專項11-角度計算模型-角平分線-專題訓練

角度計算模型-角平分線專題-專題訓練【類型一兩內角平分線模型】1．如圖所示，AC⊥BC，AO，BO分別是∠A，∠B的平分線，且相交于點O，則∠AOB等于（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，平分，平分，若，則的度數為（

）A． B． C． D．3．如圖，△ABC的角平分線BD與CE交于點O，若∠COD＝50°，則∠BAC的度數是__________．4．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數．（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？5．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則∠BPC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠BPC＝；（3）若∠A＝80°，則∠BPC＝；（4）從以上的計算中，你能發(fā)現已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝（提示：用∠A表示）．6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°7．如圖，五邊形ABCDE的兩個內角平分線相交于點O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．8．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．9．如圖，四邊形ABCD中，AB200，ADC、DCB的平分線相交于點O，則COD的度數是_____.10．探究與發(fā)現：（1）探究一：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖1，在中，DP、CP分別平分和，試探究與的數量關系，并說明理由．（2）探究二：四邊形的兩個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖2，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分和，試探究與的數量關系，并說明理由．（3）探究三：六邊形的四個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖3，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分和，請求出與的數量關系．11．如圖①，ABC的角平分線BD、CE相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，過P點作直線MN，分別交AB和AC于點M和N，且MN平行于BC，則有∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A．①若將直線MN繞點P旋轉，如圖③，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否依然成立，并說明理由；②當直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的延長線上時，如圖④，試問①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否仍然成立？若不成立，請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由．12．（1）特例發(fā)現：如圖1，，平分，平分．請觀察猜想的度數并說明理由；（2）類比探究：如圖2，點是上一點，當保持不變，移動直角頂點，使平分．與存在怎樣的數量關系?并說明理由；（3）拓展應用：如圖3，為線段上一定點，點為直線上一動點，點不與點重合．與有何數量關系?猜想結論并說明理由．13．如圖1，在平面直角坐標系中，A(，0)，C(b，2)，且滿足，過C作CB⊥軸于B．(1)求三角形ABC的面積．(2)如圖2，若過B作BD∥AC交軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數．(3)若AC交軸于點F，在軸上是否存在點P，使得三角形ACP的面積是三角形AOF的面積的4倍？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.【類型二兩外角平分線模型】1．如圖所示，在△ABC中，分別延長△ABC的邊AB，AC到D，E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)時發(fā)現如下規(guī)律：①若∠A＝50°，則∠P＝65°＝90°－；②若∠A＝90°，則∠P＝45°＝90°－；③若∠A＝100°，則∠P＝40°＝90°－.(1)根據上述規(guī)律，若∠A＝150°，則∠P＝________；(2)請你用數學表達式寫出∠P與∠A的關系；(3)請說明(2)中結論的正確性．2．如圖，、是的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．4．如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點，若，，求的度數.5．如圖，點是的外角和的角平分線交點，延長交于，請寫出和的數量關系.6．如圖，已知射線射線，、分別為、上一動點，、的平分線交于點.問、分別在、上運動的過程中，的度數是否改變？若不變，求出其值；若改變，說明理由.7．如圖，已知點是四邊形的外角和外角的平分線的交點．若，，求的度數．8．如圖，五邊形中，、的外角分別是、，、分別平分和且相交于點，若，，，則__________．9．（1）問題發(fā)現：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”聯想到四邊形的外角，如圖①，，是四邊形的兩個外角，∵四邊形的內角和是360°，∴，又∵，由此可得，與，的數量關系是______；（2）知識應用：如圖②，已知四邊形，，分別是其外角和的平分線，若，求的度數；（3）拓展提升：如圖③，四邊形中，，和是它的兩個外角，且，，求的度數．10．已知如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β（1）如圖1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度數；（2）如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請寫出α、β所滿足的等量關系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．11．如圖，點M是△ABC兩個內角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．12．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC=130°，則∠D的度數為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°13．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．14．已知BM、CN分別是△的兩個外角的角平分線，、分別是和的角平分線，如圖①；、分別是和的三等分線（即，），如圖②；依此畫圖，、分別是和的n等分線（即，），，且為整數．（1）若，求的度數；（2）設，請用和n的代數式表示的大小，并寫出表示的過程；（3）當時，請直接寫出+與的數量關系．【類型三內外角平分線模型】1．如圖∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于點E．（1）求∠E的度數；（2）請猜想∠A與∠E之間的數量關系，不用說明理由．2．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°3．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠BAC的度數是____________．4．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定5．如圖，在中，點D在邊BA的延長線上，∠ABC的平分線和∠DAC的平分線相交于點M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，則∠M的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°6．如圖，已知為中的平分線，為的外角的平分線，與交于點．若∠ABD=20°，，則（

