19.8.2 直角三角形性質(zhì) 同步練習(xí)

19.8.2直角三角形性質(zhì)【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）．A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.2．（2019·上海市毓秀學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在RtΔABC中，AD是斜邊BC上的高，∠B=30°，那么線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系為（

）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD為高，若BD＝2cm，則AD等于（

）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.4．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE二、填空題6．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝___．7．（2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的底角等于_____度．8．（2020·上海市浦東模范中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂線，∠A＝30°，AM＝10cm，則CM＝___cm．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．10．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長(zhǎng)為__．三、解答題11．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC邊上求作一點(diǎn)N，使得AN＝BN；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，求證：CN＝2BN．12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，平分，，，在上取一點(diǎn)，連接，使，．(1)求證：PC//OB；(2)求∠CPO的度數(shù)．【能力提升】一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，則下列各式中正確的是（

）A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=102．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2，且，則∠CBD是（

）A．5° B．10° C．15° D．45°二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的底邊上的中線等于腰長(zhǎng)的一半，則它的頂角為__________．4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為24cm，則這個(gè)三角形的面積為____________．5．（2021·上海市西南模范中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠B＝90°，∠BCD＝60°，CD＝5．將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到梯形，其中B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、、，當(dāng)點(diǎn)落在邊CD上時(shí)，點(diǎn)恰好落在CD的延長(zhǎng)線上，那么的長(zhǎng)為______．6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分線，點(diǎn)E在直線AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）在△ABC中，，△ABC的面積為3，過點(diǎn)A作AD⊥AB交邊BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，．那么y與x之間的函數(shù)解析式_________________.（不寫函數(shù)定義域）．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，如果，則________．三、解答題11．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）12．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求證：DE=DF．

19.8.2直角三角形性質(zhì)（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）．A．6米； B．9米； C．12米； D．15米.【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意BC=3米，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2×3=6米，∴BC+AB=3+6=9（米）．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2019·上海市毓秀學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在RtΔABC中，AD是斜邊BC上的高，∠B=30°，那么線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系為（

）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD【答案】C【分析】先設(shè)CD=a，由于∠B=30°，∠BAC=90°，易求∠C=60°，而AD是高，從而可求∠CAD=30°，利用30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，可得AC=2a，在Rt△ABC中，再利用30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半可得BC=2AC=4a，則BD=BC-CD=3a，從而可求BD、CD之間的關(guān)系．【詳解】解：設(shè)CD=a，∵∠B=30°，∠BAC=90°，∴∠C=60°，BC=2AC，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=30°，∴AC=2a，∴BC=4a，∴BD=BC-CD=3a，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、含有30°角的直角三角形．解題的關(guān)鍵是求出BC．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD為高，若BD＝2cm，則AD等于（

）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm.【答案】C【分析】在Rt△CDB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得CB的長(zhǎng)，再在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)，即可求得AD的長(zhǎng)【詳解】如圖，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4(cm)，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8(cm)，∴AD=AB-BD=6(cm)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A錯(cuò)誤，符合題意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正確，不符合題意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正確，不符合題意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝___．【答案】4【分析】作EG⊥OA于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠EFG＝30°，利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題．【詳解】解：作EG⊥OA于G，如圖所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證出∠EFG＝30°是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的底角等于_____度．【答案】30【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形求出∠B，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠C即可．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，熟悉掌握含角的直角三角形中，角所對(duì)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2020·上海市浦東模范中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知在ABC中，∠C＝90°，MN是AB的中垂線，∠A＝30°，AM＝10cm，則CM＝___cm．【答案】5【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】如圖，連接MN是AB的中垂線，∠A＝30°，AM＝10cm，∠C＝90°故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．【答案】6【分析】根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，列式計(jì)算即可．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，設(shè)AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm，∴CD=(9-x)cm，∴（9-x）：x=1:2即：x=6，∴AD=6．故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，則下底BC的長(zhǎng)為__．【答案】7【分析】分別過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，分別利用解直角三角形的知識(shí)得出BE、CF的長(zhǎng)，繼而可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝60°，∴BE＝2，同理可得CF＝2，故BC的長(zhǎng)＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解答本題的關(guān)鍵是求出BE及CF的長(zhǎng)度，要求我們熟練記憶等腰梯形的幾個(gè)性質(zhì)．三、解答題11．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC邊上求作一點(diǎn)N，使得AN＝BN；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，求證：CN＝2BN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）作線段AB的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出∠C的度數(shù)，再計(jì)算出∠CAN的度數(shù)，然后根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得CN＝2AN，進(jìn)而得到CN＝2BN．【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；（2）證明：連接AN．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．∵AN＝BN，∴∠BAN=∠B＝30°∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．∵∠C＝30°，∴CN＝2AN．∴CN＝2BN．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，平分，，，在上取一點(diǎn)，連接，使，．(1)求證：PC//OB；(2)求∠CPO的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，可得，再由平分，可得，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由PC//OB，可得，即可求解．（1）證明：，，平分，，，∴PC//OB；（2）解：平分，，，，，，，，，∵PC//OB，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，則下列各式中正確的是（

