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2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷03(新高考專用)(考試時間:120分鐘;滿分:150分)注意事項:1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的。1.(5分)(2024·西藏林芝·模擬預(yù)測)已知集合A=xx?1>0,B=x2xA.?3,?1 B.?1,3 C.1,【解題思路】解不等式化簡集合A與B,然后利用交集運算求解即可.【解答過程】因為A=xx?1>0B=x2x所以A∩B=x故選:C.2.(5分)(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足3?iz?i=3,則復(fù)數(shù)A.12?32i B.12【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【解答過程】解:由題意,z=3則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z=故選:A.3.(5分)(2024·廣西柳州·模擬預(yù)測)已知向量a與b的夾角為60°,且a=1,3,b=1,則A.7 B.5 C.4 D.2【解題思路】根據(jù)a的坐標求出它的模,利用數(shù)量積運算求出所求向量的模.【解答過程】由a=1,3又b=1,則a故選:D.4.(5分)(2024·陜西·模擬預(yù)測)已知α∈?π2,?π4,若A.?185 B.?25 C.【解題思路】利用正切二倍角公式和和角公式得到tanα=?3,化簡得到2【解答過程】tan2α=?32所以2tan因為α∈?π2所以2故3tan2α+10tanα+3=02=故選:C.5.(5分)(2024·天津北辰·三模)中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前,世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”,從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來,中國人以不同的方式表達著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖,可視為類似火箭整流罩的一個容器,其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體,已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為(
)A.325π12 B.76π3 C.【解題思路】結(jié)合軸截面分析可知O1B=O【解答過程】由題意可知:容器中液體分為:下半部分為圓柱,上半部分為圓臺,取軸截面,如圖所示,O1,O可知:AB∥CD∥EF,且O1可得O3FO所以該容器中液體的體積為π×故選:A.6.(5分)(2024·西藏·模擬預(yù)測)若函數(shù)fx=x?xA.fx+1?2 B.fx?1?2 C.【解題思路】變形得到fx=x+1+1【解答過程】因為fx所以fx?1由于gx=x+1又g?x故gx=x+1其他選項均不合要求.故選:C.7.(5分)(2024·廣東汕頭·三模)已知A,B,C是直線y=m與函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象的三個交點,如圖所示.其中,點A(0,2),B,C兩點的橫坐標分別為xA.φ=π4 C.f(x)的圖象關(guān)于(π,0)中心對稱 D.f(x)在【解題思路】根據(jù)給定條件,可得f(x)=2sin(ωx+3π4),進而求得【解答過程】由f(0)=2sinφ=2,得sinφ=22,而0<φ<π于是f(x)=2sin(ωx+3π4),顯然由A點橫坐標xA=0,即ωxA+解得x1=3π2ω,x2=2π對于A,φ=3對于B,f(π對于C,f(π)=2sin(2π對于D,當x∈[0,π2]時,3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故選:B.8.(5分)(2024·新疆喀什·三模)已知a=lnsin1.02,b=1.0251A.a(chǎn)<b<c B.c<a<b C.a(chǎn)<c<b D.b<a<c【解題思路】由正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得a<0<c,構(gòu)造fx=ln【解答過程】因為y=sinx在則0=sin0<sin又因為y=lnx在則a=lnsin1.02<ln令x=0.02,則b=x1+x,構(gòu)建fx則f′可知fx在(0,+∞)上遞減,則f綜上所述:a<c<b.故選:C.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目的要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。9.