多功能題典 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽-3

當(dāng)OWxWl時(shí)，則cosyWcos中.故

cosx+cosW1+cos孫?

當(dāng)OWyWl時(shí)，同理，cosx+cosyW1+cosxy.

當(dāng)x>l,且y>l時(shí)，假設(shè)原不等式不成立.則

cosx+cosy1+COSXF?①

由0W孫WW，則cos孫20.從而cosx+cosy>1,即

cosx>1-cos>1-cos1>0.45.

所以，x<arccos0.45<1.2.

同理，y<\.2.

于是，xy<\.22=1.44<3.故

1+cos孫>1+cos1.44>1.33>2cosl>cosx+cosy.

這與式①矛盾.從而，cosx+cosyW1+cos號(hào).

綜上，原不等式成立.

22.25***求實(shí)數(shù)。的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意色]恒有

2

(x+3+2sin^cos^)24-(x+asin-I-acos0)22g.

解析顯然原題即關(guān)于x的二次不等式

x2+(3+2sinecose+〃sine+4cose)x+,(3+2sin6cose)2+—(tzsin^+ncos0)20恒

2216

成立，故對(duì)0,-1，恒有判別式△W().即(3+2sin6cos6-asind-acose)'2w對(duì)

2

0e0,-恒成立.由此得對(duì)一切6e0,1F

2

3+2sin^cos^+-

a2-----------------------①

sin04-cos0

或

3+2sin9cos6-

aW-----------------------②

sin8+cos6

因?yàn)?°,1'所以

1Wsine+cose=A/^sin(0+；JW后.

由①有a>sin^4-cos^+—~-------------易知，當(dāng)1WXW&時(shí)，f(x)=x+2」為減函

2sin6+cos。2x

數(shù).從而,maxsine+cosOd---------------------=maxf(x]=l

Jo色Tl(2sin0+cos6)iwxwfi

由②有QWsing+cose+3.-；-------------.而sin8+cos8+3-----------------2J—=>/6,且當(dāng)

2sin8+cos。2sin0+cos0\2

sin9+cos6=時(shí)等號(hào)成立，從而得QWV6.

2

綜上可知4或4W指為所求.

2

2.2.26****對(duì)于固定的，￡(0,1)，求滿足以下兩條件的最小正數(shù)。：

...y/aJa

(1)------+------->1；

cos0sin。

(ii)存在xe1--,—,

sin。cos。

使得[(一%)sin6-Ja-x」cos?+xcos0-ijtz-(l-x)2sin2^Wa.

解析由(i)得相〉sEOcos".①

sin6+cos。

(ii)等價(jià)于：存在l^―,@]，滿足

sin。cos^J

2sin0cos/9(l-x)J―-----x2+xj-'-----(l-x)2Na.②

'7cos*Vsin20')

先證引理：設(shè)0<pvl,0<,<1,p+q>l,p?+q2.,

/(X)=(1-X)yjp2-X2+xj)2—(1一X)'(1—4WxW夕),則當(dāng)Jp?-'=yjq2-(j"時(shí),即

X=p2丁丁[…,同時(shí),“X)達(dá)到最大值.

由于1-gWxWp,可令x=psina,\-x=qsin/3,0<a<—,0<<—,0<a+[<兀.于

是'/(x)=pg(sin/cosa+sinacos夕)=pqsin(a+4).

而

cos(a+夕)=cosacos尸一sinasin0

\lp2~x~.yjg~—(1—X)—X(1—X)

pq

從而+/<n.同時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)=b_（一）2時(shí)，即

x=1(p2-q2+l)e[l-q,司時(shí)，cos(a+0達(dá)到最大值正日」WO.因?yàn)樵凇杆?，兀]上

22pq[_2J

正弦函數(shù)單調(diào)遞減，所以./?(力二夕"抽仁+尸)也當(dāng)且僅當(dāng)x=；(p2-/+l)時(shí)達(dá)到最大

值.引理得證.

