)A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點(diǎn)B恰好落在射線DE上，此時(shí)，∠PDE=20°，求∠ABD的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時(shí)，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板ABC也從圖1的位置開(kāi)始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)O．①如圖2，當(dāng)DF∥BC時(shí)，②如圖3，當(dāng)DF∥BA時(shí)，【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn)，在邊AD上取點(diǎn)F，沿著EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，在邊BC上取一點(diǎn)G，沿EG折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線A′E上時(shí)，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時(shí)，設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時(shí)∠FEG的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如果∠IBD=58°17′，求【變式6-2】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC′=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC′(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC′=42°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC′的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請(qǐng)求出∠C與【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落A′的位置，折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A′的位置且A′與點(diǎn)C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1?∠2的度數(shù)；②如圖2，請(qǐng)寫出∠1、∠2和∠A的關(guān)系并證明；(2)如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)（AE<12AB），請(qǐng)?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)A落在A′處，使A′【題型7多邊形中的閱讀理解類問(wèn)題】【例7】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：兩個(gè)三角形各有一個(gè)角互為對(duì)頂角，這兩個(gè)三角形叫做對(duì)頂三角形．解決問(wèn)題：如圖，△AOD與△BOC是對(duì)頂三角形．

(1)試說(shuō)明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；(2)試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問(wèn)題：若AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，①求∠P的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）；②若AQ、BQ分別平分∠EAC與∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范圍．【變式7-1】（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：解決問(wèn)題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個(gè)角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：連接AD并延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E．聯(lián)系拓廣：（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點(diǎn)出發(fā)，找出一條路線，用筆不離開(kāi)紙，連續(xù)不斷又不重復(fù)經(jīng)過(guò)圖形上所有部分畫成的)．請(qǐng)你根據(jù)上述解決問(wèn)題的思路，解答下列問(wèn)題：①圖2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為°；②圖3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為°．【變式7-2】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．已知“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？

如圖1，在五邊形ABCDE中，∠1,∠2是它的兩個(gè)外角，則∠1+∠2=∠A+∠B+∠C?180°．下面是該結(jié)論的證明過(guò)程（部分）：∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．……(1)按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分．(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，EF,DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度數(shù)；(3)拓展提升：如圖3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23【變式7-3】（2023秋·山東青島·八年級(jí)山東省青島第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）閱讀材料，回答下列問(wèn)題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P．則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【題型8與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的角度探究問(wèn)題】【例8】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD=∠A+∠B，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究；（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC+∠ECB______∠A+180°（選填“>”“<”或“=”），并說(shuō)明理由；初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，則∠C=______；（直接寫出答案）拓展延伸：（3）如圖4，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案：______；解決問(wèn)題：（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系．