山東省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年度上學(xué)高三10月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試本試卷4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式進(jìn)行判斷即可．由得，是的必要不充分條件，，故選：B．2.已知向量，，，若與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】由平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.因?yàn)?，，，所以，由與平行，得，解得.故選：C.3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到，再結(jié)合條件，求得，即可求解.設(shè)，則，又，得到，所以，，所以，或，，得到，所以，故選：B．4.已知事件A，B滿(mǎn)足，則（）A.若B?A，則 B.若A與B互斥，則C.若A與B相互獨(dú)立，則 D.若，則C與B相互對(duì)立【答案】B【解析】【分析】選項(xiàng)A：利用事件關(guān)系結(jié)合概率求解即可.選項(xiàng)B：利用概率的加法公式，求解即可，選項(xiàng)C：若A與B相互獨(dú)立，則A與相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件的公式求解即可.選項(xiàng)D:利用對(duì)立事件求解即可.選項(xiàng)A：若B?A，則選項(xiàng)B：若A與B互斥，則.故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：若A與B相互獨(dú)立，則A與相互獨(dú)立,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D:若，則由于不確定C與B是否互斥，所以無(wú)法確定兩事件是否對(duì)立,故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用取倒法證得是等差數(shù)列，進(jìn)而求得，從而得解.因?yàn)椋?，易知，所以，即，又，所以，故是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，故，所以.故選：A.6.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)即可求解.圓，其圓心為，半徑為．因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，所以圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)閳A心距為，所以，解得．故選：B7.已知函數(shù)的最小正周期為，則在的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)的最小正周期為，求出的值，再結(jié)合給定范圍求最值即可.因?yàn)榈淖钚≌芷跒樗缘淖钚≌芷?，即得，所以，，所以，?dāng)時(shí)，取的最小值0，所以在上的最小值為.故選：C.8.已知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由同構(gòu)的思想可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，即有兩解，分離變量求導(dǎo)即可解：由題意可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，等價(jià)于有兩個(gè)解，令，原式等價(jià)于有兩個(gè)解，即有兩個(gè)大于零的解.解，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，hx圖像如圖：所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時(shí)，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個(gè)函數(shù)看成自變量不同時(shí)的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量有交點(diǎn)求解.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A，對(duì)條件進(jìn)行變形得，從而得到，再利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，直接利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解；選項(xiàng)D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解.對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，解不等式得，即，得到的最大值為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，所以選項(xiàng)D正確，故選：AD.10.已知拋物線(xiàn)，過(guò)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.或D.線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】由直線(xiàn)，可知焦點(diǎn)F1,0，得的值和拋物線(xiàn)方程，可判斷A選項(xiàng)；直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)和的值，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式判斷選項(xiàng)BCD.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)作直線(xiàn)，可知F1,0，則，得，A選項(xiàng)正確；拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)方程，得.設(shè)Ax1,y1，B，得，解得或，，則或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確；，，B選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，半圓面平面，點(diǎn)為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形B.三棱錐的體積最大值為C.當(dāng)時(shí)，異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為D.當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角最大時(shí)，平面截四棱錐外接球的截面面積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，使用空間中直線(xiàn)、平面垂直有關(guān)定理證明；對(duì)于B，三棱錐底面積固定，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，可通過(guò)計(jì)算進(jìn)行判斷；對(duì)于C，找到與和所成異面直線(xiàn)夾角，再由余弦定理代入計(jì)算，即可判斷；對(duì)于D，首先利用空間向量解決與平面所成角最大時(shí)點(diǎn)的位置，再用的外接圓解決平面的截面圓面積的計(jì)算即可.對(duì)于A(yíng)，四邊形為正方形，為直角三角形；為直徑，為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，，為直角三角形；平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，為直角三角形；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面，，為直角三角形；因此，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，故A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，為三棱錐的高，三棱錐的體積的面積為定值，當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，，三棱錐體積的最大值為，故B錯(cuò)誤；取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，所以異面直線(xiàn)與的夾角為或其補(bǔ)角，且，又，則，，則，又，則，在中，由余弦定理可得，則異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)解析知，平面，為在平面內(nèi)的射影，為直線(xiàn)與平面所成角，當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角最大時(shí)，取最小值，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，，，則在直角三角形內(nèi)，，即，，，，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，直線(xiàn)與平面所成角最大，此時(shí)，，，三點(diǎn)均為四棱錐的頂點(diǎn)，平面截四棱錐外接球的截面為的外接圓面，直角三角形外接圓半徑，截面面積，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在判斷三棱錐的四個(gè)面是否都是直角三角形時(shí)，易忽視，需通過(guò)證明平面進(jìn)行判斷；在確定直線(xiàn)與平面所成角最大時(shí)點(diǎn)的位置時(shí)，容易錯(cuò)誤的認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大，需使用空間向量，借助三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行判斷.