由引理知，在〕■「+—時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)--d=、丘一-(「Xi，即

x=------^-+1K[1--,—I時(shí)，達(dá)到最大值

21cos“6sin20)sin。cos。

舟-熹+1)-

由②知，所求的最小的。是滿足下式且滿足①的最小的a：

2sin0cos/—g-----—f—：--------^+1］，a，

Vcos2041cos之。sin20)

即

(l-3sin2Seos28)/-2sin2Seos20a+sin4Seos,，W0.

解得

222

sin6cos20<aWsinOcos0

1+Jisin6cos。1一GsinOcos。

,,,丁sin2Geos?0sin2^cos20aaa

由于-----------r<——/=--------------，所rr以iu一r-+—^-=一二~~二;

(sin6+cos6)~1+V3sin^cos/9cos0sin-6>cos~^cos"6

l+GsinOcos。

因此，當(dāng)"=Si)ecos2g時(shí),滿足①，故此即為所求

1+13sinOcos6

評(píng)注上述解析有兩點(diǎn)值得注意：1.索要解決的問(wèn)題結(jié)構(gòu)復(fù)雜，轉(zhuǎn)而先證更一般的情況一

一引理；2.注意到sin(a+0與cos(a+』)在a+-1,n有相同單調(diào)性，從而通過(guò)求

cos(a+Q)的最大值來(lái)求sin(a+夕)的最大值.

22T1★★★設(shè)。、bA>8為已知實(shí)數(shù).已知/(e)=l-〃cos。一力sin。一力sin26-8sin2e

對(duì)于一切實(shí)數(shù)6,恒有/(6)20.證明：/+/W2,片+^W1.

解析因/(6)20對(duì)一切實(shí)數(shù)6成立，故

/⑻+/(兀+6)20,

即

/⑻+/(兀+6)=2-2/sin26>-28sin29=2-2"+爐cos(2<9-0)卻，

AR

其中e的值由cos°=/，sine=r=確定.因此,對(duì)一切實(shí)數(shù)6,不等式

y]A2+B2yJA2+B2

dA2+82cos(2。-。)W1成立.令6=',得A/T+8?W1.這就證明了+52<1.

如法炮制，我們來(lái)證明忘2.由

/⑻+名+可

=2-a(cos6-sin。)一“sin。+cos6)

=2-42acosfx+￡)-y/2bsinfx+:]

=2-y[2y/a2+h2cos(x+：—夕]20,

得\la2+b2cos|x+——(p|^V2,其中。由cos夕=/".，sinQ=—/〃確定.令

(4)y/a2+b2J/+/

x=(p——f得\la2+b2WV2,即/+〃W2.

4

22Wk*十十設(shè)g(e)=4cos，+>?2cos26+…+4,cos〃6，其中4，4，4，6均為

實(shí)數(shù).若對(duì)一切實(shí)數(shù)e,恒有g(shù)(e)2-1.求證:4+4+…

2/cjr””

解析令4=---，攵=0,1,2,???,n,則有Zcos〃?a=>^出〃⑸=0，

〃+14=0A=0

TH=1,2,?-?,n.①

i_im-2n

事實(shí)上，!>幽=-e0,于是①式成立.因此

4JZTI

1_e'”宣

g(o)+g(a)+g(w)+…+g(9)

二4(cos0+cos61+…+cos6〃)+4(cosO+cos2a+…+cos2Q)

+…+4(cos0+cos〃4+…+cos〃q)=0.

故由g(a)2-l,g(a)2T，…，g(e〃)2T得

4+4+…+4=g(o)

=-[g(a)+g(a)+…+g(o)]w〃.

2

2.2.29iAr*設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有cos(asinx)>sin(/?cosx),求證：a2+b2.

解析用反證法，設(shè)由于〃sinx+6cosx=J/+b?sin(x+*),其中9取為

僅依賴于。、6的固定實(shí)數(shù)，使得cos°=/"sin(p=..由于，片+人?烏,

\ia2+b2\Ja2+b22

從而存在實(shí)數(shù)小，使得J。？+從sin(Xo+9)=,,即asinx。+6cosXo=].由此可得

2

cos(asinx0)=sin(bcosx0),與假設(shè)矛盾!于是/+〃.

2.2.30**對(duì)任意實(shí)數(shù)0，求證：

5+8cos6+4cos26+cos3e，0.