）A．70° B．90° C．80° D．100°7．如圖所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分線與∠ABC的外角平分線交于E點，則∠AEB=（

）A．50° B．45° C．40° D．35°8．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2，?，∠A3BC與∠A3CD的平分線相交于點A4，得∠A4，則∠A4的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°9．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的鄰補角的平分線相交于點P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°10．如圖，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠DOC＝48°，則∠D＝_____°．11．如圖，等腰中，頂角，點E，F是內角與外角三等分線的交點，連接EF，則_________．12．如圖，在△ABC中，∠A＝96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點A1，則∠A1＝__，若∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，則∠A2＝__，…，以此類推，則∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點An，則∠An的度數為__．13．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延長線與五邊形ABCDE外角平分線相交于點P，求∠P的度數14．如圖，∠XOY＝90°，點A，B分別在射線OX，OY上移動，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，試問∠ACB的大小是否發(fā)生變化，如果不變，求出∠C的度數．15．如圖，∠CBF,∠ACG是△ABC的外角,∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC,∠CBF的平分線BD，DE交于點D,E.（1）∠DBE的度數;（2）若∠A=70,求∠D的度數;（3）若∠A=,求∠E的度數(用含的式子表示).16．已知，在四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的∠ABC的平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構成的銳角，若∠A＝α，∠D＝β，（1）如圖①，當α+β＞180°時，∠F＝____（用含α，β的式子表示）；（2）如圖②，當α+β＜180°時，請在圖②中，畫出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）；（3）當α，β滿足條件___時，不存在∠F．17．如圖，，點、分別在、上運動（不與點重合）．（1）如圖1，是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點．①若，則為多少度？請說明理由．②猜想：的度數是否隨、的移動發(fā)生變化？請說明理由．（2）如圖2，若，，則的大小為度（直接寫出結果）；（3）若將“”改為“（）”，且，，其余條件不變，則的大小為度（用含、的代數式直接表示出米）．

角度計算模型-角平分線專題-專題訓練（解析版）【類型一兩內角平分線模型】1．如圖所示，AC⊥BC，AO，BO分別是∠A，∠B的平分線，且相交于點O，則∠AOB等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據角平分線的定義得到∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，再利用三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：∵AC⊥BC，∴∠C=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AO，BO

