2023-2024學(xué)年上海市閔行八校高三3＋1期末質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年上海市閔行八校高三3＋1期末質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．2．若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．73．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．154．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知集合,則（）A． B． C． D．7．設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件8．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．9．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．10．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．11．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．6312．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，、的坐標(biāo)分別為，，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍為__________.14．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_______.15．函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____．16．已知集合，，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）己知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值.19．（12分）已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設(shè)的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.21．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)22．（10分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

先化簡的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問題，屬于基礎(chǔ)題3．C【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．4．D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分．5．C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.6．B【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7．D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且，在上即可.【詳解】A：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；B：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，，在上，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，錯誤；D：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號零點(diǎn)，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于簡單題目.9．B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡不存在．10．A【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．11．B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識.12．D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，，又，，因?yàn)?，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，有一定的綜合性，但難度不大.14．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn)，即，則，由此可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.15．1.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．16．【解析】

由于，，則．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范圍，判斷，為正，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為在時恒成立,得到，，在恒成立，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，由，得，即，或，即，或，即，綜上：或，所以不等式的解集為.（2），，因?yàn)?，，所以，又，，，?不等式恒成立，即在時恒成立，不等式恒成立必須，，解得.所以，解得，結(jié)合，所以，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題.屬于中檔題.18．（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)得，由，且，得到，再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)，令，易知；，易知當(dāng)時，，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，由零點(diǎn)存在定理得，使得，，使得，有從而得證.【詳解】（1）依題意，，因?yàn)?，且，故，故函?shù)在上單調(diào)遞減，故.（2）依題意，，令，則；而，可知當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，故，使得，故，使得，即函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；故當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有極小值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于難題.19．（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題意，則，，，，解得.由余弦定理得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算，涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對值三角不等式求得的最小值，利用分析法，結(jié)合基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集為.（2），，因?yàn)?，，所以要證，只需證，即證，因?yàn)?，所以只要證，即證，即證，因?yàn)?，所以只需證，因?yàn)?，所以成立，所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查分析法證明不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.21．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點(diǎn)、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.22．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對函數(shù)進(jìn)行求