解析5+8cos0+4cos20+cos30=5+8cos+4(2cos2，+l)+(4cos'6-3cos9)

=1+5cos0+8cos2/9+4cos30=l+cos9+4cose(l+cos6)~=(l+cos9)(2cos，+l)~20.

2.2.31**設(shè)0<av囚，0<y3<—,求證：一\—十——彳----——二29,并。、/?取

22cos~asin-asin-pcos"p

什么值時(shí)等號(hào)成立.

解析由于-丁」年24,當(dāng)且僅當(dāng)尸=殳時(shí)等號(hào)成立?由均值不等式可得

sin~/?cos"/?4

1114

------>-----1----------------------------------------1-—--

cos2asin2asin2[3cos2(icos2asin2a

=seca+4esc2a=5+tan2a+4cot2a25+2?tana?2cota=9.

當(dāng)且僅當(dāng)夕=二，(X-arctanV2時(shí)等號(hào)成立.

4

2.2.32★★★已知sin2/+sin28+sin2c=1,其中4、B、C都是銳角，試證：

工W4+8+CW兀.

2

解析由題設(shè)sin2A=1-sin25-sin2C=sin2fj-sin2C=sinfj-sinC

=cos(^+C)cos(^-C)?①

因?yàn)?和C都是銳角，故cos(8-C)>0,從而cos(8+C)20,即8+C也是銳角，因此

4+8+CWTC.又因?yàn)?,。是銳角，故有cos(8—C)2cos(8+C),即

sin24=cos(8+C)cos(8-C)2cos2(^+C)=sin2(5一臺(tái)一。).

由于4與B+C都是銳角，從而有Z2'-8—C,即Z+8+C，色.

22

評(píng)注等式①還可以用另外的方式得到：

sin2A=l-sin2B-sin2C=cos2B-sin2C=cos2B-sin2Ccos2B+sin2Ccos2B-sin2C

=cos25cos2C-sin2Csin2B=(cosBcosC-sinCsin5)(cos5cosC+sinCsin5)

=cos(5+C)cos(^-C).

2.2.23**設(shè)a、尸、y是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.求證:

解析不妨設(shè)aW尸Wy,由于a、4、/是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，易知

sinaWsin夕Wsiny.由排序不等式可得

sinasinPsin/sinasinpsiny

----1-----1----、--1-----1----,

aB丫pya

sinasin￡sin/々sinasinPsin/

----1-----1----、--1-----1----.

a(3yyap

兩不等式相加即得求證的不等式.

2.2.34***。、葭/是一個(gè)給定三角形的三個(gè)內(nèi)角.

求證：esc2—+esc2-+esc2—>12.并求等號(hào)成立的條件.

222

解析由算術(shù).幾何平均不等式，有

2

>aP2/、JaByV

esc—Fcsc2—+csc—33esc—?escJ?esc-.

222I22

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=Q=y時(shí)成立.

再由算術(shù)-幾何平均不等式及凸函數(shù)的性質(zhì)，有

).a.3.ya6y

Q“、彳sin—4-sin—+sin——+—+—,

222^-222.兀1

sin—sin--sin—W----------------Wsin———-———=sin—=—.

1223362

因此

2

CSC2—4-CSC2—+CSC2—3^sin—?sin—?sin—2=12.

222I22⑶

并且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=7時(shí)成立.

2.2.36****設(shè)Z、B、。是三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證：

-2<sin3^+sin3S+sin3C<-V3，并確定其中的等號(hào)何時(shí)成立.

2

解析不妨設(shè)/260。，則5+C=180°-J<120°，從而

0°^||S-C|<|(5+C)^180°.由此可得cos：(8-C)>cos：(8+C).

再由sinmlB+C)》。，得至I

2sinI(^+C)cos|(^-C)^2sin|(B+C)cos|(^+C),

叩sin38+sin3c2sin3(8+C).于是

sin34+sin38+sin3c2sin34+sin3(5+C)2-2.

3

為使sin34+sin38+sin3c=—2,必須滿足sin3/=—l,sin3(B+C)=—l,sin-(B+C)=O,

但是不可能的，從而sin34+sin35+sin3C>-2.

另一方面，由4260。可知

記a=g(8+C),則0°<aW180°,且

2

^=180°-(5+C)=180°-一(X.