分別是

∠A，∠B

的平分線，且相交于點

O，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，在△OAB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-45°=135°，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．2．如圖，在中，平分，平分，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，可以得到，，再根據三角形內角和定理和進行求解即可.【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選B.【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.3．如圖，△ABC的角平分線BD與CE交于點O，若∠COD＝50°，則∠BAC的度數是__________．【答案】80°【解析】【分析】依據三角形外角性質，即可得到∠OBC+∠OCB=50°，再根據△ABC的角平分線BD，CE相交于點O，可得∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=100°，最后根據三角形內角和定理，即可得到△ABC中，∠A=80°．【詳解】解：∵∠COD=50°，∴∠OBC+∠OCB=50°，∵△ABC的角平分線BD，CE相交于點O，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=100°，∴△ABC中，∠BAC=80°，故答案為：80°．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理的運用和三角形外角的性質，能結合定理正確識圖，得出相應角之間的關系是解題關鍵．4．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數．（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義，求得，，再根據三角形內角和定理即可求得；（2）根據（1）的方法求得，再結合條件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．【詳解】（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．【點睛】本題考查了與角平分線有關的角度計算，三角形內角和定理，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則∠BPC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠BPC＝；（3）若∠A＝80°，則∠BPC＝；（4）從以上的計算中，你能發(fā)現已知∠A，求∠BPC的公式是：∠BPC＝（提示：用∠A表示）．【答案】（1）125°；（2）120°；（3）130°；（4）90°+∠A．【解析】【分析】（1）由∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠2+∠4=25°+30°＝55°，在△BCP中，由三角形內角和為180°可得答案；（2）同理，由ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，可得∠2+∠4＝×120°＝60°，在△BCP中，由三角形內角和為180°可得答案；(3)A＝80°，可得ABC+∠ACB＝100°，∠2+∠4＝×100°＝50°，可得∠BPC的度數；（4）ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，可得∠2+∠4＝×（180°﹣∠A），在△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A【詳解】解：（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，∴∠2+∠4＝25°+30°＝55°，∴△BCP中，∠P＝180°﹣55°＝125°，故答案為125°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝120°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，∴∠2+∠4＝×120°＝60°，∴△BCP中，∠P＝180°﹣60°＝120°，故答案為120°；（3）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，∴∠2+∠4＝×100°＝50°，∴△BCP中，∠P＝180°﹣50°＝130°，故答案為130°；（4））∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，∴∠2+∠4＝×（180°﹣∠A），∴△BCP中，∠P＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A．故答案為90°+∠A．【點睛】本題主要考查三角形的內角和定理與角平分線的性質：三角形的內角和是180,得到相應規(guī)律是:三角形兩個內角平分線所夾的鈍角等于90+第三個角的一半.6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】D【解析】【分析】由題意易得，由四邊形內角和可知，則有，進而問題可求解．【詳解】解：∵∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，∴，∵∠A＝150°，∠C＝60°，∴，∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查四邊形內角和及角平分線的定義，熟練掌握四邊形內角和及角平分線的定義是解題的關鍵．7．如圖，五邊形ABCDE的兩個內角平分線相交于點O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．【答案】70°【解析】【分析】先求出與∠EAB和∠CBA相鄰的外角的度數和，然后根據多邊形外角和定理即可求解．【詳解】如圖，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分別平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和定理，三角形的內角和定理，熟練掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關鍵．8．如圖，DC平分，EC平分，已知，，則________．【答案】【解析】【分析】連接DE，根據三角形角平分線的性質及內角和定理可求出∠DCE與∠A、∠ADC、∠AEC之間的關系，同理可求出∠DCE與∠A、∠ADB、∠AEB之間的關系，代入數值進行計算即可；【詳解】連接DE，如圖1在△BDE中，∠1＋∠2＝180°?∠DBE＝70°，在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180°?∠DAE＝130°，∴∠ADB＋∠AEB＝（∠ADE＋∠AED）?（∠1＋∠2）＝60°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠3＋∠4＝30°，在△DEC中，∠DCE＝180°?（∠1＋∠2）?（∠3＋∠4）＝180°?70°?30°＝80°.故答案為：.【點睛】本題考查三角形角平分線的性質及內角和定理，掌握上述知識點是解題關鍵.9．如圖，四邊形ABCD中，AB200，ADC、DCB的平分線相交于點O，則COD的度數是_____.