(6分)(2024·湖北·模擬預(yù)測)某次數(shù)學(xué)考試滿分150分,記X,Y分別表示甲、乙兩班學(xué)生在這次考試中的成績,且X~N90,400,Y~N100,300,則(A.甲班的平均分低于乙班的平均分B.甲班的極差大于乙班的極差C.成績在100,110的人數(shù)占比乙班更高D.成績在90,100的人數(shù)占比甲班更高【解題思路】根據(jù)題干中正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷.【解答過程】對于A,甲班的平均分為90分,乙班的平均分為100分,甲班平均分低于乙班,故A正確;對于B,甲班的方差大于乙班,但不能認為甲班的極差一定大于乙班,故B錯誤;對于C,甲班的平均分為90分,乙班的平均分為100分,且乙班方差小,成績分布更集中,故甲班成績在區(qū)間90,100的人數(shù)占比低于乙班,且低于乙班成績在區(qū)間100,110的人數(shù)占比,故C正確,D錯誤.故選:AC.10.(6分)(2024·廣東廣州·模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)fx=lnA.函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)fx有極小值且極小值為C.若方程fx=m有兩個不等實根,則實數(shù)mD.經(jīng)過坐標原點的曲線y=fx的切線方程為【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)fx【解答過程】對A:由題意可知fx的定義域為0,+f'x=1x當x∈0,e時,f′x>0所以函數(shù)fx在0,e上單調(diào)遞增,在對B:當x=e時,fx取得極大值為對C:由上分析可作出fx的圖象,要使方程f只需要y=m與fx有兩個交點,由圖可知,m∈所以實數(shù)m的取值范圍為0,1對D:設(shè)曲線y=fx在x則切線斜率k=1?2lnx0x所以切線斜率k=13e故選:ACD.11.(6分)(2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測)已知曲線E:x2+yA.曲線E圍成圖形面積為8+4πB.曲線E的長度為4C.曲線E上任意一點到原點的最小距離為2D.曲線E上任意兩點間最大距離4【解題思路】通過分類討論去掉絕對值后,可畫出曲線E圖形,由圖可得答案.【解答過程】當x>0,y>0時,曲線E:(x?1)當x>0,y<0時,曲線E:(x?1)當x<0,y>0時,曲線E:(x+1)當x<0,y<0時,曲線E:(x+1)當x=0,y=0時,曲線E為原點.畫出曲線E的圖形,如圖所示.對于A,曲線E圍成的面積可分割為一個邊長為22的正方形和四個半徑為2故面積為22對于B,曲線E由四個半徑為2的半圓組成,故周長為2×2π對于C,如圖所示,因為原點在曲線E上,所以最小值為0,故C錯誤;對于D,如圖所示,曲線E上任意兩點的連線過圓心及原點時,距離最大,最大為42故選:ABD.第II卷(非選擇題)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.(5分)(2024·河北滄州·二模)已知F1,F2為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點,過【解題思路】利用給定條件,結(jié)合橢圓的定義、余弦定理建立關(guān)于a,c的等式,即可求出離心率.【解答過程】由MF1=3MF2=4又NF1+NF在△MF1F在△NF1F于是a24=4整理得2c2+a2=3ac所以E的離心率為e=10故答案為:105
13.(5分)(2024·河北滄州·模擬預(yù)測)已知直線l:y=kx是曲線fx=ex+1和gx=ln【解題思路】先設(shè)在y=fx上的切點,然后求出切點和切線,然后再設(shè)在y=gx上的切點,即可求出【解答過程】設(shè)直線l與曲線y=fx相切于點x由f′x=ex+1,得k=所以y0=ex0+1x設(shè)l與曲線y=gx相切于點x1,y1,由g因為x1,y1是所以y1=e2x1,y1故答案為:3.14.(5分)(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球,其中紅球、黃球、黑球各1只.現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次n∈N*,且每次取1只球,X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù),Y=X,X為奇數(shù)0,X【解題思路】由題知X~B2n,13,Y=0,1,0,3,??0,2n?1,0,EY=【解答過程】由題知X~B2n,E=∵kC∵(2+1)(2?1)2n?1∴C故答案為:n3四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15.