3

于是

sin3/+sin38+sin3Csin(3x180°-2a)+2sina

=sin2a+2sina=2sina(1+cosa)=8sinycos3y

又由均值不等式可得

26

sin"J--3sin-cosa

2V32~2

3csm.2—a+cos2'—a+cos2—a+cos2—a

222230

~16~

所以sin34+sin35+sin3C百.從以上過(guò)程可知，當(dāng)且僅當(dāng)3sin2t=cos2區(qū),

222

cosj(S-C)=l,即/=140。，8=C=20。時(shí)，等號(hào)成立.

2.2.36**試證若兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等，則其余兩個(gè)角的正弦之和較大的三角

形，它的這兩個(gè)角之差較小.用所得結(jié)果確定：在什么三角形中，其角的正弦之和達(dá)到最大

值？

解析設(shè)a、/、？和優(yōu)、夕、/分別是兩個(gè)三角形的內(nèi)角，且。=優(yōu)，若

sin夕+sin/<sin/+sin/',①

則2sin-cos—<2sin+cos————.②

2222

因?yàn)閍=a',故夕+/=/+/,且

.尸+y.0'+y'

sm-~~-=sin-———>0,

22

所以不等式②等價(jià)于

cos—<cos^4③

22

從而有|夕-7|>|/-1|，這就證明了本題的第一部分.

若在某一個(gè)三角形中，至少有兩個(gè)角是不同的，設(shè)為萬(wàn)和了,則可以作一個(gè)新三角形，使得

其角的正弦之和比原來(lái)的三角形的正弦之和大.這只要根據(jù)前面所證明的，使新三角形的角

〃和原三角形的角a相等，而使夕和/的每一個(gè)更接近于幺產(chǎn)就行了.

因此，當(dāng)三角形是等邊三角形時(shí)，正弦之和達(dá)到最大值.

評(píng)注本題實(shí)際上是對(duì)“局部調(diào)整法”的一個(gè)具體直觀的解釋.

2237十十十x為一實(shí)數(shù)，0<x<兀，證明：對(duì)于所有的自然數(shù)〃

.sin3xsin5xsin(2z?-l)x小/士斗丁期

sinx+-------+--------+…+--------------的值為正數(shù).

352/7-1

初七人\sin3xsin5xsin(2w-l)x工〕

解析令〃x)=sinx+-------+--------+…+—--------二，利用

'/352/7-1

2sinxsin(2攵-1)x=cos(2k-2)x-cos2kx,

cos2nx

2n-1

如果等號(hào)成立。則有cos2fct=1(攵=1,2,…，〃)，但因0<%<兀，故cos2》Hl.于是得

/(x)sinx>0.又因sinx>0,所以/(x)>0.

評(píng)注在這里“裂項(xiàng)"將2sinxsin(2左-l)x表示成cos(2攵-2)x-cos2Ax是一個(gè)關(guān)鍵的動(dòng)

作，雖然“裂項(xiàng)”后不能做到前后項(xiàng)完全抵消，但卻給我們提供了按照cos2代伏tN)重新

組合項(xiàng)的機(jī)會(huì)，進(jìn)一步利用cos2H的有界性便達(dá)到證明的目的.

2.2.設(shè)女>10.證明：可以在式/(x)=cosxcos2xcos3x???cos2kx中，將一個(gè)cos

換為sin,使得所得到的工(x),對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都有

|/(x)|W備.

解析我們證明：用sin3x替換COS3X即可.

由于卜in3H=|3sinx-45抽3乂=|3-4$抽2“同11%區(qū)3卜出了|,那么，對(duì)于/(%)中將cos3x換為

sin3x后所得到的工(x),我們有

伉(x)|W3卜inx|-|cosx\'|cos2x\?|cos4x|-|cos8x|---|cos2kx|

3

二3卜inxcosxcos2xcos4xcos8x…cos2kx|=3-2~k~[|sin2A+1x|W.