【答案】100【解析】【分析】先根據四邊形的內角和得到∠ADC+∠BCD=160°，再根據ADC、DCB的平分線得到∠ODC+∠OCD=80°，再根據三角形的內角和即可求解.【詳解】∵四邊形ABCD中，AB200∴∠ADC+∠BCD=360°-（AB）=160°∵ADC、DCB的平分線相交于點O∴∠ODC+∠OCD=ADC+DCB=（∠ADC+∠BCD）=80°，在△COD中，COD=180°-（∠ODC+∠OCD）=100°.故填：100.【點睛】此題主要考查四邊形的角度求解，解題的關鍵是熟知多邊形的內角和及角平分線的性質.類型三兩內角平分線大題解答10．探究與發(fā)現：（1）探究一：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖1，在中，DP、CP分別平分和，試探究與的數量關系，并說明理由．（2）探究二：四邊形的兩個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖2，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分和，試探究與的數量關系，并說明理由．（3）探究三：六邊形的四個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系？已知：如圖3，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分和，請求出與的數量關系．【答案】（１）∠P=90°+∠A；（２）∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；（３）∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．【解析】【分析】（1）先根據角平分線的定義表示出∠CDP和∠DCP，然后再根據三角形內角和為180°即可得到∠P和∠A的數量關系；（2）先根據角平分線的定義表示出∠CDP和∠DCP，根據四邊形內角和為360°，即可得到∠BCD+∠ADC=360°-（∠A+∠B），再結合三角形內角和為180°，可得∠P與∠A+∠B的數量關系；（3）先根據角平分線的定義表示出∠CDP和∠DCP，根據六邊形內角和為720"，可得∠BCD+∠ADC=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F）,再結合三角形內角和為180°，可得∠P與∠A+∠B的數量關系．【詳解】解：（1）∠P=90°+∠A,理由如下：∵DP，CP分別平分∠ADC和∠ACD∴∠CDP=∠ADC，∠DCP=∠ACD∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°∴∠ADC+∠ACD=180°-∠A∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD）∴∠P=180°-（180°-∠A）=90°+∠A；（2）∠P=（∠A+∠B）,理由如下：∵DP，CP分別平分∠ADC和∠BCD∴∠CDP=∠ADC，∠DCP=∠BCD∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°∴∠BCD+∠ADC=360°-（∠A+∠B）∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠BCD）=180°-[360°-(∠A-∠B)]=（∠A+∠B）；（3）∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°理由如下：∵DP，CP分別平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC=∠EDC，∠DCP=∠BCD∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC=720°∴∠BCD+∠EDC=720°-（∠A+∠B+∠E+∠F）∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠EDC+∠BCD）=180°-[720°-（∠A+∠B+∠E+∠F）]=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和、角平分線的性質等知識點，掌握運用多邊形的內角和表示角的數量關系是解答本題的關鍵．11．如圖①，ABC的角平分線BD、CE相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，過P點作直線MN，分別交AB和AC于點M和N，且MN平行于BC，則有∠MPB+∠NPC＝90°﹣∠A．①若將直線MN繞點P旋轉，如圖③，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否依然成立，并說明理由；②當直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的延長線上時，如圖④，試問①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否仍然成立？若不成立，請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由．【答案】（1）130°；（2）①仍然成立，見解析；②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣∠A，見解析【解析】【分析】（1）運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進而求出∠BPC即可解決問題．（2）運用（1）中的結論，結合三角形的內角和定理逐一分類解析，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖①∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．（2）①如圖③，由（1）知：∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）；∵∠1+∠2＝（180°﹣∠A）＝90°-∠A，∴∠BPC＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A；∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣∠A．如圖④，由①知：∠BPC＝90°+∠A，∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．【點睛】該題主要考查了三角形的內角和定理、角平分線的定義等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握三角形的內角和定理、角平分線的定義等幾何知識點是基礎，靈活運用是關鍵．12．（1）特例發(fā)現：如圖1，，平分，平分．請觀察猜想的度數并說明理由；（2）類比探究：如圖2，點是上一點，當保持不變，移動直角頂點，使平分．與存在怎樣的數量關系?并說明理由；（3）拓展應用：如圖3，為線段上一定點，點為直線上一動點，點不與點重合．與有何數量關系?猜想結論并說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）．理由見解析；（3）或．（或）理由見解析．【解析】【分析】（1）過點E作EF//AB，根據平行線的性質推出∠BAE=∠AEF，∠BAC+∠ACD=180°，根據角平分線的性質得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，從而推出∠AEC=90°；（2）過E作EF//AB，由平行線的性質推出∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，結合圖形有∠BAE+∠ECD=90°，再根據角平分線的性質推出∠MCE＝∠ECD=∠MCD，從而得到∠BAE+∠MCD＝90°；（3）根據題意分當點Q在射線CD上運動時和當點Q在射線CD的反向延長線上運動時兩種情況進行討論，結合圖形根據平行線的性質及三角形的內角和進行求解即可．