(13分)(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模)在△ABC中,記角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3a=(1)求角C;(2)已知點D在AC邊上,且AD=2DC,BC=6,BD=27,求△ABC【解題思路】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可;(2)先確定DC長度,再確定AC,即可判斷三角形形狀,確定面積.【解答過程】(1)∵3a=3c∴3sin∵sin∴tanC=3,∴∠C=π(2)設(shè)DC=x,cosπ3=12當x=2時,AC=6,C=π3當x=4時,AC=12,AB滿足AB2+B16.(15分)(2024·甘肅酒泉·三模)已知雙曲線C:x2a(1)求雙曲線C的方程;(2)若雙曲線C的右頂點為A,B(0,?b),過坐標原點的直線l與C交于E,F(xiàn)兩點,與直線AB交于點M,且點E,M都在第一象限,△AFM的面積是△AEM面積的5倍,求直線l的斜率.【解題思路】(1)首先表示出雙曲線的漸近線方程,依題意可得ba=12,由點到直線的距離公式求出c,再由c=a(2)設(shè)l:y=kx,Ex1,y1,F(xiàn)?x1,?y1,Mx2,y2,由題意可知0<k<1【解答過程】(1)雙曲線C:x2a2?所以ba又焦點到漸近線的距離為1,即c12+又c=a2+b2,所以a2=4(2)由(1)可得A2,0,B則直線AB的方程為y=1設(shè)l:y=kx,Ex1,y1,F(xiàn)?x由△AFM的面積是△AEM面積的5倍,可得FM=5EM,即所以x2由y=12x?1y=kx,消去y,可得由x24?y2=1y=kx由x2=32x1,可得當k=526時x2所以直線l的斜率為52617.(15分)(2024·廣西來賓·模擬預(yù)測)在三棱臺DEF?ABC中,CF⊥平面ABC,AB⊥BC,且BA=BC,AC=2DF,M為AC的中點,P是CF上一點,且CFDF=MC(1)求證:CD⊥平面PBM;(2)若直線BC與平面PBM的所成角為π3,求平面EFM與平面PBM【解題思路】(1)只需分別結(jié)合已知條件證明DC⊥BM,DC⊥PM,再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證;(2)建立適當?shù)目臻g直角坐標系,引入?yún)?shù)CM=DF=λ,結(jié)合線面角公式求出參數(shù)λ,求出平面EFM與平面PBM的法向量,由向量夾角公式即可得解.【解答過程】(1)∵BA=BC,且M是AC的中點,則BM⊥AC.∵CF⊥平面ABC,BM?平面ABC,∴CF⊥BM.又CF∩AC=C,CF,AC?平面ACFD,∴BM⊥平面ACFD,因為DC?平面ACFD,∴DC⊥BM.①∵CFDF=MC∴△CFD∽△MCP,則∠PMC=∠FCD.∵∠ACD+∠FCD=π2,∴∴在平面ACFD中DC⊥PM.②∵BM∩PM=M,BM,PM?平面PBM,∴由①②知DC⊥平面PBM.(2)由題意得DM∥CF,CF⊥平面ABC,∴DM⊥平面ABC.由(1)可知BM⊥AC,故M為坐標原點.如圖,以MB,MC,MD所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.∵CFDF=∴CM=DF=λ,DM=CF=λ∴M0,0,0,Bλ,0,0,C0,λ,0∵AC=2DF,∴由棱臺的性質(zhì)得BC=2EF,∴ME=(由(1)可知平面PBM的一個法向量為CD,且CD=(0,?λ,∵直線BC與平面PBM的所成角為π3∴|cos即|?λ2|λ2?λλ∴平面PBM的一個法向量為CD,且CD=(0,?1,1)平面EFM的法向量為n=(x,y,z)∵ME=(12n?ME=當z=?1時,x=1,y=1.∴平面MEF的一個法向量為n=(1,1,?1)|cos∴平面EFM與平面PBM所成夾角的余弦值6318.(17分)(2024·重慶九龍坡·三模)已知函數(shù)fx=ln(1)當x∈1,+∞時,函數(shù)fx(2)當a=2時,若fx1+fx2(3)求證:對任意n∈N?,都有【解題思路】(1)分離參數(shù),函數(shù)fx≥0恒成立,轉(zhuǎn)化為a≤lnxx(2)利用導(dǎo)數(shù)可得當a=2時,fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,不妨設(shè)0<x1(3)結(jié)合(2)中的結(jié)論,利用賦值及累加法即可證明.【解答過程】(1)當x≥1時,fx即a≤lnxx令gx=lnxx令?x=x2?2當x≥1時,?′x≥0恒成立,?x在所以g′x≥0在x∈1,+∞所以gx所以a≤2,即實數(shù)a的最大值為2.(2)當a=2時,fx=ln所以f′x=1x又f1=0,fx1+f要證x1+x因為fx在x∈0,+∞因為fx1+f設(shè)F=ln[x2?x令t=x2?x,則0<t<1,則φt=由0<t<1可得φ′t>0,φ所以φt<φ1所以fx1+f(3)由(2)可知當a=2時,fx在1,+∞單調(diào)遞增,且由lnx+12x2令x=n+1n,則2l
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