【變式8-1】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）研究一個(gè)問(wèn)題：多邊形的一個(gè)外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【回顧】如圖①，請(qǐng)直接寫出∠BCD與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系：______．【探究】如圖②，∠ADE是四邊形ABCD的外角，求證：∠ADE=∠A+∠B+∠C?180°．【結(jié)論】若n邊形的一個(gè)外角為x°，與其不相鄰的內(nèi)角之和為y°，則x，y與n的數(shù)量關(guān)系是______．【變式8-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【探究】（1）如圖1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______°；（2）如圖2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB=______；（用α、β表示）（3）如圖3，∠ADC=α，∠BCD=β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時(shí)，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【挑戰(zhàn)】（4）如果將（2）中的條件α+β>180°改為α+β<180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，交于點(diǎn)F，那么∠F與α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC=α，點(diǎn)D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)E，BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G．(1)特例感悟：如圖1，延長(zhǎng)AB交DG于點(diǎn)F，若BM∥DG，∠F=30°．解決問(wèn)題：①∠ABC=_______°；②求證：AC⊥AB；(2)深入探究；如圖2，當(dāng)α<90°，DG與BM反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD=______；(3)拓展延伸：當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．

三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【答案版】【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【答案】A【分析】連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)S△AFG=a，根據(jù)同高的三角形的面積的比等于底邊的比，分別得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S△ABC=10a、S△CFE=【詳解】解：連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)S△AFG∵S△AFG=12∴S∴S∵CF=4AF，同理可得：S△BCF∴S∴S∵BD=DE=EC，∴BC=3EC，同理可得：S△CFE∵G是AB的中點(diǎn)，同理可得：S△ACG∵BD=DE=EC，∴BC=3BD，同理可得：S△BDG∵四邊形DEFG的面積為28，∴S∴a=6，∴S故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【答案】14【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AF，∵EF=FC，△BEF的面積為4，∴S△BFC∵BF=2FD，∴S△DFC∵EF=FC，∴S△AEF∵BF=2FD，∴S△ABF∴S△AEF∴S△ADF+2+4=2S∴S△AEF∴S四邊形故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角形面積相等．【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形

【答案】5【分析】如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得S△ABC=15，從而求得【詳解】解：如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴S△ABE=S△ACE=∴S△CEF+S∴S四邊形∴S△ABC∴12∴CH=5，又∵點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，∴AC≥CH=5，∴AC的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、利用中線分析三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②3:1；（2）①證明見(jiàn)解析；②15【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得S△ADB=S△ADC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，推得PD是△PBC的中線，②設(shè)△ABC邊BC上的高為?，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形【詳解】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴S△ADB=S△ADC，點(diǎn)∴PD是△PBC的中線，∴S△PDB∴S△ADB即S△APB②S△APB解：設(shè)△ABC邊BC上的高為?，則S△ADB=1∵BD=3DC，∴S△ADB同理S△PDB則S△ADB即S△APB∴S△APB（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中位線，∴S△GAH=S△GAD=12∴S△ADC=∵S四邊形即S△HDG②15，解：由①可得S△HDG+SS四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線OA的距離為a，點(diǎn)P在射線OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【答案】A【分析】根據(jù)△OMP的形狀，大小是唯一確定的，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA交OA于點(diǎn)N，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，如圖：

∵點(diǎn)M到射線OA的距離為a，∴MN=a，∵M(jìn)N垂直平分OD，∴MD=MO=6，當(dāng)a<x<6，即點(diǎn)P在線段ON上（不含端點(diǎn)）或點(diǎn)P在線段ND上（不含端點(diǎn)），不能唯一確定△OMP；當(dāng)x=a時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，可唯一確定△OMP為直角三角形；當(dāng)x=6時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合或點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，∵點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)不能構(gòu)成三角形，故能唯一確定△OMP；當(dāng)x>6時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)，故能唯一確定△OMP；綜上，若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x=a或x≥6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大值是【答案】5【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系及三角形面積相等即可求出要求高的整數(shù)值．