2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(四)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖所示，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，A＝30°，則其跨度ABA．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由題意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).]2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A．eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/hA[如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.]3．如圖所示，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40m的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，BA．20eq\r(2)m B．20eq\r(3)mC．20eq\r(6)m D．40eq\r(2)mC[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(m).]4．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，A.20m B．30mC．40m D．60mC[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m).]5．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m．]二、填空題6．有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)千米．eq\r(2)[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米).]7．如圖所示，在高速馬路建設(shè)中須要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\r(3)[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(km).]8．如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)覺(jué)張角∠ABC＝120°，從B處攀登400米后到達(dá)D處，再看索道AC，發(fā)覺(jué)張角∠ADC＝150°，從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為米．400eq\r(13)[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因?yàn)椤螦DB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，所以AC＝400eq\r(13)，故索道AC的長(zhǎng)為400eq\r(13)米．]三、解答題9．如圖，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里，求乙船航行的速度．[解]如圖，連接A1B2，在△A1A2B中，易知∠A1A2B＝60°，又易求得A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(1,3)＝10eq\r(2)＝A2B2，∴△A1A2B2為正三角形∴A1B2＝10eq\r(2).在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船每小時(shí)航行30eq10．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，[解]如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m).在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m1.如圖所示，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)mC[由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m).]2．如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔ABA．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為小時(shí)．1[設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡(jiǎn)得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即圖中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小時(shí)).]4．如圖，某海輪以60海里/時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°方向，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°方向，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，則P，C間的距離為________海里．40eq\r(7)[因?yàn)锳B＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝402×3，所以BP＝40eq\r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq\r(3))2＋802＝11200，所以PC＝40eq\r(7)海里．]5．如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后，在點(diǎn)D處望見(jiàn)塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值為60°.(1)求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時(shí)，走了幾分鐘；(2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號(hào)，不求近似值).[解](1)依題意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×eq\f(1,60)＝100(m)，∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq\f(100×sin15°,sin135°)＝eq\f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(50（\r(6)－\r(2)）,\r(2))＝50(eq\r(3)－1)(m)，在Rt△ABE中，tanα＝eq\f(AB,BE)，因?yàn)锳B為定長(zhǎng)，所以當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí)，α取最大值60°，這時(shí)BE⊥CD，當(dāng)BE⊥CD時(shí)，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(eq\r(3)－1)·eq\f(\r(3),2)＝25(3－eq\r(3))(m)，設(shè)該人沿南偏西60°的方