2239十★★★設(shè)。、夕是實(shí)數(shù)，且cosawcos4，女是大于1的正整數(shù).求證:

coskpcosa-coskacosp

<公一1.

cos4一cosa

解析令x=y=；(a+g),則

coskpcosa-coskacosP二;[cos(七川+a)+cos(攵6一a)—cos(左a+/?)-cos(〃a-y0)]

=；[cos(〃4+a)-cos(左a+y5)]+-1^[cos(Z:/?-6r)-cos(to-^)]

2

=sin(A:-l)sin(^+l)y+sin(%+l)xsin(左一l)y

并且cos夕一cosa=2sinxsiny,從而

coscosa-coskacosJ31sin(Zr-l)xsin(左+l)y1sin(^+l)xsin(A-l)y

W---------------;-----4--------；-----

cos￡-cosa2sinxsiny2sinxsiny

由此可知只需再證：對(duì)任何〃￡N和實(shí)數(shù)〃有

|sinn/|??|siny|,①

且等號(hào)僅在〃=1或者siny=0時(shí)成立.事實(shí)上，不妨設(shè)〃>1,sinywO,從而|cosy|<l.當(dāng)

n=2時(shí)、|sin2/|=|2sin/cosy|<2|sin,即①式中嚴(yán)格不等號(hào)成立.

設(shè)①式對(duì)于〃=加22成立，當(dāng)〃=m+1時(shí),

|sin(m+1)?W|sinmycos卜+|sinycos加?<|sinmy\+|sin?<(〃?+l)|sin卜，

即①中的嚴(yán)格不等號(hào)對(duì)于〃二陽(yáng)+1也成立.這樣就完成了對(duì)于①式的歸納證明，且證明了只

當(dāng)〃=1或者siny=0時(shí)，①中的等號(hào)才能成立.

2.2.4()★★★★求證：對(duì)于每個(gè)自然數(shù)〃，不等式

|sin1|4-|sin2|+…+卜in(3〃-1)|+|sin3n\>-n成立.

5

解析令/(%)=卜inx|+Mn(x+l)|+卜in(x+2)],我們只需證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x有

由于/(X)是以兀為周期的周期函數(shù)，所以只需對(duì)于xw[0,兀]證明①成立.

當(dāng)OWxW兀一2時(shí)，f(x)=sinx+sin(x4-1)4-sin(x+2).由于IWx+l且1〈兀一(x+1),所

以sin(x+l)^sinl.又sinx4-sin(x4-2)=2sin(x4-1)cos1>sin(x4-1)sin1,從而

/(x)>2sinl.

當(dāng)7t-2<x^7t-l時(shí)，f(x)=sinx4-sin(x+1)-sin(x4-2).顯然sinxNsinl.由

sin(x+1)-sin(x+2)=-2sin^cosfx+-31j,以及i3i

7U--<X+-^7T+-,可得

2222

sin(x+l)-sin(x+2)22sin；cos；=sinl.

所以/'(x)22sinl.

當(dāng)兀一1VxW兀時(shí)，/(x)=sinx+sin(x+l)-sin(x+2).因?yàn)樨?1<X+2WTC+2,所以

-sin(x+2)>sinl.又

sinx-sin(x+1)=-2sin—cos|x+~|以及兀x<兀+1,從而

'，2I222

sinx-sin(x+1)22sin；cos；=sinl.

于是/'(x)>2sinl.

這就證明了對(duì)任何實(shí)數(shù)x有/(x)Z2sin1.又sin1>sin54=笥叵>[,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x有

①式成立.

2.2.41^^^^設(shè)/(x)=qsinx+a?sin2x+…+a〃sin〃x,其中4，%，…，。〃是實(shí)數(shù)，〃

是正整數(shù).

如果對(duì)所有實(shí)數(shù)x有|/(x)|Wbinx|,求證：

\a]+2a2+…+叫|W1.

解析令析=同+同+…+|%].對(duì)于正整數(shù)N1W左W”），由于lim=電也=左,所以任

iosinx

給￡>0,存在實(shí)數(shù)x,使sinxHO,^EL-k<—,k=l,2,〃.由此可得

sinxM

〃x)_￡%sinkxsinAx-\a^Y^-tSinkX

12=_Ekk

sinxsinxk=lJt=lsinx4=14=1sinx

hl

由￡的任意性可知所求讓的不等式成立.