）A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=10【答案】C【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°，易證得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4．Rt△ABD中，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，可求得BD=2AD=8，由此可求得BC的長(zhǎng)，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，即可一一判斷．【詳解】∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，故C選項(xiàng)正確；∴AB=，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∴BC=BD+DC=8+4=12，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，求出BD和CD的長(zhǎng)度是解決問題的關(guān)鍵．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2，且，則∠CBD是（

）A．5° B．10° C．15° D．45°【答案】C【分析】先依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可計(jì)算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得∠ABD=30°，即可求解．【詳解】∵的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2，∴∠A=180°=90°，∴∠ABC=45°，在Rt△ABD中，，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用按比例分配的方法確定出三角形的類別是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的底邊上的中線等于腰長(zhǎng)的一半，則它的頂角為__________．【答案】120°【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)可求得等腰三角形的底角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得其頂角的度數(shù)．【詳解】如圖：△ABC中，BD=DC，∴∠ADB=90°，∵在Rt△ABD中，AD=AB，∴∠B=30°，∵AB=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=120°．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為24cm，則這個(gè)三角形的面積為____________．【答案】144cm2【分析】過C點(diǎn)作AB邊的高，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，利用等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出CD的長(zhǎng)，然后利用三角形面積公式即可得出答案．【詳解】設(shè)△ABC的頂角為∠BAC，如圖，過C點(diǎn)作AB邊的高，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠B=∠BCA=15°，∴∠DAC=∠B+∠BCA=30°，在Rt△ACD中，CD=AC=12(cm)，∴S△ABC=AB?CD=×24×12=144(cm2)，故答案為：144cm2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解得此題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造含30度角的直角三角形．5．（2021·上海市西南模范中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠B＝90°，∠BCD＝60°，CD＝5．將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到梯形，其中B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、、，當(dāng)點(diǎn)落在邊CD上時(shí)，點(diǎn)恰好落在CD的延長(zhǎng)線上，那么的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】如圖，可知，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，有，可知是斜邊的中線，根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，∵∠BCD＝60°，且在DC延長(zhǎng)線上，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴是等邊三角形，∴∴∴∵DC＝5，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分線，點(diǎn)E在直線AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.【答案】127.5°或7.5°【分析】過D作DF⊥AB于F，根據(jù)直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，∠ADF=67.5°，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，∴DEF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；綜上述：∠ADE=7.5°或127.5°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是遇到角平分線作垂線段．7．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，，△ABC的面積為3，過點(diǎn)A作AD⊥AB交邊BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，．那么y與x之間的函數(shù)解析式_________________.（不寫函數(shù)定義域）．【答案】【分析】取BD中點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)A作，垂足為H．根據(jù)△ABC的面積計(jì)算出，再根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，推導(dǎo)，同時(shí)由，可知，借助“30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半”可知，進(jìn)而得到，然后整理即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式．【詳解】解：取BD中點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)A作，垂足為H，根據(jù)題意，，即，解得，∵在中，AD⊥AB，E為BD中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，即有，整理得．∴y與x之間的函數(shù)解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積的求解方法、直角三角形中斜邊上的中線性質(zhì)、30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半等知識(shí)，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握三角形面積的求解方法．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．【答案】60°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得答案．【詳解】∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，∴BC=AC，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A=30°，∴∠C=90°-∠A=60°．故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．【答案】60°【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求得∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=2BC推出∠A=30°，從而得出∠B的度數(shù)．【詳解】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A+∠B=∠C，∴∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，在Rt△ACB中，∵AB=2BC，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，取線段BE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，如果，則________．【答案】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得DF=BE，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC=AE，從而得出，即可得出答案．【詳解】證明：如圖，連接CE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中點(diǎn)，∴DF=BE，Rt△ACE中，∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故