2025屆東莞東華高級中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆東莞東華高級中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.2．設滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.163．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.104．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知圓，圓相交于P，Q兩點，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.6．兩個圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含7．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8．在平面區(qū)域內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.9．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點，則的值是（）A. B.C. D.10．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.11．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則實數(shù)________________14．設數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項=________.15．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準線交于點P.若，，則____________.16．已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.19．（12分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性.21．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點且.現(xiàn)將沿著折起，使點D到達點P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設動點M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說明理由.22．（10分）某企業(yè)為響應“安全生產(chǎn)”號召，將全部生產(chǎn)設備按設備安全系數(shù)分為A，兩個等級，其中等設備安全系數(shù)低于A等設備.企業(yè)定時對生產(chǎn)設備進行檢修，并將部分等設備更新成A等設備.據(jù)統(tǒng)計，2020年底該企業(yè)A等設備量已占全體設備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預計今后每年將16%的等設備更新成A等設備，與此同時，4%的A等設備由于設備老化將降級成等設備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例能否超過80%？請說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題2、C【解析】可行域如圖,則直線過點A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.3、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計算作答【詳解】因為，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D4、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C5、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A6、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】設，則，分析可得為偶函數(shù)且，求出的導數(shù)，分析可得在上為減函數(shù)，進而分析可得上，，在上，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得上，，在上，，又由即，則有或，據(jù)此分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，設，則，若奇函數(shù)，則，則有，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，則，，又由當時，，則在上為減函數(shù)，又由，則在上，，在上，，又由為偶函數(shù)，則在上，，在上，，即，則有或，故或，即不等式的解集為；故選：D8、A【解析】根據(jù)題意作出圖形，進而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.9、B【解析】根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點，因為，且所以，故選：B10、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A11、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B12、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數(shù)為，由，當時，，方程無解；當時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，利用向量的數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14、①.5②.【解析】設，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當時，，，解得，設，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為，所以，即，所以，當時，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：；.15、【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：16、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，，使得，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，D(3,6,0),A(0,6,0)設平面的一個法向量所以n?PD令，可得記點到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為設二面角的平面角為由圖可知，18、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，19、（1）；（2）原點在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進而可求拋物線的焦點，即求；（2）設直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理法可得，即得.【小問1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】由題可設直線l的方程為，由，得，設，則，又，故，∴，∴，即，故原點在以線段AB為直徑的圓上.20、（1）（2）詳見解析.【解析】（1）由，求導，得到，寫出切線方程；（2）求導，再分，，討論求解.【小問1詳解】解：因為，所以，則，所以，所以曲線在點處的切線方程是，即；【小問2詳解】因為，所以，當時，成立，則在上遞減；當時，令，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增；綜上：當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增；21、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長度及勾股定理求證即可；（2）動點M滿足時和，但時兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當動點M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當時，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時平面；當時，此時，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當動點M滿足時，平面；當動點M滿足，但時，與平面相交.22、（1）A等設備量不可能超過生產(chǎn)設備總量的80%，理由見解析；（2）在2025年底實現(xiàn)A等設備量超過生產(chǎn)設備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表