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.?市高三年級(jí)1萬(wàn)名男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，則身高超過(guò)180cm的男生約有______人.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】230【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性及特殊區(qū)間的概率求解即可.，則，，身高超過(guò)180cm的男生的人數(shù)約為.故答案為：230.13.已知函數(shù)，若，，使得不等式成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.若對(duì)任意，存在，使得不等式成立，即只需滿(mǎn)足，，對(duì)稱(chēng)軸在遞減，在遞增，，對(duì)稱(chēng)軸，①即時(shí)，在0,1遞增，恒成立；②即時(shí)，遞減，在遞增，，所以，故；③即時(shí)，在[0，1]遞減，，所以，解得，綜上.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題首先需要讀懂題意，進(jìn)行轉(zhuǎn)化；其次需要分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)最后進(jìn)行總結(jié)，即可求出結(jié)果.14.已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】采用補(bǔ)形法得正方體，作出圖形，找出內(nèi)切球，外接球球心，由幾何關(guān)系知：兩點(diǎn)間距離的最小值為，易求外接圓半徑，結(jié)合等體積法可求出內(nèi)切圓半徑和，進(jìn)而得解.由已知將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示.設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知：三點(diǎn)均在上，且平面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則.又，，所以，由等體積法：，即，解得，由等體積法：，即，解得，將幾何體沿截面切開(kāi)，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最大截面，∴兩點(diǎn)間距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)將三棱錐補(bǔ)成正方體，進(jìn)而確定內(nèi)切球，外接球球心，結(jié)合等體積法求內(nèi)切圓半徑及，即可得的長(zhǎng)度的最小值.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）若，求；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理化角為邊，得出邊的關(guān)系后，由余弦定理求解；（2）由余弦定理及數(shù)量積的定義求得，再利用基本不等式求得的最大值，最后由面積公式得結(jié)論．【小問(wèn)1】因?yàn)?，所以由正弦定理得，又，所以，，從?【小問(wèn)2】由余弦定理可知，則，又，故，即，故，即，從而，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的面積的最大值為3.16.已知數(shù)列的滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求.（3）證明：．【答案】（1）（2）（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列即可求解；（2）由錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列求和公式即可求解；（3）分三種情況證明即可，注意到，由此即可順利得證.【小問(wèn)1】，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2】由題意，從而；【小問(wèn)3】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.17.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，二面角的大小為．（1）證明：平面平面．（2）求四棱錐的體積．（3）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直的判定定理得證；（2）證明平面，再由棱錐體積公式得解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，，利用求出，再由向量法求線(xiàn)面角的正弦即可.【小問(wèn)1】設(shè)中點(diǎn)分別為，連接．在中，由，所以．由，所以，因?yàn)?，所以二面角的平面角為，則．因?yàn)?，平面，所以平面，由平面，所以，則，所以．又，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，即四棱錐的高為，所以四棱錐的體積為．【小問(wèn)3】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．記，則．連接．設(shè)，則，．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，則．又，所以，．設(shè)平面的法向量為，則由得取，得．設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．18.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，直線(xiàn)的傾斜角為（1）求直線(xiàn)的方程及橢圓的方程.（2）若橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)A，B均在軸上方，且，求證：的值為定值.（3）在（2）的條件下求四邊形的的面積的取值范圍.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)的長(zhǎng)度可求的值，又利用點(diǎn)和直線(xiàn)的傾斜角可得，進(jìn)而用可求，從而可得直線(xiàn)方程和橢圓的方程；（2）設(shè)，，則關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即，由的斜率可得三點(diǎn)共線(xiàn)，進(jìn)而得，設(shè)代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，，從而計(jì)算可得結(jié)果；（3）由題意可知四邊形為梯形，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可得高，進(jìn)而結(jié)合梯形的面積公式利用基本不等式可得結(jié)果.【小問(wèn)1】由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，可得，.因?yàn)辄c(diǎn)上頂點(diǎn)，直線(xiàn)的傾斜角為，所以中，，則，又，則.因?yàn)?，，所以直線(xiàn)的方程為.橢圓的方程為.【小問(wèn)2】設(shè)，，，則關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即，由，三點(diǎn)共線(xiàn)，又，.設(shè)代入橢圓方程得，，，.，，.【小問(wèn)3】四邊形為梯形，令，則（當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即，進(jìn)而由平行關(guān)系判斷三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，從而計(jì)算可得結(jié)果；在求的范圍的時(shí)候，通過(guò)變形利用基本不等式可求最大值即可.19.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明：；（3）若圓與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，證明：為銳角.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先設(shè)函數(shù)點(diǎn)為，再得出關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，在函數(shù)的圖象上，計(jì)算即可得