北京市東城區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月一模試題 數(shù)學(xué) 含答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京東城高三一模數(shù)學(xué)2024.4本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（A） （B）（C）（D）（2）已知，，且，則（A）（B）（C）（D）（3）已知雙曲線的離心率為2，則=（A）（B）（C）（D）（4）設(shè)函數(shù)，有（A）（B）（C）（D）（5）已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為，則函數(shù)的圖象（A）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（B）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（C）關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（D）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（6）已知，若，則的取值可以為（A）（B）（C）（D）（7）《天工開(kāi)物》是我國(guó)明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書(shū)中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級(jí)計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為20cm，高20cm.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為2cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級(jí)共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（A）（B）（C）（D）（8）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是的中點(diǎn)，為的中心.現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2.設(shè)直線與平面的夾角為，則的最大值為 圖1圖2 （B） （C） （D）（10）已知是定義在R上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（A）若在R上單調(diào)遞增，則存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)遞增（B）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增（C）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則存在實(shí)數(shù)，使得（D）若函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則為的最小值第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若復(fù)數(shù)，則___________.（12）設(shè)向量，且，則___________.（13）已知角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則的一組取值可以是=，=.（14）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____；拋物線的焦點(diǎn)為，若直線分別與，交于，兩點(diǎn)，且，則_____.（15）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿(mǎn)足，其中常數(shù).給出下列四個(gè)判斷：①若，，則；②若，則；③若，，則；④，存在實(shí)數(shù)，使得.其中所有正確判斷的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(16)（本小題13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，為邊的中點(diǎn)，且，求的值. (17)（本小題13分）某中學(xué)為了解本校高二年級(jí)學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測(cè)試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測(cè)試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）若該校高二年級(jí)有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分鐘及以上的人數(shù)；（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;（Ⅲ）若某班有10名學(xué)生參加測(cè)試，他們的閱讀速度如下：506,516,553,592,617,632,667,693,723,776,從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)為Y,試判斷數(shù)學(xué)期望與(Ⅱ)中的的大小.(結(jié)論不要求證明)(18)（本小題14分）如圖，在五面體中，底面為正方形，，.（Ⅰ）求證：∥；（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（19）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)的最小值；（=3\*ROMANIII）若，求實(shí)數(shù)的值.（20）（本小題15分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率.（=1\*ROMANI）求橢圓的方程；（=2\*ROMANII）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線是圓的一條切線，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若平行四邊形的頂點(diǎn)恰好在橢圓上，求平行四邊形的面積.（21）（本小題15分）有窮數(shù)列中，令 ，當(dāng)時(shí)規(guī)定.（Ⅰ）已知數(shù)列，寫(xiě)出所有的有序數(shù)對(duì)，且，使得；（Ⅱ）已知整數(shù)列,為偶數(shù).若滿(mǎn)足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列滿(mǎn)足，定義集合.若且為非空集合，求證：.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A（5）C（6）A （7）B （8）A （9）C（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）(答案不唯一)（14），2（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得.所以.因?yàn)?，所以，從而?又因?yàn)椋?，所以，可?5分（Ⅱ）在中，，，.由正弦定理得，所以，.所以.在中，由余弦定理得.所以.13分（17）（共13分）解:（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得，100人的樣本中閱讀速度達(dá)到620字/分鐘及以上的頻率為，估計(jì)該校高二學(xué)生閱讀速度達(dá)到620字/分鐘及以上的頻率為0.4,故人數(shù)的估計(jì)值為1500×0.4=600人.4分（Ⅱ）從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則此人閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的概率為.又的可能取值為，由題意可得，則，，，.所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望為.10分（Ⅲ）.13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问钦叫危?又，所以.又平面平面，，所以.6分（Ⅱ）選取條件=1\*GB3①:.取的中點(diǎn)，的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所?又，且，所以.又因?yàn)?所以.又且，所以.又,所以.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，所以，，.設(shè)平面的法向量，則即令，則.于是.設(shè)直線與平面所成角為，則．所以與平面所成角的正弦值為.14分選取條件=2\*GB3②:.在中，，，,于是，.因?yàn)?，于是，，所?又，且，所以.取的中點(diǎn)，取的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),連接，如圖建系,下同條件①，可得與平面所成角的正弦值為.14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）.曲線在處的切線的斜率.又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為．曲線在處的切線方程為.5分（Ⅱ）設(shè),.當(dāng)變化時(shí)，和的變化如下表：（1，2）2（2，+∞）0+↘極小值↗當(dāng)時(shí)，.10分（Ⅲ）若，則，不合題意；若，設(shè)，由（II）知，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以符合題意.綜上所述.15分（20）（共15分）解：（=1\*ROMANI）由已知可得，解得，所以橢圓的方程為.5分（=2\*ROMANII）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由直線與圓相切得，化簡(jiǎn)得.設(shè)，則，，，.因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，即，解得，，.此時(shí)弦長(zhǎng)，因?yàn)榈街本€的距離,所以平行四邊形的面積.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線，則，所以不在橢圓上,不合題意.15分(21)（共15分）解：（Ⅰ）4分（Ⅱ）由已知得與異號(hào)，其中.由于.因此.而,,所以.令.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，時(shí)，有.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，取，時(shí)，.綜上，的最小值為.