查補重難點07 圓的相關計算與證明（原卷版）

查補重難點07.圓的相關計算與證明考點一：圓的基本概念與性質1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?.圓心角、弧、弦的關系（定理）：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓等式中才成立．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．3．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．圓周角定理的推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．2）直徑所對的圓周角是直角．3）圓內接四邊形的對角互補．題型1.垂徑定理及其運用1.如圖，可得①AB過圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y：垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應靈活運用該定理。2.關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形．例1.（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，、、是上的點，，若，，則（

）A． B． C． D．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，是的內接三角形，若，，則的半徑長為(

)A．4 B． C．2 D．1變式3．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

題型2.圓心角、弧、弦的關系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等。運用這些相等關系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉化。例1.（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內接，平分，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在中，弦相交于點E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．

題型3.圓周角定理的運用1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰保?）當已知圓的直徑時，常構造直徑所對的圓周角；3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化。比如圓心角與圓周角間的轉化；同弧或等弧的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等。例1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，點，，在圓上，，的半徑的長為，則劣弧的長是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預測）如圖，已知四邊形內接于，，、的延長線相交于點E，連接．若，則（

）A． B． C． D．變式2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內接三角形．若，，則的直徑．

題型4.圓的內角四邊形性質：（1）圓內接四邊形對角互補；（2）圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°。例1（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．變式1．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形內接于，它的3個外角，，的度數(shù)之比為，則．變式2．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，點A、B、C在上，P為上任意一點，，則等于（

）

A． B． C． D．考點二：與圓有關的位置關系1.切線的性質：（1）切線與圓只有一個公共點；（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。2.切線的判定（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線（數(shù)量關系法）；（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。3.切線長定理：圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。4.三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。5.三角形內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條邊角分線的交點，叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。題型1.點（直線）與圓的位置關系掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關系，可以確定該點與圓的位置關系。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）在同一平面內，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8變式1．（2024·江蘇常州·模擬預測）已知直線l與⊙O相交，圓心O到直線l的距離為6，則⊙O的半徑可能為（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時與邊的延長線、射線相切，的半徑為3．將繞點按順時針方向旋轉，、的對應點分別為、，在旋轉的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型2.切線的性質.利用切線的性質解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質來解決問題。例1.（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點．連接，過點的切線與的延長線交于點．若，則°．

變式1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則°．變式2.（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°題型3.切線的判定切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．

變式1．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C、D兩點．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若的半徑為3，求的長．

變式2．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求的長．題型4.內切圓與外接圓（1）三角形內切圓半徑：，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長；（2）直角三角形內切圓半徑：，其中a，b為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。（3）切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解。例1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內接三角形．若，，則的半徑是．考點三：與圓有關的計算設⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：或．（3）圓錐側面積公式：S圓錐側=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）題型1.正多邊形與圓的相關計算正多邊形的常用公式（Rn為正多邊形外接圓的半徑）邊長：；周長：；邊心距：；面積：；內角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長、半徑、邊心距的關系：。例1.（2024·江蘇無錫·一模）魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”，用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積．如圖所示的圓的內接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個圓的內接正十二邊形的面積為（

）A．1 B． C．3 D．4變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）半徑為的圓內接正五邊形一邊所對劣弧的長為．題型2.圓錐的相關計算圓錐的相關公式難以記憶，建議牢記圓錐與側面展開圖的圖形形式，并理解側面展開圖與扇形之間的關系。相關公式在解題過程中進行推導。例1.（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（

）．

A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形．若母線長l為，扇形的圓心角為，則圓錐的底面圓的半徑r為．

變式2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π題型3.不規(guī)則圖形的相關計算求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：割補法、等積變換法、圖形變換法等。例1.（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形內接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．20變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，正方形的邊長為1，對角線，相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為．題型4.圓的相關證明與計算綜合在解決圓的相關證明與計算綜合問題中，經(jīng)常用到的重要性質及技法：①運用圓是軸對稱圖形也是中心對稱圖形可以對相關結論作合理的猜測；②利用垂徑定理，通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，運用勾股定理或銳角三角函數(shù)進行計算；③在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對等量關系，可以轉化相等關系；④由直徑所對的圓周角是直角構造直角三角形；⑤相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理是計算線段長度及其線段數(shù)量關系的重要手段。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形沿對角線翻折，的對應點為點，以矩形的頂點為圓心、為半徑畫圓，與相切于點，延長交于點，連接交于點．(1)求證：．(2)當，時，求的長．

變式1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，是的直徑，與交于點F，弦平分，點E在上，連接、，________．求證：________．從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．

變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．題型5.圓與尺規(guī)作圖的相關運算例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標明相應的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點M是上的一個定點．

(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的劣弧與所圍成圖形的面積是____．變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．課后訓練1．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形內接于，是的直徑，點E在上，且，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，如圖，是的直徑，是的弦，過點的切線交的延長線于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術”給出的弧長的近似值計算公式：．當，時，則的值為（）

A． B． C． D．4．（2024·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為O，A，由線段及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（）①在M處放置2臺該型號的燈光裝置；②在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置；③在P處放置2臺該型號的燈光裝置．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，等邊三角形的邊長為4，的半徑為，P為邊上一動點，過點P作的切線，切點為Q，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．6．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，將沿弦折疊，交直徑于點，若，，則的長是（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．8．（2023·南通·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上．若，則度．

9．（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是．

10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若圓錐的底面圓半徑為，側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則這個圓錐的母線長是．11．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，將扇形翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點C，若，則的長為．12．（2023·江蘇泰州·中考真題）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為里．

13．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐母線，底面半徑，則其側面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)為．

14．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則．（結果保留根號）

15．（2023·江蘇·中考真題）在四邊形中，為內部的任一條射線（不等于），點關于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是．

16．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，