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浙江省金華市名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓方程為,則該橢圓的焦距為()A.1 B.2C. D.2.已知,,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.C. D.23.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.12 B.18C.21 D.274.直線的傾斜角為A. B.C. D.5.4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有()A.24種 B.81種C.64種 D.256種6.如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是()A. B.C. D.7.為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用,促進(jìn)教育的均衡發(fā)展,共享優(yōu)質(zhì)教育資源.現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到,,三所薄弱學(xué)校支教,開展送教下鄉(xiāng)活動(dòng),每所學(xué)校至少分派一人,其中教師甲不能到學(xué)校,則不同分派方案的種數(shù)是()A.150 B.136C.124 D.1008.拋物線C:的焦點(diǎn)為F,P,R為C上位于F右側(cè)的兩點(diǎn),若存在點(diǎn)Q使四邊形PFRQ為正方形,則()A. B.C. D.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列,則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是()A. B.C. D.10.已知雙曲線右頂點(diǎn)為,以為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A.2 B.C. D.11.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若,點(diǎn)P到直線l的距離不小于,則橢圓C離心率的取值范圍為()A. B.C. D.12.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,將數(shù)列按如下方式排列成新數(shù)列:,,,,,,,,,…,,….則新數(shù)列的前70項(xiàng)和為______14.已知命題:方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓;命題:方程表示雙曲線.若為真,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15.若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長(zhǎng)為,則圓的半徑為______.16.已知雙曲線:,,是其左右焦點(diǎn).圓:,點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列中,,前5項(xiàng)的和為,數(shù)列滿足,(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)若在上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),(),.(1)若直線與函數(shù),的圖象都相切,求a的值;(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)(a是常數(shù)).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)若,求a的取值范圍.21.(12分)已知等比數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的前8項(xiàng)和;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積.22.(10分)已知:,有,:方程表示經(jīng)過(guò)第二、三象限的拋物線,.(1)若是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若“”是假命題,“”是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系,結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知:,則焦距為,故選:B.2、D【解析】由,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】解:因,,所以,因?yàn)椋?,即,解得,故選:D.3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為具有的性質(zhì),即成等差數(shù)列,由此列出等式,求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和,且,,所以成等差數(shù)列,所以,即,解得=18,故選:B.4、B【解析】分析出直線與軸垂直,據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知,直線與軸垂直,該直線的傾斜角為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角,關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義,屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇,故不同的報(bào)名方法有種.故選:D6、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖,沒有實(shí)對(duì)角線,正視圖實(shí)對(duì)角線的方向,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到答案.【詳解】側(cè)視時(shí),看到一個(gè)矩形且不能有實(shí)對(duì)角線,故A,D排除而正視時(shí),有半個(gè)平面是沒有的,所以應(yīng)該有一條實(shí)對(duì)角線,且其對(duì)角線位置應(yīng)從左上角畫到右下角,故C排除.故選:B.7、D【解析】對(duì)甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí),有種;當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí),有種;當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí),有種;所以共有28+48+24=100種.故選:D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:排列組合常用方法有:簡(jiǎn)單問(wèn)題直接法、小數(shù)問(wèn)題列舉法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類法、等概率問(wèn)題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8、A【解析】不妨設(shè),不妨設(shè),則,利用拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示,設(shè),不妨設(shè),則,由拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)可得,解得(正數(shù)舍去),所以故選:A9、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是,即,顯然,且是常數(shù),是等比數(shù)列,若中一個(gè)為1,則,則不是等比數(shù)列,只要,,都不可能是等比數(shù)列,如,,故選:A10、B【解析】,得出到漸近線的距離為,由此可得的關(guān)系,從而求得離心率【詳解】因?yàn)?,而,所以是等邊三角形,到直線的距離為,又,漸近線方程取,即,所以,化簡(jiǎn)得故選:B11、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,由題可得,由點(diǎn)P到直線l的距離不小于可得,進(jìn)而可求的范圍,即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,P為短軸的上端點(diǎn),連接,如圖所示:由橢圓的對(duì)稱性可知,A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則,又,∴四邊形為平行四邊形,∴,又,解得:,點(diǎn)P到直線l距離:,解得:,即,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查橢圓離心率的求解,解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出,再根據(jù)已知條件得出.12、B【解析】由題意可知且,構(gòu)造函數(shù),可得出,由函數(shù)的單調(diào)性可得出,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,可得出關(guān)于的不等式,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?,則且,由已知可得,構(gòu)造函數(shù),其中,,所以,函數(shù)為上的增函數(shù),由已知,所以,,可得,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,則,所以,,解得.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##2.9375【解析】先根據(jù)題干條件得到,再利用錯(cuò)位相減法求前64項(xiàng)和,最后求出前70項(xiàng)和.【詳解】①,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),②,①-②得:,即又滿足,所以由,得令,則,兩式相減得,則所以新數(shù)列的前70項(xiàng)和為故答案為:14、【解析】既然為真,那么就是為真,即p是假,并且q是真,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?!驹斀狻俊邽檎?,∴p為假,q為真;考慮p為真的情況:解得……①;由于p為假,∴或;由于q為真,∴,即……②;由①和②得:;故答案為:.15、【解析】利用垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為,則,得.故答案為:.16、##【解析】利用雙曲線定義,將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題,然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知,,,,圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知∴∴.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】(1)利用等差數(shù)列求和公式可得,進(jìn)而可得,再利用累加法可求,即得;(2)由題可得,然后利用分組求和法即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為d,由題設(shè)可得,解得,所以;當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),(滿足上述的),所以【小問(wèn)2詳解】∵當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜上所述:18、(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)有極小值,無(wú)極大值(2)【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后由極值的定義求解即可;(2)分和兩種情況分析求解,當(dāng)時(shí),不等式變形為在,上有解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求解的最小值,即可得到答案【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值,無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?,所以在上有解,?dāng)時(shí),不等式成立,此時(shí),當(dāng)時(shí)在上有解,令,則由(1)知時(shí),即,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,所以,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題的策略為:通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍19、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(2)利用常變量分離法,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),由方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為,由,所以過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率為,因此該切線方程為:,因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切,所以,因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切,且函數(shù)過(guò)原點(diǎn),所以曲線的切點(diǎn)為,于是有,即;【小問(wèn)2詳解】由可得:,當(dāng)時(shí),顯然不成立,當(dāng)時(shí),由,設(shè)函數(shù),,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為,而,當(dāng)時(shí),,函數(shù)圖象如下圖所示:方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象,在當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由圖象可知:,故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:利用常變量分離法,結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.20、(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,極小值是,無(wú)極大值.(2)【解析】(1)由當(dāng),得到,求導(dǎo),再由,求解;(2)將,轉(zhuǎn)化為成立,令,求其最大值即可.【小問(wèn)1詳解】解:當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以時(shí),取得極小值是,無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?,即成?設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,即.21、(1)(2)【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由,求出公比,然后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得答案.(2)先得出通項(xiàng)公式,然后可得,由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合由等差數(shù)列前項(xiàng)和
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