專(zhuān)題2.3 冪函數(shù)與二次函數(shù)（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題2.3冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數(shù)的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 3【題型4求二次函數(shù)的解析式】 4【題型5二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】 4【題型6二次函數(shù)的最值問(wèn)題】 6【題型7二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】 61、冪函數(shù)與二次函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).【知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的解題技巧】1.冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)2求二次函數(shù)解析式的方法】1．二次函數(shù)解析式的求法(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸或最大（小）值，選用頂點(diǎn)式.(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.【知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．二次函數(shù)的圖象問(wèn)題(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱(chēng)軸這條直線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.2．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想求解.3．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.【題型1冪函數(shù)的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)B．α=1,3,12時(shí)，冪函數(shù)C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2x【變式1-2】（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)且在?∞,0是增函數(shù)的是（A．y=1x B．y=x3+1 【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xn的圖象過(guò)點(diǎn)(m,8)．設(shè)a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)=2x?x2，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【題型3冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究?jī)绾瘮?shù)fx=xα當(dāng)α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=xmn（m,n均為正整數(shù)且m,nA．m,n是奇數(shù)且mB．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mC．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mD．m,n是奇數(shù)，且m【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【題型4求二次函數(shù)的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)中的三個(gè)性質(zhì)的二次函數(shù)：f(x)=．①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項(xiàng)系數(shù)為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【變式4-1】（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知二次函數(shù)fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別是0和5，圖象開(kāi)口向上，且fx在區(qū)間?1,4上的最大值為12，則函數(shù)fx【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對(duì)任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為【題型5二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【變式5-3】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【題型6二次函數(shù)的最值問(wèn)題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關(guān)于函數(shù)fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無(wú)交點(diǎn) D．f【變式6-1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當(dāng)maA．0 B．1 C．12 D．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當(dāng)A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù)fx=ax2+2x的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【題型7二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時(shí)，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對(duì)任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a(chǎn)≥?14 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≥1 【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）無(wú)論x取何值時(shí)，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?22．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知冪函數(shù)y=xa,y=xbA．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．a(chǎn)<b<c3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<25．（23-24高一上·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2(4?a)x+2在區(qū)間(?∞,3]A．a(chǎn)≥?7 B．a(chǎn)≥7 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤?76．（2023·四川瀘州·一模）已知點(diǎn)(2,18)在冪函數(shù)f(x)=xα的圖象上，設(shè)a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)fx的圖象過(guò)12,24，Px1A．x1fxC．fx1x8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A．fx=?3xC．fx=110．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x+1，設(shè)g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當(dāng)n≤2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]D．當(dāng)n>2時(shí)，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間(?∞,?1]三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)f(x)=xα(0<α<1)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，則α13．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(x)=．14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若四、解答題15．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數(shù)，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數(shù)f16．（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)fx滿(mǎn)足f(0)=?1，頂點(diǎn)為(1,?2)(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx在區(qū)間[a?1,4]上單調(diào)遞增