【詳解】解：因?yàn)椴坏冗叀鰽BC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，根據(jù)面積相等可設(shè)△ABC的兩邊長(zhǎng)為3x，x；因?yàn)?x×4＝12×x（2倍的面積），面積S＝6x，因?yàn)橹纼蓷l邊的假設(shè)長(zhǎng)度，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得：2x＜第三邊長(zhǎng)度＜4x，因?yàn)橐蟾叩淖畲箝L(zhǎng)度，所以當(dāng)?shù)谌呑疃虝r(shí)，在第三邊上的高就越長(zhǎng)，S＝12×第三邊的長(zhǎng)×高，6x＞12×2x×高，6x＜12∴6＞高＞3，∵是不等邊三角形，且高為整數(shù)，∴高的最大值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系及三角形的面積，難度較大，關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊差小于第三邊．【變式2-2】（2023秋·安徽·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【答案】D【詳解】如圖所示:AB=5，AC=7，設(shè)BC=2a，AD=x，延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，在△BDE與△CDA中，∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE=2x，BE=AC=7，在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6．故選D．【變式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿足此條件的三角形共有個(gè)．【答案】2041210【分析】已知b=2020，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解，首先確定出a、c三邊長(zhǎng)取值范圍，進(jìn)而得出各種情況有幾個(gè)三角形．【詳解】解：a，b，c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且它們都是自然數(shù)，其中a?b?c，如果b=2020，則0?a?2020，2020?c?4039，∴當(dāng)c=2020時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為1?a?2020，有2020個(gè)三角形；當(dāng)c=2021時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為2?a?2020，有2019個(gè)三角形；當(dāng)c=2022時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為3?a?2020，有2018個(gè)三角形；…當(dāng)c=4039時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為a=2020，有1個(gè)三角形；∴三角形數(shù)量是：(2020+2019+2018+…+3+2+1)=(1+2020)×2020故答案為：2041210．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用了在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊的三邊關(guān)系．【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】【例3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內(nèi)建造供水站O向三個(gè)城鎮(zhèn)按如圖路線供水，則所需供水管長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）水管長(zhǎng)度應(yīng)在5km到10【分析】（1）在ΔAOB、ΔAOC、ΔBOC中，分別有OA+OB>AB，OA+OC>AC，BO+OC>BC，三個(gè)式子相加即可證得要求（2）AB+AC>OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，三個(gè)式子相加即可證得要求（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，及（1）（2）可知12AB+BC+AC<OA+OB+OC<AB+BC+AC，所以5km【詳解】（1）在ΔAOB中，OA+OB>AB，①在ΔAOC中，OA+OC>AC，②在ΔBOC中，BO+OC>BC.③由①+②+③，得2OA+OB+OC故OA+OB+OC>1（2）AB+AC>OB+OC，①同理，AB+BC>OA+OC，②AC+BC>OA+OB.③由①+②+③，得2AB+AC+BC即AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，及（1）（2）知∴5故水管長(zhǎng)度應(yīng)在5km到10【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，準(zhǔn)確找到三角形來(lái)寫對(duì)應(yīng)關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵.【變式3-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【答案】a+3b【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)即可求解．【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三邊，∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）＝a+3b．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，絕對(duì)值的性質(zhì)，整式的加減，關(guān)鍵是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．【變式3-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關(guān)系；(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關(guān)系．【答案】(1)AB+BC+CA>2BD，理由見(jiàn)解析(2)AB+AC>PB+PC，理由見(jiàn)解析(3)AB+AC>BD+DE+CE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的兩邊之和大于第三邊解題即可；（2）在△ABD和△PDC中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊解題即可；（3）延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于G，交AC于點(diǎn)F，在△ABF、△GFC和△DEG中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊解題即可．【詳解】（1）解：AB+BC+CA>2BD，理由為：∵AB+AD>BD，BC+CD>BD，∴AB+AD+BC+CD>BD+BD即：AB+BC+CA>2BD（2）AB+AC>PB+PC，理由為：在△ABD中，AB+AD>BP+PD，在△PDC中，PD+DC>PC，兩式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC即：AB+AC>PB+PC（3）AB+AC>BD+DE+CE，理由為：如圖，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于G，交AC于點(diǎn)F，在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，①在△GFC中，GF+AC?AF>GE+EC，②△DEG中，DG+GE>DE，③①+②【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三遍之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說(shuō)明理由【答案】H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由見(jiàn)解析．【分析】連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H′，連接H′A、H′B、H′C、H【詳解】解：H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由如下：連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H′，連接H′A、H′B在△AH′C在△BH′D∴H∵AC+BD=HA+HB+HC+HD，∴H∴HA+HB+HC+HD最小，即維修站H建在AC、BD的交點(diǎn)處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小．【點(diǎn)睛】本題考查了線段最短，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造三角形，靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉(cāng)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_(kāi)________；(2)若∠A=α，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】(1)120°(2)①90°-α2②不變，90°-α2③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=【分析】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，分步計(jì)算即可．（2）①利用平角的定義，變形代入計(jì)算，注意與第（1）的結(jié)合．②與①結(jié)合起來(lái)求解即可．③根據(jù)平角的定義，變形后結(jié)合前面的計(jì)算，求解即可．【詳解】（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴180°-∠BDC=12∴∠BDC=90°∵∠A=60°，∴∠BDC=90°故答案為：120°．（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90°=90°②∠NDC?∠MDB保持不變，恒等于90°-α2∵∠NDC=180°-∠MDC，∴∠NDC?∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB=180°-（∠MDC+∠MDB）=180°-∠BDC=180°-（90°=90°故保持不變，且為90°③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠MDB=90°∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，∵∠BDC=90°∴∠NDC+∠MDB=180°-（90°+α【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，平角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）∠P=38°（3）∠【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的數(shù)量關(guān)系；（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（3）存在的數(shù)量關(guān)系為：∠D由（1）可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．【答案】(1)135°(2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，值為45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解；（2）利用對(duì)頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)不難得出∠EAF=90°，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，所以不確定是哪個(gè)角是哪個(gè)角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．【詳解】（1）解：∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠∵∠MON=90°，∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴∠AEB=180°?∠EBA?∠BAE，=180°?1=180°?1=180°?45°，=135°；（2）解：∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點(diǎn)E，∴∠AOE=135°，∴∠E=180=45=45=45=∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，∴∠EAF=1在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則①當(dāng)∠EAF=3∠E時(shí)，得∠E=30°，此時(shí)∠ABO=60°；②當(dāng)∠EAF=3∠F時(shí)，得∠E=60°，此時(shí)∠ABO=120°＞90°，舍去；③當(dāng)∠F=3∠E時(shí)，得∠E=1此時(shí)∠ABO=45°；．④當(dāng)∠E=3∠F時(shí)，得∠E=3此時(shí)∠ABO=135°＞90°，舍去．綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．【點(diǎn)睛】前兩問(wèn)熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對(duì)頂角相等、角平分線性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問(wèn)需先證明∠EAF=90°，再分情況進(jìn)行討論，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【答案】(1)①45；②不隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析(2)36(3)120°【分析】（1）①先利用角平分線的定義求出∠BAD，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABO，即可得到∠NBA，利用角平分線的定義可得∠ABC，即可求解；②設(shè)∠BAO=α，證明過(guò)程與①類似；（2）設(shè)∠BAO=5β，解題過(guò)程與（1）類似；（3）與（1）（2）類似，設(shè)出∠BAO的度數(shù)，再進(jìn)行推導(dǎo)即可．【詳解】（1）解：①∵∠BAO=60°，AD平分∠BAO，∴∠BAD=30°，∵∠MON=90°，∴∠ABO=30°，∴∠ABN=180°?∠ABO=150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠ABC=75°，∴∠ABD=105°，∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，∴∠D=45°，故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化，理由如下：設(shè)∠BAO=2α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAD=α，∵∠MON=90°，∴∠ABO=90°?2α，∴∠ABN=180°?∠ABO=90°+2α，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠ABC=45°+α，∴∠ABD=135°?α，∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，∴∠D=45°，∴∠D的度數(shù)不隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化；（2）解：設(shè)∠BAO=5β，∵∠OAD=3∴∠BAD=2∴∠BAD=2β，∵∠MON=90°，∴∠ABO=90°?5β，∴∠ABN=180°?∠ABO=90°+5β，∵∠NBC=3∴∠ABC=2∴∠ABC=36°+2β，∴∠ABD=144°?2β，∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，∴∠D=36°，故答案為：36；（3）解：設(shè)∠BAO=n，∵∠OAD=m∴∠BAD=n?m∴∠BAD=n?m，∵∠MON=120°，∴∠ABO=60°?n，∴∠ABN=180°?∠ABO=120°+n，∵∠NBC=m∴∠ABC=n?m∴∠ABC=n?m∴∠ABD=180°?n?m∵∠ABD+∠BAD+∠D=180°，∴∠D=120°n?m故答案為：120°n?m【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，列代數(shù)式，角的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請(qǐng)直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）100°；（2）50°，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，∠APC=α+β；當(dāng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠APC=α?β；當(dāng)點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠APC=β?α．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PO∥AB，將∠MPN分成∠MPO和∠NPO兩部分，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)將兩部分的度數(shù)相加即可；（2）分別過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)F作PO∥AB，EF∥AB，由（1）知∠AMP+∠CNP的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠AMF+∠CNF的度數(shù)，然后同第一問(wèn)用平行線的性質(zhì)即可求出∠MFN的度數(shù)；（3）分三種情況討論，根據(jù)平行線的性質(zhì)和“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”以及等量代換即可得到答案．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PO∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴PO∥AB∥CD，∴∠MPO=∠AMP，∠OPN=∠CNP，∵∠PMB=140°，∠PND=120°，∴∠MPO=∠AMP=180°?∠PMB=180°?140°=40°，∠OPN=∠CNP=180°?∠PND=180°?120°=60°，∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=40°+60°=100°．（2）分別過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)F作PO∥AB，EF∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴PO∥EF∥AB∥CD，∴∠AMP=∠MPO，∠CNP=∠OPN，∠MFE＝∠AMF，由（1）得∠AMP+∠CNP=100°，∵∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，∴∠AMF=1∴∠AMF+∠CNF=1∴∠MFN=∠MFE+∠EFN=∠AMF+∠CNF=50°．（3）當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，如原題圖3，和（1）同理可得：∠APC=α+β；當(dāng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，AP交CD于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴α=∠DEP，又∵∠DEP=β+∠APC，∠APC=α?β；當(dāng)點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，CP交AB于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BFP=β，又∵∠BFP=α+∠APC，∴∠APC=β?α．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，∠APC=α+β；當(dāng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠APC=α?β；當(dāng)點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠APC=β?α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的推論；解題的關(guān)鍵是：（1）正確作出輔助線，并靈活使用平行線的性質(zhì)；（2）正確作出兩條平行輔助線，并能靈活使用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)；（3）能用分類討論的數(shù)學(xué)思想．【變式5-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)F是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PE⊥CD于點(diǎn)E，PN平分∠MPF．

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°，求∠NPE的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EM（不與點(diǎn)M，E重合）上時(shí)，設(shè)∠PFM=α°，直接寫出∠NPE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將射線PF從（1）中的位置開(kāi)始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△FPM為直角三角形．【答案】(1)9°(2)α?50(3)t為45秒或29【分析】（1）平行線的性質(zhì)得到∠PMF=∠BPM=50°，三角形內(nèi)角和，得到∠MPF=98°，角平分線得到∠NPM=12∠MPF=49°，垂直得到∠PEM=90°，進(jìn)而求出∠EPM（2）根據(jù)題意，畫出圖形，同法（1）求出∠NPM，∠EPM的度數(shù)，利用∠NPE=∠EPM?∠NPM，進(jìn)行求解即可；（3）分∠FPM=90°和∠PFM=90°，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠PMF=∠BPM=50°．在△MPF中，∠PFM=32°，∴∠MPF=180°?50°?32°=98°．∵PN平分∠MPF，∴∠NPM=1∵PE⊥CD，∴∠PEM=90°，∴∠EPM=90°?50°=40°，∴∠NPE=∠NPM?∠EPM=49°?40°=9°．（2）解：如圖，

