2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(20分鐘35分)1.(2024·梅州高一檢測(cè))已知m,n是實(shí)數(shù),a,b是向量,則下列結(jié)論中正確的為 ()①m(a-b)=ma-mb; ②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,則a=b; ④若ma=na,則m=n.A.①④ B.①② C.①③ D.③④【解析】選B.由向量數(shù)乘的運(yùn)算律可知①②正確;③中,若m=0,則不能推出a=b,錯(cuò)誤;④中,若a=0,則m,n不肯定相等,錯(cuò)誤.2.已知四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A,C),則= ()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈QUOTEC.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈QUOTE【解析】選A.設(shè)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)(不含A,C),設(shè)=λ,則λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).3.已知向量a,b,若=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則肯定共線的三點(diǎn)是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】選A.因?yàn)?=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,即=2,所以∥.又因?yàn)?有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.4.在△ABC中,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,且=4=r-s,則s+r= ()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】選C.由題意得,=4,所以=QUOTE,因?yàn)?-,所以=QUOTE(-QUOTE)=QUOTE-QUOTE,所以r=s=QUOTE,所以s+r=QUOTE.【補(bǔ)償練習(xí)】如圖所示,向量,,的終點(diǎn)A,B,C在一條直線上,且=-3.設(shè)=p,=q,=r,則以下等式中成立的是 ()A.r=-QUOTEp+QUOTEq B.r=-p+2qC.r=QUOTEp-QUOTEq D.r=-q+2p【解析】選A.因?yàn)?+,=-=3,所以=QUOTE,所以=QUOTE+QUOTE=+QUOTE(-).所以r=q+QUOTE(r-p),所以r=-QUOTEp+QUOTEq.5.(2024·保定高一檢測(cè))已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,而a=k2e1+QUOTEe2與b=2e1+3e2是兩個(gè)共線向量,則實(shí)數(shù)k=.

【解析】由題設(shè)知QUOTE=QUOTE,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或QUOTE.答案:-2或QUOTE6.設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ,μ,使向量d=λa+μb與向量c共線?【解析】因?yàn)閐=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d與c共線,則存在實(shí)數(shù)k使d=k·c,即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由QUOTE得λ=-2μ,故存在這樣的實(shí)數(shù)λ和μ,只要λ=-2μ,就能使d與c共線.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共線,則四邊形ABCD為 ()A.梯形 B.平行四邊形C.菱形 D.矩形【解析】選A.=a+2b,=-5a-3b,因?yàn)閍與b不共線,所以與不共線.所以AB與CD不平行.又=++=-8a-2b,明顯=2.所以AD∥BC.所以四邊形ABCD為梯形.2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿意++=,則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為 ()A.P在△ABC內(nèi)部 B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在直線上 D.P是AC邊的三等分點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)?-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=QUOTE,所以P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn).3.已知a,b是不共線的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ,μ滿意 ()A.λ=μ-3 B.λ=μ+3C.λ=μ+2 D.λ=μ-2【解析】選B.由A,B,C三點(diǎn)共線,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因?yàn)閍,b是不共線的向量,所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.4.O是平面上肯定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿意=+λ,λ∈(0,+∞),則P點(diǎn)的軌跡所在直線肯定通過△ABC的 ()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】選C.設(shè)BC中點(diǎn)為M,則=,則有=+λ,即=λ,即點(diǎn)A,P,M共線,所以P點(diǎn)的軌跡所在直線肯定通過△ABC的重心.5.已知△ABC和點(diǎn)M,且有++=0.若存在實(shí)數(shù)m使得+=m成立,則m= ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選B.如圖,在△ABC中,以BM,CM為鄰邊作平行四邊形MBDC,依據(jù)平行四邊形法則可得+=,又++=0,則=,兩向量有公共點(diǎn)M,則A,M,D三點(diǎn)共線,設(shè)BC∩MD=E,結(jié)合MD是平行四邊形MBDC的對(duì)角線可知,AE是△ABC的中線,同理可證BM,CM也是△ABC的中線,即M是△ABC的重心.以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABFC,依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得+==2=2×QUOTE=3,則+=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若5+3=0,且||=||,則四邊形ABCD的形態(tài)為.

【解析】由于5+3=0知,∥且||≠|(zhì)|,所以此四邊形為梯形.又||=||,所以梯形ABCD為等腰梯形.答案:等腰梯形7.已知平面上不共線的四點(diǎn)O,A,B,C,若-3+2=0,則=.

【解析】因?yàn)?3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:28.如圖,在△ABC中,延長(zhǎng)CB到D,使BD=BC,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí),若=λ+μ,則t=λ-μ的最大值是.

【解析】設(shè)=k,0≤k≤1,則=k(+2)=k[+2(-)]=2k-k,因?yàn)?λ+μ,所以QUOTE所以t=λ-μ=3k.又0≤k≤1,所以當(dāng)k=1時(shí),t取最大值3.故t=λ-μ的最大值為3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.過△ABC的重心G任作一條直線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,若=x,=y且xy≠0,試求QUOTE+QUOTE的值.【解析】如圖,設(shè)=a,=b,則=QUOTE=QUOTE=QUOTE(a+b).所以=-=QUOTEa-QUOTEb.=-=xa-yb.因?yàn)榕c共線,所以=λ,即QUOTEa-QUOTEb=λxa-λyb,所以QUOTE消去λ得QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=3.10.已知O,A,M,B為平面上四點(diǎn),且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0且λ≠1).(1)求證:A,B,M三點(diǎn)共線.(2)若點(diǎn)B在線段AM上,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,所以=λ(λ∈R,λ≠0且λ≠1).又與有公共點(diǎn)A,所以A,B,M三點(diǎn)共線.(2)由(1)知=λ,若點(diǎn)B在線段AM上,則與同向且||>||(如圖所示).所以λ>1.1.如圖所示,兩射線OA與OB交于O,則下列選項(xiàng)中哪些向量的終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界) ()①+2; ②QUOTE+QUOTE;③QUOTE+QUOTE; ④QUOTE+QUOTE.A.①② B.①②④ C.①②③ D.③④【解析】選A.依題意,在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)任取點(diǎn)E,連接OE交AB于點(diǎn)F,則有=λ=λ[x+(1-x)]=λx+(1-x)λ,其中0<x<1,λ>1,留意到λx+(1-x)λ=λ>1;留意到1+2=3>1,QUOTE+QUOTE>QUOTE+QUOTE=1,QUOTE+QUOTE=QUOTE<1,QUOTE+QUOTE=QUOTE<1.2.如圖所示,點(diǎn)O是梯形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),||=4,||=6,||=2.設(shè)與同向的單位向量為a0,與同向的單位向量為b0.(1)用a0和b0表示,和.(2)若點(diǎn)P在梯形ABCD所在的平面上運(yùn)動(dòng),且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由題意知=6a0,=2b0,所以