【詳解】解：（1）理由如下：過點作，則．，.平分，平分，，，，，即.（2）．過作，，，，．，，平分，，.（3）當點在射線上運動時（如圖3），（或）理由：過點過作，，，，．.當點在射線的反向延長線上運動時（點除外）理由：，.，綜上，或（或）【點睛】本題考查平行線的判定與性質，通常需要根據題意作出相關的輔助線（EF//AB），運用數形結合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關系根據平行線的性質從而判斷角之間的大小關系，同時注意運用分類討論的思想方法．13．如圖1，在平面直角坐標系中，A(，0)，C(b，2)，且滿足，過C作CB⊥軸于B．(1)求三角形ABC的面積．(2)如圖2，若過B作BD∥AC交軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數．(3)若AC交軸于點F，在軸上是否存在點P，使得三角形ACP的面積是三角形AOF的面積的4倍？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)4(2)45°(3)P坐標為(0，3)或(0，-1)【解析】【分析】（1）根據非負數的性質可列出關于a、b的二元一次方程組，解出a、b，即得出A、B、C三點坐標，然后根據三角形面積公式計算即可；（2）過E作EF∥AC，根據平行線的性質結合角平分線定義即可求解；（3）連接OC．根據和，即可求出，從而可求出．分類討論①當P點在x軸上方時，作軸，軸，軸，分別交于點M、N．設P(0，m)，根據，即可求出m的值，即得出答案；②當P點在x軸下方時，作軸，軸，軸，分別交于點、．設設P(0，n)，根據，即可求出n的值，即得出答案．(1)解：∵，∴，解得：．∴A(-2，0)，C(2，2)．∵CB⊥AB，∴B(2，0)，∴AB=4，CB=2，∴；(2)如圖，過E作EF∥AC．∵CB⊥x軸，∴CB∥y軸，∠CBA=90°，∴∠ODB=∠6．又∵BD∥AC，∴∠CAB=∠5，∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°-∠CBA=90°．∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=(∠CAB+∠ODB)=45°；(3)如圖，連接OC．∵，，∴．∵，，∴．∵，∴．分類討論：①當P點在x軸上方時，如圖，作軸，軸，軸，分別交于點M、N．設P(0，m)則AM=m，MP=2，NP=2，NC=m-2，MN=4，∴，∴，解得：．∴此時點P坐標為(0，3)；②當P點在x軸下方時，如圖，作軸，軸，軸，分別交于點、．設P(0，n)，則=-n，=2，=2，=2-n，，∴，∴，解得：．∴此時點P坐標為(0，-1)．綜上可知點P坐標為(0，3)或(0，-1)．【點睛】本題考查非負數的性質，解二元一次方程組，坐標與圖形，角平分線的定義，三角形的面積公式，平行線的判定和性質．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵【類型二兩外角平分線模型】1．如圖所示，在△ABC中，分別延長△ABC的邊AB，AC到D，E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)時發(fā)現如下規(guī)律：①若∠A＝50°，則∠P＝65°＝90°－；②若∠A＝90°，則∠P＝45°＝90°－；③若∠A＝100°，則∠P＝40°＝90°－.(1)根據上述規(guī)律，若∠A＝150°，則∠P＝________；(2)請你用數學表達式寫出∠P與∠A的關系；(3)請說明(2)中結論的正確性．【答案】（1）15°；（2）∠P＝90°－∠A；（3）見解析.【解析】【詳解】【試題分析】（1）按照規(guī)律求解即可；（2）根據題意中的規(guī)律寫出等量關系；（3）根據外角的性質，證明.【試題解析】(1)∠P＝90°－=15°；(2)∠P＝90°－∠A；(3)因為∠DBC是△ABC的一個外角，所以∠DBC＝∠A＋∠ACB.因為BP是∠DBC的平分線，所以∠PBC＝∠A＋∠ACB.同理可得∠PCB＝∠A＋∠ABC.因為∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，所以∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝180°－＝90°－∠A.【方法點睛】本題目是一道規(guī)律探究題，先猜想后證明，主要利用外角的性質，三角形的內角和來證明.2．如圖，、是的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根據三角形內角和與∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根據角平分線的性質得出∠ABC和∠ACB的外角和，進而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【詳解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是的外角角平分線∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故選：B.【點睛】此題主要考查角平分線以及三角形內角和的運用，熟練掌握，即可解題.3．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據三角形的內角和，可得∠ABC+∠ACB，根據角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根據角平分線的定義，可得∠OBC+∠OCB，根據三角形的內角和，可得答案．【詳解】解：如圖：，由三角形內角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，利用三角形內角和定理，角的和差，角平分線的定義是解題關鍵．4．如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點，若，，求的度數.【答案】【解析】【分析】運用角平分線的知識列出等式求解即可．解答過程中要注意代入與之有關的等量關系．【詳解】解：∠B、∠C的外角平分線相交于點G，在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=【點睛】本題考查的是三角形內角和定理以及角平分線的知識．此類題的關鍵是找出與之相關的等量關系簡化計算得出．5．如圖，點是的外角和的角平分線交點，延長交于，請寫出和的數量關系.【答案】【解析】【分析】先根據三角形外角的性質及角平分線的性質即可用含的式子表示出和的和，再利用三角形外角的性質即可得到和的數量關系.【詳解】解：∵,∴,∵點是的外角和的角平分線交點，∴+＝，又∵＝+，∴.【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形外角和的性質及角平分線的性質.熟練應用三角形外角的性質是解題的關鍵.6．如圖，已知射線射線，、分別為、上一動點，、的平分線交于點.問、分別在、上運動的過程中，的度數是否改變？若不變，求出其值；若改變，說明理由.【答案】不變，.【解析】【分析】根據三角形的內角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質可以得到∠C=90°-∠O．【詳解】解：∠C的度數不會改變．∵∠ABE、∠BAF的平分線交于C，∴∠CAB=∠FAB