評(píng)注由于極限lim包在的存在性，我們由極限定義可以得到一個(gè)與之等價(jià)的不等式：

1。sinx

對(duì)于任給的￡>0,存在xeR,使里"一片<￡（sin*O）.而這正是后面證明的關(guān)鍵工具.

sinxMv

2.2.設(shè)〃、機(jī)都是正整數(shù)，并且〃>w.證明：

對(duì)一切xe（0,5），都有

2sin"x-cos"xW3sin"x-cos"x.

解析一只需對(duì)0<工<四進(jìn)行證明(當(dāng)x=色時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，可通過(guò)

4442

令y=—x得到).當(dāng)％22時(shí)，有

cos*x-sin"x=(cos"x-sin*x)(cos2x+sin2x)

=(cosA+2x-sin/+2x)+sin2x-cos2x(cos^-1x-sin*-2%)

A+2

2cosx-sin"*?x.①

因此，不等式對(duì)〃=〃?+2的情形成立(除了〃=3).此外，當(dāng)〃時(shí)，還有

cosnx-sinnxvcosAx-sinAx②

cosx-sinxcosx-sinx

事實(shí)上，將上式去分母，即化為顯然的不等式

sin*-1x-cosA-1x(cos/,-Ax-sin"”,xj(cosx-sinx)N0,所以為證不等式，只需對(duì)〃=3,tn=1

和〃=2,加=1的情形加以證明.

由于cosx,sinx=』sin2xwL,則

22

cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(l+cosx?sinx)Wg(cosx?sinx),

ifncosx+sinx=V2sinlx+—71W3,故

42

~2?2x)(cosx+sinx)W■|(cosx-sin

cosx-sinx=(cosx-sinx).

評(píng)注利用①及②遞推即可證明當(dāng)〃,m(除〃=3,〃=1和加=2,〃=1兩種情形外)時(shí),

原不等式成立.

解析僅對(duì)0<x<；證明不等式.考察函數(shù)/(y)=cos，'x-sin>x,其中

歹20.顯然〃0)=0；當(dāng)y>0時(shí)，/(田>0;當(dāng)y->8時(shí)，/(田70.并且

/'(?)=cos'xIncosx-sin'xlnsinx=cos"x(lncosx-tanv%?Insinx)?

由于g(y)=tan。單調(diào)，所以廣3=0在區(qū)間y>0中有唯一實(shí)根.由

/(2)=/(2)(cos2x+sin2x)=/(4),知/'⑵>0,/(4)<0,從而知在心血23時(shí)，有不

等式即晨-血”不性即\-5加”耳成立.如果〃V2,則利用如下不等式可得所證:

/(1)W(cosx-sinx)(cos+sinx)=/(2)WV2/(l),

3

/(2)W(cosx-sinx)(l+cosx-sinx)=/(3)^-/(l)

2.2.43^^^設(shè)a、力、c是周長(zhǎng)不超過(guò)27r的三角形的三條邊長(zhǎng).證明：長(zhǎng)為sinQSsinh>

sine的三條線段可構(gòu)成三角形.

解析一由已知條件易知0<〃n,h,c<n,故sin。、sinA>sine都是正數(shù)，且

|cosa|<1,|cos/?|<1,|cosc|<1.①

不妨設(shè)sin〃〈sinbWsinc,若〃二色，貝ljb=c=￥,結(jié)論顯然成立.

22

以下設(shè)色.我們分兩種情形討論：

2

(1)設(shè)a+b+c=2兀,則(利用①)

sinc=sin(2兀-Q-6)=-sin(Q+6)Wsina-|cos/?|+sinb?|cosa\<sinQ+sinb.

(2)設(shè)a+b+c<2兀.由于〃、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，故存在一個(gè)三面角使得〃、b、

c分別為其面角.如圖，OR、OP、。0不在一平面上，OQ=OP=OR=\,,NQOP=b,

ZPOR=c.過(guò)。作平面尸OH的垂線，垂足為H；過(guò)“作OH的垂線，垂足為G.設(shè)

7T

ZQOH=<p,AHOR=0,貝ij0<夕(]，0W6W27t.由勾股定理，得

sina=QG=>JOH2+GH2=廊79+cos2夕sin20

=7sin20+sin2^>cos202|sin0\.②

類似地有

sinb=^sin2(c-^)+sin2(pcos2(^-c)2|sin(c-^)|.③

我們斷言,②和③中的等號(hào)不能同時(shí)成立.若不然，由sin29Ho得cos。=cos(c-9),故0=]

或型，c-6=±巴或-3兀，這與0<c<兀相違.因此，由②、③得

222

sina+sin>|sin0\+|sin(c-^)|>|sin(^+c-^)|=sinc.

解析二這里的a、6、c無(wú)非就是一些滿足特定約束條件的角，“看法”一變，解答就變

得異常簡(jiǎn)單.

由已知條件易知0<a,b,c<n,故sina、sin6、sine都是正數(shù).此外，我們有

a+b+cTt

及<-----------W-.

42

“a-bc_

從而cos------>cos—>0，及

22

.a+b.c_.a+b-ca+b+c、八

sin--------sin—=2sin-----------cos-----------30.

2244

因此

.,C.a+ba-b

sina+sin/?=2sin------cos------->2sin—cos—=sinc.

2222

同理，sina+sinc>sin6,sin/74-sinc>sina.故命題得證.

2.2.44****設(shè)S，i=l,2,3,4.

證明：存在xeR,使得如下兩個(gè)不等式

cos24cos22-(sinsin耳-20，①

222②

cos4cos4-(sin03sin-x)20

同時(shí)成立的充要條件是

4/44、

2③

^sin0iW21+PJsin^+^[cos^

/=l\z=li=l)

解析顯然，①和②分別等價(jià)于

sinqsing-cos6、cos%WxWsinqsin%+cos^cosg，④

sin耳sin4-cos耳cosgWxWsinqsing+cos63cos仇，⑤

不難知道，存在XER,使得④和⑤同時(shí)成立的充分必要條件是

sin4sin&4-cos^cos02-sinsing+cos"cos420,⑥

sinasing+coscosg-sinsin%+cos^cos%》⑦

另一方面，利用sin2a=1-cos?a,可將式③化為

222222

cosacos02+2cos4cosacos巧cos名+cosqcosa-sinasin02

22

+2sinqsin02sinsing-sin6、sing20,

2

即(cos。]cos凡+cos63cos一(sinqsin%-sin^3sin^4)20,

亦即

(sinqsin24-cos0Xcos%-sinftsin^+cos^cos04)-

(sinsin4-coscos-sin^sin02+cos0xcos0.⑧

當(dāng)存在xwR,使得④和⑤同時(shí)成立時(shí)，由⑥和⑦立即可以推出⑧，從而有式③成立.

反之，當(dāng)式③，亦即式⑧成立時(shí)，如果⑥和⑦不成立，那么就有

sinasin名+coscos%-sin03sing+cos"cosa<0,

sinsin+cos"cosg-sin0}sinft,+cos^cos62<。?

兩式相加，得2(cosqcosa+cosacosa)<0,此與可€(-；，|1,/=1,2,3,4的事實(shí)相

矛盾，所以必有⑥和⑦同時(shí)成立，因此存在xeR使得④和⑤同時(shí)成立.

2.2,45**在8c中，^—+—=2,且△/BC的周長(zhǎng)為12.求其面積的最大

sin5sin4

可能值.

解析由已知得

sinA(cos4一sin3)+sin5(cosS-sin/t)=0,

即

sin力[sin(90°-A)-sin8]+sin8[sin(90°—8)—sin4]

=2疝90°一”一8sin,,cos450-^+sin6?cos(45。+

2

=2sin90°二"二J也x

cos^y^.(sin/+sin8)+sin?(sinJ-sin5)=0.

22

fA—B,.\A—B/.r24—B.4+B

InJcos--——(sinZ+sin8)+sin---(sinZ-sin8)=2cos---sin---+

A+B.2B、n

2cos--------sin-------->0,

22

ano_j_p

故sin--------------=0.所以90。-4一/8=0,ZJ+ZB=90°,即△ABC為直角三角形.

設(shè)力、B、C分別對(duì)應(yīng)的邊為。、b、c,依題意得a+C+J〃2+從=12.因

12=a+b+y/a2+h22yfab4-\jlah,故abW36(2—夜).所以

i2

S=QmW18(2-夜=36(3-2夜)，即￡ax=36(3-2a).

2.2.設(shè)xNyNz，？，_&x+y+z=—.

122

求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值.

解析為能應(yīng)用已知條件，要對(duì)乘積積化和差.由已知條件得

x=?一('+2)<］一(限+噎)=1,sin(x-y)20,sin(y-z)20.于是，

cosxsinycosz=~cosx[sin(y+z)+sin(y-z)]N；cosxsin(y+z)=1COS2X>-!-COSe2_兀

22138

且當(dāng)x=W,y=z=］時(shí)等號(hào)成立.所以cosxsinycosz的最小值為

gcosz[sin(x+y)-sin(x-y)]W；cosz?sin(x+y)=121271

又cosxsinycosz=—cosz—cosn

2212

二+cos[=2.且當(dāng)犬=?=/，z=]時(shí)等號(hào)成立，所以cosxsinycosz的最大值

2+6

8

22.47十★已知銳角a、/?滿足

sin(3=mcos(a+4)邛出](〃?>0,a+尸w.

若x=tana,y=tan夕，

(1)求>=/(%)的表達(dá)式；

(2)在(1)下，當(dāng)ae:,微卜寸，求函數(shù)y的最大值.

解析(1)由

sinQ=?7cos(a+/7)?sina(機(jī)>0,a+^

有

sin[(a+夕)-a]=mcos(a+⑶sina,

即

sin(a+/?)-cosa=(7w+l)cos(a+4)sina.

因?yàn)椤啊?為銳角，且&+/?片5,所以，

tan(a+/)=(〃?+1)tana.

所以

tan〃=tan[(a+/)-a]=—"’嗎。,—,故尸=―mx.

LV'Jl+(m+l)tan2crl+(m+l)x2

(2)由(l)知

v-吧-=____1___行力).

=14-(W?+1)X21+(1+〃

mxym)

令〃(x)=」-+'"+1x,設(shè)lWX]Ww，則有〃(須)一廿(工2)='―—F(/w+l)XjX2—1"|<0,即

L

mxmmx{x2」

“芭)<〃(々).這說(shuō)明〃(x)=’+'里X在[L+8)上單調(diào)遞增.故/⑴="一.

mxmmax加+2

2.2.48***設(shè)函數(shù)

f(x)=|cosx+acos2x+/?cos3x|,

其中a、4是實(shí)數(shù)，求：M=minmax/(x).

a-fix

出+0

22

》；a、1

max/(x)直+4+—2-立+4/_且+0

22222222

7I22

于是得到

MW①

8S-8S31=138s「cosr

另一方面，令a=0,/?=--有/(x)=.易知

66I|23

其中g(shù)(y)='|y_|/.而

max/(x)=_maxi|g(>，)|=maxg(j，),

V3

g(y)-g

2247

所以當(dāng)OWyW,時(shí)，由貫+等39可得g(y)_g曰卜0；

44

當(dāng)且WyWl時(shí)，由/+可得g(y)-g(等)WO.于是得到

2

ix/(x)=maxg(^)=g—=百

uspsiz2

由此可得

..<73

M￡——②

2

綜合①和②可知陽(yáng)=也

2

2.2.49^^^給定〃cN與。e[0,〃],在條件為sin?茗=。的條件下，求￡sin2x,的最大值.

解析由于2$淪2茗=。，所以

一“

2

cos2xz(1-2sinx^=n-2a.

/=1/=!

考慮平面上〃個(gè)單位向量(cos2%sin2xt.),z=1,2,…，n.它們的和的長(zhǎng)度不超過(guò)〃，即

(jcos2xj+(\sin2xjn2.

于是

^sin2xyWJ/-(〃-2Q)2=26(〃-a).

r=I

另一方面，若取

則Jsin2x,.=￡-=?,fsin2x,=年弧…)=.

?=!<=ln?=li=\n

因此，所求的最大值是2"a).

2.2.函數(shù)F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Jx+在OWxW二兀上的最大

值M與參數(shù)/、8有關(guān).問(wèn)4、8取什么值時(shí)M