衍生品定價原理

金融工程簡介

隨機過程,隨機微分,隨機積分方程,馬科夫過程

多元統(tǒng)計分析

投資組合分析(市場有效性,CAPM,APT)

風險(市場,信用,操作等)衍生品定價金融市場簡單介紹金融市場(投資,投機)

外匯市場（AUD/USD,EUR/USD,JPY/USD,GBP/USD,USD/CHF,NZD/USD,CAD/USD等幾十種貨幣，以及交叉貨幣EUR/AUD,GBP/AUD等）

現(xiàn)貨市場

衍生品(期貨,期權,其他衍生證券)期貨市場：金融期貨（指數(shù),國債），商品期貨(原油，黃金，農(nóng)產(chǎn)品等,利率期貨，外貨期貨）期權市場:指數(shù)期權，利率期權，外匯期權等其他:Swap(互換),ExoticOptions(奇異,新型),Caps等亞洲市場中國大陸

權證

股票

期貨(商品,指數(shù),國債)香港

全面(股指期貨,期權,窩輪,人民幣等)金融市場每日成交量外匯市場

超過５萬億(最大市場）黃金，股票，期貨，期權市場，國內(nèi)股票最大，是其他市場幾十倍我國商品期貨成交量全球第一(主力品種每日超百萬手)保證金(Margin),孖展,按金帳戶

杠桿

通常每一份期權合約賦予購買和出售１整手股票(100股的

權利,所報的期權價格則是買賣１股股票的期權費

商品期貨,商品期權

金融期貨，期權

滬深300指數(shù)期貨

橫生指數(shù)產(chǎn)品

(期貨,期權),認沽證也叫窩輪或股本權證(Warrant)屬于證券產(chǎn)

品,不能賣空交易術語

市價單(marketorder)

限價單(limitorder)

止損單(stop

lossorder)

多空(買賣buysell,長短longshort,認購認沽)

市場流動性職業(yè)前景高收入,高壓力(心理)投行GECapital,CitiGroup,MorganStanley,JPMorgan,Goldman

Sachs,MerrillLynch,SalomonBrothers(屬于citi)銀行(金融市場,外匯等)證券,期貨公司自營(財務自由)投資策略價值投資

投機

趨勢

擺動

價差

套利交易方式長期短期日內(nèi)高頻阿爾法交易套利(跨期,跨品種,跨市),對時間敏感價差交易投資黃金定律紀律規(guī)則概率風險管理(頭寸規(guī)模)心理投資的態(tài)度孫子兵法

合于利而動,不合于利而止

“安國全軍”指導思想為最高境界

戰(zhàn)爭必須以最小代價換取最大利益------

交易必須以最小風險換取最大收益投資交易五大前提道,天,地,將,法

合道:投資是否合乎道理

天時：交易時段，漲跌周期，入市時機，時間架

構（周，

日，時，分）

地利：交易平臺，商品特性，行情趨勢，行情趨勢，入市

價位，停損距離

人和：投資人，經(jīng)紀人，分析師，交易導師教練，交易

心理五德-----智，信，仁，勇，嚴

得法：交易計劃，交易策略，交易紀律致富方程式投資本金（人賺錢）合理報酬(武功招式）必須長期穩(wěn)定（內(nèi)功心法）時間的醞釀(耐心，信心，積功累德）復利的效果（錢賺錢，因變果）致富方程式：

＝本金Ｘ（１＋長期穩(wěn)定合理報酬)^時間的次方香港交易所例香港交易所例2)股票期貨合約買賣單位等於一手正股股數(shù)

號數(shù)股票

編號正股名稱HKATS

代號合約買賣單位

(股數(shù))期權類別持倉限額

(合約張數(shù))11長江實業(yè)(集團)有限公司CKH1,000150,00022中電控股有限公司CLP500150,00033香港中華煤氣有限公司HKG1,000250,00044九龍倉集團有限公司W(wǎng)HL1,000150,00055匯豐控股有限公司HKB400150,00066電能實業(yè)有限公司HEH500150,000711恒生銀行有限公司HSB100250,000812恒基兆業(yè)地產(chǎn)有限公司HLD1,000150,000913和記黃埔有限公司HWL1,000150,0001016新鴻基地產(chǎn)發(fā)展有限公司SHK1,000150,0002)股票期權的合約買賣單位等於一手正股股數(shù)

看跌期權最大值(上限)(圖3-7)歐式:期權執(zhí)行價格的現(xiàn)值

美式:期權的執(zhí)行價格(由于可以在任意時刻執(zhí)行)看跌期權最小值(下限)(圖3-6)期權價格不能為負,因此,對歐(美)式都有由于美式期權可以在任意時刻執(zhí)行看跌期權最小值(下限)歐式期權考慮組合

A由一單位標的資產(chǎn)

B由一份價格為的看跌期權空頭和一面值為X,現(xiàn)值為的無風險債券組成(或現(xiàn)金)

看跌期權最小值(下限)歐式期權

組合A的收益總部小于組合B的收益,因此

由于價格不能為負,所以看跌期權最小值(下限)兩種期權下限比較

由于

所以美式看跌期權最小值大于歐式看跌期權最小值

看跌期權最大最小值(上下限)到期期限的影響歐式,美式都沒有時間價值到期日不同到期日( 假設)

在第一份期權到期時,還有時間價值到期期限的影響兩份到期日分別為歐式期權股票價格在時刻價格為,在時刻,一份價值為:期限較長的期權還有

時間才能到期,其價格最小值為但長期期權具有較長時間價值,且時間價值可以彌補內(nèi)在價值的差額,所以無法判斷哪種期權價值更大

執(zhí)行價格的影響假設執(zhí)行價格考慮1.到期值

2.到期值3.到期值

所以對歐式，美式都成立到期日執(zhí)行價格的影響對期權費的影響考慮和現(xiàn)金(美式)

和

現(xiàn)金(歐式）

1.到期值

2.到期值 3.到期值 4. 到期值(美式）

5 到期值 (歐式)

所以,在0時刻平價公式(Put-CallParity)(歐式)(2).平價公式(Put-CallParity)(歐式)平價公式(Put-CallParity)(歐式)(2).平價公式(Put-CallParity)(歐式)平價公式(Put-CallParity)(美式)歐式平價公式(Put-CallParity)對美式期權不一定成立其中美式看跌期權提前執(zhí)行

對于看漲期權，如果不分發(fā)紅利，可以不必提前執(zhí)行，此時美式歐式看漲期權價格應當一致.但對看跌期權不同

如果公司面臨倒閉,該公司股票價格可能為0,可能提前執(zhí)行期權

股市分紅

分紅后股票價格可能會降低,因此執(zhí)行可能性降低，如果

紅利足夠大，此時美式看跌期權和歐式看跌期權一樣，可

能不會提前執(zhí)行

利率和股價波動率的影響利率

從下限值公式看出：利率越小，下限值越大，執(zhí)行價格貼現(xiàn)值越大，利率越高，貼現(xiàn)越小，執(zhí)行產(chǎn)生利潤越低股票波動率

波動率越大，期權獲利概率越大，所以期權價格也越高

期權二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹原理(BinominalTreeOptionPricing) Cox-Ross-Rubinstein(CRR)模型

將期權的有效期分為很多很小的時間間隔(例如1天),并假設在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能: 1.從開始的S上升到原來的u倍，價格為uS 2.從開始的S下降到原來的d倍，價格為dS

相應地，期權價格也會有所不同，我們考慮看漲歐式期權,

現(xiàn)在假設期權還有一天到期,在到期日

期權到期時價格為和期權二叉樹定價理論(CRR)

例子：假設股票即期價格為50美元，股票價格可能上漲10%或下降8%,因此u=1+0.1=1.1,d=1-0.08=0.92.期權到期時，股票價格為50*1.1=55或50*0.92=46.一個執(zhí)行價格為X的以股票為標的資產(chǎn)的歐式看漲期權即期價格為C.當期權到期時，期權的價格為或在到期日，

期權二叉樹定價理論(CRR)

假設無風險利率為.無風險利率應該小于股票上漲率，大于股票下跌率，即。此不等式限制了套利交易.(為什么?)如或會有什么樣的套利機會？假設以相同無風險利率借入或貸出資金.

我們考慮一組合，包括h股股票和一份看漲期權的賣出權組成，用V表示組合的價值,則在0時刻：

期權到期時，如果股票上漲，組合價值為

如果股票下跌，組合價值為

如果股票上漲組合的價值等于股票下跌組合的價值，稱該組合為無風險投資組合期權二叉樹定價理論(CRR)

在時刻1，有：

如果為無風險投資組合，則,即

得出：

稱h為套期保值比率(hedgeratio)又稱,該組合為套期保值組合。期權二叉樹定價理論(CRR)

已知S,u,d,X,我們可以求出,和h.

因為無風險頭資應獲得無風險利潤，所以組合最終價值應該等于組合現(xiàn)值在相應時間內(nèi)投資于無風險資產(chǎn)后的價值。如果兩者不等，說明存在套利機會(為什么?)。

到期日，應該有：

將代入上式(推導）,

得：其中期權二叉樹定價理論(CRR)

上式中不涉及股票上漲，下跌的概率。P為風險中性

概率(riskneutralprobability)。

舉例：

股票即期價格為100美元，一期過后，股票或以25%的上漲率升至125美元，或以20%的下跌率降至80美元?？礉q期權執(zhí)行價格為100美元，無風險利率為7%.計算

S=100,d=0.8,u=1.25,X=100,r=0.07

期權二叉樹定價理論(CRR)

利用求出的h值構造一套期保值組合，并計算

假設組合由1000份看漲期權組成. uS=125 S=100 dS=80

期權二叉樹定價理論(CRR)

高價期權

如果期權定價過高(例如15),無風險套期保值組合將帶來超過無風險利率的無風險收益.投資者可以以無風險利率借入資金投入套期組合獲得更高收益(看現(xiàn)金流)

低價期權

如果期權定價過低(例如13),投資者可以構造期權的多頭和股票空頭.組合收益小于無風險利率,可以將借來投資的資金投資無風險債券(看現(xiàn)金流)

期權二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹模型中風險溢價及上升下跌概率

模型不需要股票價格波動概率

如果知道波動概率會如何?

假設：S=100,u=1.25,d=0.8,r=0.07.

上升概率為0.7,下降概率為0.3.

股票預測價格為:125*0.7+80*0.3=111.5. 11.5即11.5%為股票投資回報率,

11.5%-7%=4.5%為投

資股票的風險溢價

我們計算預測期權價格：0.7*25+0.3*0=17.5,

期權折現(xiàn)值：17.5/1.115=15.7

這樣原先價格為14.02的期權，我們可以用15.7價格賣出期權二叉樹定價理論(CRR)

二叉樹模型中風險溢價及上升下跌概率

期權的匯報率為:17.5/14.02-1=0.248

接近于股票的兩倍.

無風險組合收益率公式：

股票回報率：看漲期權回報率:

其中,期權二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合初始價值為hS-C以無風險利率增長，在時刻1時價值為:

將,代入上式得：

由于我們知道上升下降的概率，假設上升概率為q

則期權的期望收益為:

將代入后得：期權二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹:

將時期擴展為兩期,時刻0，時刻1，和時刻2(到期日)

期權二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹

到期日(時刻2),期權的價格為:

第一期末(時刻1),期權的價格為:

在時刻0,期權的理論價格為:期權二叉樹定價理論(CRR)

兩期期權套期保值比率

每一期，上下，比率都在變化,隨著股票價格的變化調整組合頭寸規(guī)模以實現(xiàn)無風險利率期權二叉樹定價理論(CRR)

兩期二叉樹舉例:

到期日期權價格：時刻1期權價格:期權價格：(看出長期期權價格通常大于相同條件下短期價格）期權二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合舉例:

假設由1000份看漲期權空頭，0時刻

需要以100美元價格購買701股股票.0時刻凈投資為:

V=100*701-1000*17.69=52,410

下面分步討論(假設期權為歐式)：(1).股票上漲至125,(2).股票下跌至80,(3).從125上漲至156.25(4).從125跌至100,(5).從80漲至100，(6).從80跌至64

期權二叉樹定價理論(CRR)

套期保值組合舉例:

期權二叉樹定價理論(CRR)

(1).股票上漲至125,

投資組合由52410到56085,由于，需要買入299股股票或買入299份期權，由于期權成本低，所以需要借入299*31.54=9430美元完成組合.

(2).股票下跌至80,

組合凈值由52410到56080,由于,我們不需要再持有股票，需要賣出所有701股股票，得到701*80=56080美元，然后投資于無風險債券.

(3).從125上漲至156.25

價格為156.25股票701股，價值為56.25的看漲期權701份,還有前期借來的 9430*1.07美元需要償還，凈值為701*156.25-701*56.25-9430*1.07=60010(4).從125跌至100,

資產(chǎn)凈值為701*100-701*0-9430*1.07=60010(5).從80漲至100，

資產(chǎn)凈值為0*100-701*0+56080*1.07=60006

(6).從80跌至64

同上

期權二叉樹定價理論(CRR)---補充衍生品定價的幾種方法

1.博弈論方法(一般公式):

構造組合初始值:

上升時:

下降時:

令

得:因為該投資組合無風險:(I)

期權二叉樹定價理論(CRR)---補充衍生品定價的幾種方法

2.資產(chǎn)組合復制:

引入利率為r的無風險資產(chǎn)(比如債券),

假設債券初始值為1美元.

構造組合:a單位股票和b單位債券

組合初始值:

上升時:

下降時:

令

得:期權二叉樹定價理論(CRR)---補充

將代入令,則 (II)3.概率方法(前面已經(jīng)講過)期權二叉樹定價理論(CRR)

期權價格偏離(假設0時刻期權價格過高)

兩期模型的整體收益率為，因此如果兩期中有一期

收益率超過無風險利率，則總收益也超過無風險利率.考慮1期末2期開始期權價格的狀態(tài)(2期末必定回歸理論價值）(1).價格依舊高于理論價格

第一期收益率不能確定，但第二期會超過無風險利率(通過賣出期權)

二期末期權價格應為理論價值,總體收益超過無風險利率(2).價格等于理論價格

第一期收益率超過無風險利率，第二期等于無風險利率，總體超過

無風險利率(3).價格低于理論價格

第一期收益率超過無風險利率，第一期末重新構造組合，買入期權賣出股票，將得到超過無風險利率的收益，整體還是超過無風險利率期權二叉樹定價理論(CRR)

看跌期權定價

套期保值組合舉例:

期權二叉樹定價理論(CRR)

(1).股票上漲至125,

由于,賣出所有股票,然后投入到無風險債券(2).股票下跌至80,

由于,我們需要借入現(xiàn)金再購買701股價格為80美元的股票，相當于701*80=56080美元利率為7%的貸款(3).從125上漲至156.25

只有7%無風險債券收益(4).從125跌至100,

同上(5).從80漲至100，

圖示,收益率為無風險收益,1000*100-1000*80-1000*13.46=6540

收益為6540/93460=7%

(6).從80跌至64

初始資金299*80+1000*13.46=37380,

收益(39994-37380)/37380=2614/39994=7%期權二叉樹定價理論(CRR)

美式期權提前執(zhí)行

在每個結點,如果期權處于實值狀態(tài),可以考慮提前執(zhí)行該看跌期權.考慮前面的例子:在時刻1,當價格升到125時,期權處于虛值狀態(tài),我們不會考慮提前執(zhí)行.當價格下降到80時:

根據(jù)前面的計算,歐式看跌期權價值為13.46,且期權處于實值狀態(tài).能否執(zhí)行該期權,我們還要看,

如果X-S>P,則不需執(zhí)行,否則可以執(zhí)行.即如果

則選擇執(zhí)行期權.該結點相應的期權價格應為X-S.

期權二叉樹定價理論(CRR)

美式看跌期權提前執(zhí)行

套期保值組合舉例:

作業(yè):構造美式看跌期權套期保值組合期權二叉樹定價理論(CRR)

紅利的影響

將紅利加入模型,如果紅利,除息后股票將下降.

如果除息前看漲期權內(nèi)在價值大于二叉樹模型算出的價格,應當執(zhí)行期權.舉例: 看漲期權,紅利10%,0時刻股票價格為100,股票在1時刻漲到 125或跌倒80,1時刻分紅.分紅后股價跌至112.5或72.則

在時刻2,股票價格將為: 112.5*1.25=140.625, 112.5*0.8=90=72*1.25 72*0.8=57.6如果時刻2為到期日,則到期日看漲期權的價格:

期權二叉樹定價理論(CRR)

紅利的影響

此時,期權價格小于不分紅利的期權價格17.69.如果期權是美式的又會如何?期權二叉樹定價理論(CRR)

紅利對美式期權的影響

在時刻1,股票價格漲到125,期權處于實值且內(nèi)在價值為25>22.78,所以可以提前執(zhí)行,此時也可以先將股價減去紅利貼現(xiàn)值作為,在時刻1收益為(練習)

注:此種方法和上面的結果有些偏差(P91-P92).因為n太小.對歐式期權偏差要小些期權二叉樹定價理論(CRR)

重合與不重合二叉樹

如果紅利是12,不是12.5會怎樣?

期權二叉樹定價理論(CRR)

重合與不重合二叉樹

上升下降后結點重合稱為結點重合二叉樹,否則稱為結點不重合二叉樹

對于n期重合二叉樹最終又n+1個結點,不重合二叉樹第n期最多有個結點,因為會產(chǎn)生種不同的路徑.

期權二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

在不分發(fā)紅利的前提下,假設ud=1(保證結點重合),期權價格為:(演示)注意:股票上升下降概率值不是二叉樹的變量.風險中性

概率p是以無風險利率計算得來的

舉例:

n=3,股票路徑為:

期權二叉樹定價理論(CRR)

舉例:

n=3,

X=100,美式看跌期權

期權二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

將股票波動率(標準差)考慮在內(nèi):

如果將T分成n份,則每小時間段無風險利率為:

例如:看漲期權執(zhí)行價格為125,股票價格為125.94,期權還有35天到期,無風險利率為4.56%則:

期權二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

當n增大時,

C值逐漸收斂真實值期權二叉樹定價理論(CRR)

n期二叉樹

調整上漲下跌參數(shù),不調整無風險利率計算方法,

隨著n的增大,

p趨于0.5,ud趨于1,且不要求ud=1,但計算結果接近.

二叉樹的優(yōu)點:與股票走勢概率無關,輕松應對美式期權定價,構造套期保值組合期權定價理論(Black-Scholes模型)

背景: 19世紀蘇格蘭科學家布朗發(fā)現(xiàn)花粉在水中運動---布朗運動

20世紀早期,愛因斯坦研究相對論運用布朗運動原理解釋分子運動

奠基理論:維納過程(WienerProcess),伊藤引理(Ito’