∠CBA=∠EBA∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-（∠ABE+∠BAF）=180°-（∠O+∠OAB+∠BAF）=180°-（∠O+180°）=90°-∠O=45°．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質定理，熟練掌握相關的性質是解題的關鍵．類型二多邊形兩外角平分線問題7．如圖，已知點是四邊形的外角和外角的平分線的交點．若，，求的度數．【答案】60°【解析】【分析】根據四邊形的內角和公式即可求出，然后根據平角的定義即可求出，再根據角平分線的定義即可求出，最后根據三角形的內角和定理即可求出結論．【詳解】解：因為，，，所以．因為，，所以．因為點是四邊形的外角和外角的平分線的交點，所以，．所以，所以．【點睛】此題考查的是四邊形的內角和公式、三角形的內角和定理和角平分線的定義，掌握四邊形的內角和是360°、三角形的內角和是180°和角平分線的定義是解決此題的關鍵．8．如圖，五邊形中，、的外角分別是、，、分別平分和且相交于點，若，，，則__________．【答案】95【解析】【分析】根據多邊形的內角和定理：，可得出∠BCD、∠EDC的和，從而得出相鄰兩外角和，然后根據角平分線及三角形內角和定理即可得出答案．【詳解】解：多邊形的內角和定理可得五邊形的內角和為：=540°，∴∠BCD+∠EDC=540°-140°-120°-90°=190°，∴∠FCD+∠GDC=360°-190°=170°又∵CP和DP分別是∠BCD、∠EDC的外角平分線，∴，根據三角形內角和定理可得：∠CPD=180°-85°=95°．故答案為：95．【點睛】本題主要考查了多邊形內角和定理、角平分線的性質、三角形內角和定理，熟悉相關性質是解題的關鍵．9．（1）問題發(fā)現：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”聯想到四邊形的外角，如圖①，，是四邊形的兩個外角，∵四邊形的內角和是360°，∴，又∵，由此可得，與，的數量關系是______；（2）知識應用：如圖②，已知四邊形，，分別是其外角和的平分線，若，求的度數；（3）拓展提升：如圖③，四邊形中，，和是它的兩個外角，且，，求的度數．【答案】（1）+=+；（2）65°；（3）45°【解析】【分析】（1）根據平角的定義即可解答；（2）根據（1）的結論求出，再根據角平分線的定義求出，然后利用三角形的內角和定理列式進行計算即可得解；（3）由四邊形內角和定理得，可求得，再由，可求得，最后利用四邊形內角和定理求出．【詳解】解：（1）如圖①，，是四邊形的兩個外角，∵四邊形的內角和是360°，∴，又∵，∴+=+，故答案為：+=+；（2）∵∴∵AE、DE分別是∠NAD、∠MDA的平分線∴∠ADE=∴∴;（3）∵∴∴∵，∴∵∴【點睛】本題考查了四邊形的兩個外角和等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，四邊形的內角和定理，角平分線的定義，熟記性質并讀懂題目信息是解題的關鍵．10．已知如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β（1）如圖1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度數；（2）如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請寫出α、β所滿足的等量關系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行，理由見解析【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義和四邊形的內角和以及α+β＝150°推導即可；（2）利用角平分線的定義和四邊形的內角和以及三角形的內角和轉化即可；（3）利用角平分線的定義和四邊形的內角和以及三角形的外角的性質計算即可．【詳解】解：（1）在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，∵α+β＝150°，∴∠MBC+∠NDC＝150°，（2）β﹣α＝90°理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°，（3）平行，理由：如圖2，延長BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），∵α＝β，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了平角的意義，四邊形的內角和，三角形內角和，三角形的外角的性質，角平分線的意義，用整體代換的思想是解本題的關鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強訓練．11．如圖，點M是△ABC兩個內角平分線的交點，點N是△ABC兩外角平分線的交點，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．【答案】36°【解析】【詳解】試題分析：由題意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，∴可得∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．考點:1.三角形內角和定理；2.三角形的外角性質．12．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC=130°，則∠D的度數為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解析】【分析】根據角平分線的定義和平角定義可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根據外角的性質可得，繼而即可求解．【詳解】解：∵平分，平分的外角，∴，，∵，∴，∴，∴，故選擇C．【點睛】本題考查角平分線的定義，平角定義，三角形的外角性質，解題的關鍵是根據角平分線定義和平角定義可得∠OCD＝90°，根據外角的性質求得．13．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°【解析】【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據三角形內角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據三角形內角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據三角形外角性質得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進行等量代換可得到∠F=∠E．【詳解】解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了三角形外角性質．14．已知BM、CN分別是△的兩個外角的角平分線，、分別是和的角平分線，如圖①；、分別是和的三等分線（即，），如圖②；依此畫圖，、分別是和的n等分線（即，），，且為整數．（1）若，求的度數；（2）設，請用和n的代數式表示的大小，并寫出表示的過程；（3）當時，請直接寫出+與的數量關系．【答案】（1）；（2），過程見解析；（3）【解析】【詳解】（1）先根據三角形內角和定理求出，根據角平分線求出，再根據三角形內角和定理求出即可；（2）先根據三角形內角和定理求出+，根據n等分線求出，再根據三角形內角和定理得出，代入求出即可（3）試題分析：試題解析：（1），∵、分別是和的角平分線，∴∴.