∵AB∥CD，∴∠PMF=∠BPM=50°．在△MPF中，∠PFM=α°，∴∠MPF=180°?50°?α=130°?α°．∵PN平分∠MPF，∴∠NPM=1∵PE⊥CD，∴∠PEM=90°，∴∠EPM=90°?50°=40°，∴∠NPE=∠EPM?∠NPM=40°?65°+1（3）∵∠PMF=50°，∴當(dāng)△FPM為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：情況一：當(dāng)∠FPM=90°時(shí)，∵初始狀態(tài)時(shí)∠FPM=98°，∴旋轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為98°?90°=8°．∴轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為810情況二：當(dāng)∠PFM=90°時(shí)，∠FPM=40°．∵初始狀態(tài)時(shí)∠FPM=98°，∴旋轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為98°?40°=58°．∴轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為5810綜上：當(dāng)t為45秒或295秒時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線和高線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和．解題的關(guān)鍵時(shí)熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．【變式5-2】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【答案】（1）∠BPD=2α；（2）畫圖見(jiàn)解析，EF⊥PD，證明見(jiàn)解析；（3）45°?α2【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出PG//AB//CD，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）猜測(cè)EF⊥PD，根據(jù)PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推導(dǎo)出∠BPD=∠DPQ=2α，再根據(jù)DE//PQ、EF平分∠DEP，通過(guò)等量代換求解；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)∠PEF:∠DEF=1:3與∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等量代換的思想進(jìn)行求解．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG//AB，∵AB//CD,PG//AB，∴PG//AB//CD，∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．（2）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形如下：猜測(cè)EF⊥PD，由（1）可知：∠BPD=2α，∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，∴∠BPD=∠DPQ=2α，∵DE//PQ，∴∠EDP=∠DPQ=2α，∴∠DEP=180°?∠BPD?∠EDP=180°?4α，又EF平分∠DEP，∠PEF=1∴∠EFD=180°?∠PEF?∠BPD=90°，∴EF⊥PD．（3）①如圖1，∠PEF:∠DEF=1:3，由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°?4α，∵∠PEF:∠DEF=1:3，∴∠PEF=1∠DEF=3∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE，∠EDQ+∠PQD=180°，∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，∠PQD=180°?∠EDQ=180°?3α，又EQ平分∠PQD，∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=1∴∠FEQ=∠DEF?∠DEQ=135°?3α?(90°?3②如圖2，∠DEP=180°?4α，∠PQD=180°?3α（同①）；若∠DEF:∠PEF=1:3，則有∠DEF=1又∠PQE=∠DQE=1∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE=90°?3∴∠FEQ=∠DEQ?∠DEF=45°?1綜上所述：∠FEQ=45°?32α故答案是：45°?α2或【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線、三角形內(nèi)角和定理、垂直等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，通過(guò)分類討論及等量代換進(jìn)行求解．【變式5-3】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？计谥校┮阎狹N∥PQ，點(diǎn)D是直線(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點(diǎn)A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點(diǎn)B恰好落在射線DE上，此時(shí)，∠PDE=20°，求∠ABD的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時(shí)，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板ABC也從圖1的位置開(kāi)始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)O．①如圖2，當(dāng)DF∥BC時(shí)，②如圖3，當(dāng)DF∥BA時(shí)，【答案】(1)80°(2)5或50或65(3)①37

②91【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BK∥（2）依題意可知：∠PDE=(20+2t)°，分三種情況討論即可；（3）依題意可知：∠PDE=(20+2t)°，∠MAC=(30+4t)°，利用角平分線和第一問(wèn)的關(guān)系可得∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t；①當(dāng)DF∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AB于DF于G，利用②當(dāng)DF∥BA時(shí)，延長(zhǎng)AC于DF于G，利用【詳解】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BK∥∴∠ABK=∠MAB．∵PQ∥MN，∴BK∥PQ，∴∠KBD=∠PDE．∵∠PDE=20°，∴∠KBD=20°，∵∠MAC=30°，∠CAB=30°，∴∠MAB=∠MAC+∠CAB=60°，∴∠ABK=60°，∴∠ABD=∠ABK+∠KBD=80°．（2）依題意可知：∠PDE=(20+2t)°，分以下三種情況討論：①如圖4，當(dāng)DE∥BC時(shí)，DE與AB交于點(diǎn)R，∵DE∥BC，∠ABC=90°，∴∠BRD=∠ABC=90°，∴∠ARD=180°?∠BRD=90°，∵∠MAB=60°，∴∠PDE=∠ARD?∠MAB=30°，∴20+2t=30，解得t=5．

②如圖5，當(dāng)DE∥AB時(shí)，DE與MN交于點(diǎn)S，∵DE∥AB，∠MAB=60°，∴∠DSM=∠MAB=60°，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠PDE+∠DSM=180°，∴∠PDE=180°?∠DSM=120°，∴20+2t=120，解得t=50．③如圖6，當(dāng)DE∥AC時(shí)，DE與MN交于點(diǎn)T，∵DE∥AC，∠MAC=30°，∴∠MTD=∠MAC=30°，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠MTD+∠PDE=180°，∴∠PDE=180°?∠MTD=150°，∴20+2t=150，解得t=65．綜上所述：t的值為5或50或65．（3）依題意可知：∠PDE=(20+2t)°，∠MAC=(30+4t)°，∵∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)O，∴∠PDO=12∠PDE=10+t由（1）的模型可得∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t，①當(dāng)DF∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AB于DF于G，∴∠ABC=∠OGA=90°，∠OAG=∠OAC+∠BAC=45+2t∵∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°，∴25+3t+90+45+2t=180，解得t=4，∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t=37°，故答案為：37；②當(dāng)DF∥BA時(shí)，延長(zhǎng)AC于DF于∴∠BAC=∠OGA=30°，∠OAG=∠OAC=15+2t∵∠AOD+∠GAO+∠OGA=180°，∴25+3t+30+15+2t=180，解得t=22，∠AOD=∠MAO+∠PDO=25+3t=91°，故答案為：91；【點(diǎn)睛】本題考查作圖-平移變換，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn)，在邊AD上取點(diǎn)F，沿著EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，在邊BC上取一點(diǎn)G，沿EG折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線A′E上時(shí)，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時(shí)，設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時(shí)∠FEG的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)∠FEG=90°，理由見(jiàn)解析(2)①當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°+x2；當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°?x2；②EB′可能平分∠FEG，當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∠當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∠FEG=(5407【分析】（1）由折疊的性質(zhì)結(jié)合平角的性質(zhì)即可求解；（2）①分當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部和點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)兩種情況討論求解即可；②分點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部和點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∠FEG=90°．由折疊可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°，∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°；（2）解：由折疊可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG．①（i）如圖，當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B′EB∴∠B′EB=3x．∴∠AEA′=180°?∠A′EB=180°?(∠B′EB+∠A′EB′)=180°?4x，∴∠BEG=12∠BEB′=3x2，∠AEF=12∠AEA∴∠FEG=180°?∠BEG?∠AEF=90°+x2（ⅱ）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=13∠B′EB∴∠B′EB=3x，∴∠AEA′=180°?∠A′EB=180°?(∠B′EB?∠A′EB′)=180°?2x，∴∠BEG=12∠BEB′=3x2，∠AEF=12∠AEA∴∠FEG=180°?∠BEG?∠AEF=90°?x2綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°+x2當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°?x2②EB′可能平分∠FEG，理由如下：（i）當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°+x2∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=12∠FEG=45°+x又∵∠B′EG=12∠BEB′=3x∴45°+x4=3x2，解得此時(shí)∠FEG=90°+x2（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∠FEG=90°?x2∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=12∠FEG=45°?x又∵∠B′EG=12∠BEB′=3x∴45°?x4=3x解得x=(1807此時(shí)∠FEG=90°?x2=(540綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EG內(nèi)部時(shí)，∠FEG=108°；當(dāng)點(diǎn)B′落在∠A′EF內(nèi)部時(shí)，∠FEG=(5407【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決問(wèn)題．【變式6-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如果∠IBD=58°17′，求【答案】（1）35°；（2）140°；（3）①90°；②31°【分析】（1）利用對(duì)折性質(zhì)可知AD是∠CAB角平分線，由此即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知∠AED+∠ADE=180°?∠A，根據(jù)折疊可知∠AEA′+∠AD（3）①根據(jù)折疊可得∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，代入計(jì)算即可；②∠ABC=1【詳解】解：（1）由對(duì)折性質(zhì)可知，AD是∠CAB角平分線，∴∠CAD=1故答案為：35°．（2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A=70°，∴∠AED+∠ADE=180°?∠A=180°?70°=110°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠A∴∠AEA∵∠AEA∴∠1+∠2=360°?220°=140°，故答案為：140°．（3）①由折疊的性質(zhì)可知：∠IBD=∠FBD，∠ABC=∠EBC，且∠IBD+∠FBD+∠ABC+∠EBC=180°，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=1②根據(jù)折疊的性質(zhì)及上述知識(shí)可知，∠ABC=====31°43【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題中角的計(jì)算問(wèn)題，掌握翻折的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC′=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC′(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC′=42°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC′的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請(qǐng)求出∠C與【答案】(1)29°，∠AD(2)31°(3)∠C=【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠CDC′，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CDE=∠C（2）方法一：根據(jù)平角的定義得出∠CEC′，∠CDC′，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出方法二：根據(jù)（1）的結(jié)論得出∠DCC′=10°（3）方法一：根據(jù)（2）的方法一進(jìn)行計(jì)算即可求解；方法二：根據(jù)（2）的方法二，即可求解．【詳解】（1）∵∠ADC∴∠CDC由折疊得：∠CDE=∠C∠DEC=∠DEC∴∠C=180°?∠EDC?∠DEC=29°，設(shè)∵∠ADC∴∠CDC由折疊得：∠CDE=∠C∠DEC=∠DEC∴∠C=180°?∠EDC?∠DEC=90°?90°?∴∠ADC故答案為：29°，∠ADC（2）∵∠BEC′=42°∴∠CEC′=180°?∠BE由折疊得：∠CDE=∠C′DE=∴∠C=180°?∠EDC?∠DEC=31°，方法二：連接C由①結(jié)論可知：∠ADC∴∠DC同理，由①結(jié)論可知：∠BEC∴∠∴∠ACB=∠DCC（3）∵∠BEC′=x∴∠CEC′=180°?x由折疊得：∠CDE=∠C∠DEC=∠DEC∴∠C=180°?∠EDC?∠DEC=180°?90°+∴∠C與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：∠C=1方法二：連接CC由①結(jié)論可知：∠BEC∴∠EC同理，由①結(jié)論可知：∠ADC∴∠DC∴∠ACB=∠ECC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落A′的位置，折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A′的位置且A′與點(diǎn)C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1?∠2的度數(shù)；②如圖2，請(qǐng)寫出∠1、∠2和∠A的關(guān)系并證明；(2)如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)（AE<12AB），請(qǐng)?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)A落在A′處，使A′【答案】(1)①60°；②∠1?∠2=2∠A(2)∠AED=75°或125°或35°【分析】（1）①先求出∠B的度數(shù)，在根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠1+∠BFD的度數(shù)，由∠BFD=∠A′FE和∠A②同①的方法即可求解．（2）分三種情況討論，當(dāng)A′D∥AB時(shí)，當(dāng)A′D∥BC，A′【詳解】（1）由折疊可知，∠在△A′∴∠2=180°?∠在△ABC中，∠B=180°?∠C?∠A=60°在四邊形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°∴∠1=360°?∠C?∠B?∠BFD=210°?∠BFD∵∠BFD=∠∴∠1?∠2=210°?150°=60°；②由折疊可知，∠在△A′∴∠2=180°?∠在△ABC中，∠B=180°?∠C?∠A在四邊形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°∴∠1=360°?∠C?∠B?∠BFD∵∠BFD=∠∴∠1?∠2==360°?∠C?∠B?∠BFD?180°+∠A+∠AFE；=180°?=2∠A（2）解：①當(dāng)A′∴∠BEA∵由折疊可知，∠A′=∠A=30°∵∠AED+∠A∴∠AED=1②當(dāng)A′D∥BC，∵∠C=50°,∠C+∠1=180°，∴∠1=130°，由（1）可得∠1?∠2=2∠A=60°，∴∠2=70°，由折疊可知，∠AED=∠A∴∠2+180°=2∠AED，∴∠AED=125°；③當(dāng)A′D∥BC，則∠CDA∴∠AGE=∠A∴∠AEG=180°?∠A?∠AGE=180°?30°?80°=70°，由折疊可知，∠AED=∠A∴∠AED=1綜上所述，∠AED=75°或125°或35°．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和公式，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)，并能分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型7多邊形中的閱讀理解類問(wèn)題】【例7】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：兩個(gè)三角形各有一個(gè)角互為對(duì)頂角，這兩個(gè)三角形叫做對(duì)頂三角形．解決問(wèn)題：如圖，△AOD與△BOC是對(duì)頂三角形．

(1)試說(shuō)明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；(2)試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問(wèn)題：若AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，①求∠P的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）；②若AQ、BQ分別平分∠EAC與∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①∠P=m+n2【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和結(jié)合“8”字型模型證明即可；（2）①由（1）中的結(jié)論推導(dǎo)可得∠D+∠C=2∠P；②先根據(jù)角平分線得到∠PAQ=∠PBQ=90°，再利用四邊形內(nèi)角和結(jié)合∠P=m+n2°【詳解】（1）解：在△AOD中，∠DAO+∠D+∠AOD=180°，在△BOC中，∠OBC+∠C+∠BOC=180°，又∵∠AOD=∠BOC，∴∠DAO+∠D=∠OBC+∠C．（2）①∵AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC，∴∠DAG=∠GAH，∠GBP=∠HBC.∵△AGD與△BGP是對(duì)頂三角形，是對(duì)頂三角形∴∠DAG+∠D=∠GBP+∠P①.∵△AHP與△BHC是對(duì)頂三角形，∴∠HBC+∠C=∠GAH+∠P②由①+②，得∠DAG+∠D+∠HBC+∠C=∠GBP+∠P+∠GAH+∠P∴∠D+∠C=2∠P，∵∠C=m°，∠D=n°∴∠P=②∵AP、AQ分別平分∠DAC與∠EAC，∴∠PAC=12∠DAC∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=同理可求得∠PBQ=90°在四邊形APBQ中，∠Q+∠QAP+∠P+∠PBQ=360°∴∠Q+90°+∠P+90°=360°，∠Q+∠P=180°，∠Q=180°?∠P.由（1）①證得∠P=m+n2∵120°≤∠Q≤150°，∴120°≤180?解得60≤m+n≤120．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：解決問(wèn)題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個(gè)