（2）在△中，+，，（3）點睛：本題以三角形為載體，主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質、角平分線的性質、三角形的內角和是的性質，熟記性質然靈活運用有關性質來分析、推理、解答是解題的關鍵.【類型三內外角平分線模型】1．如圖∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于點E．（1）求∠E的度數；（2）請猜想∠A與∠E之間的數量關系，不用說明理由．【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質進行解答即可；（2）根據（1）中的推導過程進行推論即可．【詳解】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,∴∠A=2∠E，∵∠A=40°，∴∠E=20°.

（2）∠A=2∠E.理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,∴∠A=2∠E，【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握以上知識點是解本題的關鍵．2．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【解析】【分析】先根據角平分線的定義得到，，再根據三角形外角性質得，，則，利用等式的性質得到，然后把的度數代入計算即可．【詳解】解答：解：∵的平分線與的平分線交于點D，∴，，∵，即，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理和三角形外角性質、角平分線的性質等，根據三角形內角和是180°和三角形外角性質進行分析是解題關鍵．3．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠BAC的度數是____________．【答案】80°.【解析】【詳解】試題分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根據角平分線的定義可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到∠PCD=∠A，再代入數據計算即可得解．在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，∴∠P+∠PCB=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠PCB，∴∠PCD=∠A，∴∠BPC=40°，∴∠A=2×40°=80°，即∠BAC=80°．考點：三角形內角和定理．4．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定【答案】C【解析】【分析】由角平分線分別求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形內角和定理可求出∠D.【詳解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABC=m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=∠ACE=在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，∴∠D=故選C.【點睛】本題考查三角形中的角度計算，熟練運用三角形內角和定理是關鍵.5．如圖，在中，點D在邊BA的延長線上，∠ABC的平分線和∠DAC的平分線相交于點M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，則∠M的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】【分析】先由結合角平分線求解再利用角平分線與求解，利用三角形的內角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠BAC=80°，∴平分∠ABC=40°，平分，∴∠ABM=20°，∴∠M=故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形的內角和定理，鄰補角的定義，熟記定理和概念是解題的關鍵．6．如圖，已知為中的平分線，為的外角的平分線，與交于點．若∠ABD=20°，，則（

）A．70° B．90° C．80° D．100°【答案】B【解析】【分析】根據角平分線定義求出∠DCE、∠ACE、∠DBC，根據三角形外角性質求出∠A、∠D，即可求出答案．【詳解】解：∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于D，∠ABD=20°，∠ACD=55°，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°，∠ACD=∠DCE=∠ACE=50°，∴∠ABC=40°，∠ACE=100°，∴∠A=∠ACE-∠ABC=60°，∠D=∠DCE-∠DBC=50°-20°=30°，∴∠A+∠D=90°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，角平分線的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．7．如圖所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分線與∠ABC的外角平分線交于E點，則∠AEB=（

）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【解析】【分析】過點E作，，，利用角平分線性質結合三角形內角和即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，過點E作，，，∴BE，CE是角平分線，∴，．∴．∵，，∴是的角平分線．∵，∴，，∴，由三角形內角和可得：．故答案為：45．【點評】本題考查的知識點是角平分線性質，綜合利用角平分線的性質是解此題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2，?，∠A3BC與∠A3CD的平分線相交于點A4，得∠A4，則∠A4的度數為（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】A【解析】【分析】根據角平分線的定義，三角形的外角性質及三角形的內角和定理可知，，，依此類推可知的度數【詳解】解：與的平分線交于點，，，，同理可得，，．故選：A．【點睛】本題是找規(guī)律的題目，主要考查了三角形的外角性質及三角形的內角和定理，同時考查了角平分線的定義．解答的關鍵是掌握外角和內角的關系．9．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的鄰補角的平分線相交于點P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【答案】B【解析】【分析】利用四邊形內角和是可以求得．然后由角平分線的性質，鄰補角的定義求得的度數，所以根據的內角和定理求得的度數即可．【詳解】解：，，．又的角平分線與的外角平分線相交于點，，．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、多邊形的內角與外角．熟知“四邊形的內角和是”是解題的關鍵．10．如圖，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠DOC＝48°，則∠D＝_____°．【答案】42【解析】【分析】根據角平分線的定義和三角形的內角和定理即可得到結論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO＝∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°，∵∠DOC＝48°，∴∠D＝90°﹣48°＝42°，故答案為：42．【點睛】本題考查了角平分線和三角形內角和，解題關鍵是熟練運用相關性質進行計算求角．11．如圖，等腰中，頂角，點E，F是內角與外角三等分線的交點，連接EF，則_________．【答案】14【解析】【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根據三角形外角的性質可求∠ACD，再根據三等分線的定義與和差關系可求∠FBC和∠BCF，再根據三角形的內角和定理可求∠BFC．【詳解】解：∵等腰△ABC中，頂角∠A=42，∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69，∴∠ACD=111，∵點E，F是內角∠ABC與外角∠ACD三等分線的交點，∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74，∴∠BCF=143，∴∠BFC=180-23-143=14．故答案為：14．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及三角形外角的性質，解答此題的關鍵是找到角與角之間的關系．12．如圖，在△ABC中，∠A＝96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點A1，則∠A1＝__，若∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，則∠A2＝__，…，以此類推，則∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點An，則∠An的度數為__．【答案】

48°，

24°，

96°×【解析】【分析】利用角平分線的定義和三角形內角與外角的性質計算．【詳解】解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝96°，∴∠A1＝48°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝2×2∠A2＝96°，∴∠A2＝24°，∴∠A＝2n，∴．故答案為48°，24°，96°×．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的一半是解題的關鍵．13．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延長線與五邊形ABCDE外角平分線相交于點P，求∠P的度數【答案】∠P=25°．【解析】【分析】延長ED，BC相交于點G．由四邊形內角和可求∠G=50°，由三角形外角性質可求∠P度數．【詳解】解：延長ED，BC相交于點G．在四邊形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=（∠DCB-∠CDG）=∠G=×50°=25°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形角平分線性質，外角的性質，熟練運用外角的性質是本題的關鍵．14．如圖，∠XOY＝90°，點A，B分別在射線OX，OY上移動，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，試問∠ACB的大小是否發(fā)生變化，如果不變，求出∠C的度數．【答案】不變，45°【解析】【分析】根據角平分線的定義、三角形的內角和、外角性質求解．【詳解】解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC