北師大版七年級下冊數(shù)學第五章《生活中的軸對稱》綜合練習題

《生活中的軸對稱》綜合練習題

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,8E平分NA8C,于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.B.2cmC.3cmD.4cm

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內角為120°,則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

3.（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點

B.三角形三條角平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點

D.三角形三條中線的交點

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形4BC中，4B=4,/XABC的面積為10,BD

平分NABC,若M、N分別是B。、8c上的動點，則CM+MN的最小值為（）

A

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE為線段4B的垂直平分線.希X

ABC的周長為18,線段AE的長度為4,則△BCO的周長為（）

A.10B.11C.12D.14

7.如圖，在△ABC中，A/平分/84C,8/平分NA8C,點O是AC、8C的垂直平分線的

交點，連接AO、80,若NA/3=a,則NAO8的大小為（）

B

D.1800-Aa

A.aB.4a-360°C.-la+90°

22

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點。在邊BC上,且滿足AB=AO=OC,過點

。作。E_LA￡>,交AC于點￡.設NB40=a,ZCAD=p,ZCDE=y?則（）

A.2a+邪=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90°D.20+Y=9O°

9.（2020秋?臨沐縣期末）如圖，己知等腰△人5。的底角NC=15",頂點3到邊AC的距

離是3cm,則AC的長為（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

10.（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個動點P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.8c/nD.10cm

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值人稱為這個等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰ZXABC的周長為13cm,AB=5c7〃，則它的“優(yōu)美比”k

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NA=42",點。是邊A上的一點，將4

沿直線CO翻折斜到CD,B'C交AB于點、E,如果8,D//AC,那么N8OC

=度.

13.（2020秋?南沼區(qū)期末）如圖，把?張長方形紙條4BCO沿所折疊，若=68°,

14.（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

線，線段。E=2cm,則8。的長為cm.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,BE平分/ABC,AD為BC邊上.

的高，且4O=BZ）.則N3=

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8尸和CP分別平分NA8C即NOC8,A。過點P,

且與A8垂直.若AO=8,則點P到3c的距離是.

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NABC、NE4C的角平分線BP、AP相交于點P,

PM.LBE,PN工BF,垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個結論：

①CP平分NAC尸；②N8PC=2N8AC；③NAPC=90°-AzAfiC：?S^APM+S^CPN

22

>SMPC.

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點CO在線段48的同側，CA=6,45=14,BD=\2,M

為A8中點，NCMO=120°.則CO的最大值為.

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖.△AOB與△C08關于邊OB所在的直線成軸對稱，AO

的延長線交3c于點D若/8。。=46°,ZC=22°,則NAOC=°.

B

20.（2020秋?深陽市期末）如圖所示，A、8兩個村子在河C。的同側，A、B兩村到河的

距離分別為AC=M〃?，BD=3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊。。上建一水廠分別向A、B兩

村輸送自來水，鋪設水管的費用為20000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O,

使鋪設水管的費用最省，那么所鋪設水管的總費用為元.

B

A

三,解答題（共10小題）

21.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末：已知：在△ABC中，AB=AC,BO_LAC交AC于。，AO

平分NBAC交BO于O,過。點作OE〃8c交AC于￡

（1）求證：BO=OC；

（2）若NBAC=56°,求NOOE的度數(shù).

22.（2020秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)E

是AC的垂直平分線，交4。于點凡連接5E求證：AF=BF.

A

23.(2020秋?興化市期末)如圖，AABC中，A8的垂直平分線分別交A3、BC于點、M、D,

4c的垂直平分線分別交AC、BC于點N、E,/XADE的周長是7.

(1)求8。的長度；

(2)若NB+NC=60°,則ND4E度數(shù)是多少？請說明理由.

24.(2020秋?懷寧縣期末)如圖，在△ABC中，NB4C=62°,NB=78：AC的垂直平

分線交8C于點O.

(1)求N8A。的度數(shù)；

(2)若48=8,BC=11,求的周長.

25.(2020秋?叢臺區(qū)校級期末)小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC將帶刻

度的直角尺。EMN按如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點。落在。4邊上并標

記出點。的位置，量出。。的長，再重新如圖放置直角尺，在DN邊上截取。P=OD,

過點P畫射線OC,則OC平分NAO8.請判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

26.（2020秋?肥西縣期末）如圖，ZXABC是等邊三角形，。、E分別是8C、AC邊上的點,

連接AD、BE,KAD.BE相交于點尸，ZAEB=ZCDA.

(1)求N8PO的度數(shù).

(2)過點8作3Q_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求5E的長.

27.（2020秋?云南期末）如圖，在△48。中，AD為N84C的平分線，DE1ABfE,DF

J_4c于尸，△ARC面積是152"?,AR=?0cm,AC=l8rm,求DE的長.

28.（2020秋?三明期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角

形（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）A8C的頂點4C的坐標分別為（-4,2）,（-1,0）.

（1）請在如圖所示的網(wǎng)格平面內作出平面直角坐標系；

（2）請作出△48C關于），軸對稱的△4‘B'C'；

（3）寫出點"的坐標.

29.（2020秋?新賓縣期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個

單位長度的正方形，△A8C的頂點在格點上.

（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△48C'；

（2）寫出A、B、C的對應點4、B：C'的坐標;

（3）在y軸上畫出點Q,使的周長最小.

30.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△48C中，AB=AC,NA3c的角平分線交AC

于點D,過點4作4七〃BC交8。的延長線于點￡

(1)若/B4C=50°,求NE的度數(shù).

（2）若尸是OE上的一點，且AO=AF,求證：BF=DE.

B

參考答案

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,BE平分NA8C,EZ）_L48于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.yf2pmB.2cmC.3cmD.4cm

【考點】角平分線的性質.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】直接利用角平分線的性質求解.

【解答】解：:BE平分NABC,ED±AB,ECVBC,

??EC=ED=3cm.

故選：C.

【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個內角為120。，則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

【考點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】因為三角形的內角和為180°,所以1200只能為頂角，從而可求出底角.

【解答】解：???120°為三角形的頂角，

???底角為（180°-120°）+2=30°.

故選：4.

【點評】本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形的兩個底角相等，從而可求出解.

3.（2021春?東坡區(qū)校級期末）圖中陰影部分是由4個完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

【考點】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.

【解答】解：要在①，②，③.④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使

它與陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，則這個正方形應添加在區(qū)域②處.

故選：B.

【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確把握軸對稱圖形的性質是解題關鍵.

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點

B.三角形三條角平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點

D.三角形三條中線的交點

【考點】角平分線的性質；線段垂直平分線的性質.

【專題】能力層次.

【分析】根據(jù)角平分線的性質，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

【解答】解：???根據(jù)角平分線的性質，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，

???三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，

故選：B.

【點評】本題考查角平分線的性質，要充分理解并加以運用性質中的線段關系.

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形4BC中，AB=4t△ABC的面積為10,BD

平分NA8C,若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為（)

A

A.4B.5C.4.5D.6

【考點】三角形的面積；軸對稱-最短路線問題.

【專題】探究型；三角形；幾何直觀；應用意識.

【分析】過C作于點￡交8。于點,過點作M'N'工BC于N,

則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的

最小值.

【解答】解：過C作于點E,交8。于點M',過點“作“M1BC于N',

如圖：

???80平分/ABC,M'E_LA8于點E,M'N'_LBC于N',

???"N'=M’E,

：.CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此時"與M'重合，N與N'

重合，

???三角形ABC的面積為10,48=4,

.\AX4*C￡：=10,

2

；?CE=5.

即CM+MN的最小值為5.

故選：B.

【點評】本題考查三角形中的最短路徑，解題的關鍵是理解CE的長度即為CM+MN最

小值.

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在△48C中，。石為線段的垂直平分線.箱4

ABC的周長為18,線段AE的長度為4,則ABC。的周長為（）

A.10B.IIC.12D.14

【考點】線段垂直平分線的性質.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AB=2AE=8,DA=DB,根據(jù)三角形的周長公

式計算，得到答案.

【解答】解：???△ABC的周長為18,

：.AC+BC+AB=\S,

為線段AB的垂直平分線，AE=4,

：.AB=2AE=S,DA=DB,

???AC+8C=10,

:.叢BCD的周長=8O+CD+8C=AO+CO+8C=AC+BC=10,

故選：A.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的

兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

7.如圖，在△ABC中，A/平分/B4C,即平分乙43C,點O是AC、BC的垂直平分線的

交點，連接AO、BO,若4AlB=a,則NAO6的大小為（）

A.aB.4a-360°C.工+90。D.1800-Aa

22

【考點】線段垂直平分線的性質.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】連接CO并延長至。，根據(jù)三角形內角和定理得到N/A8+N/BA=180°-a,根

據(jù)角平分線的定義得到NC4B+NCB4=360°-2a,求出NAC8,根據(jù)線段垂直平分線

的性質得至U04=0。，OB=OC,

根據(jù)等腰三角形的性質得到N0C4=N0AC,N0CB=/0BC,根據(jù)三角形的外角性質

計算，得到答案.

【解答】解：連接C0并延長至。，

,:N4/B=a,

???N/AB+N/8A=180°-a,

???A/平分N84C,B/平分NA3C,

22

：.ZCAB+ZCBA=2(NIAB+/1BA)=360°-2a,

AZ4C/?=180°-(/CAR+/CRA}=2a-180°.

丁點。是AC、3c的垂直平分線的交點，

：.OA=OC,OB=OC,

???N0CA=N04C,N0CB=40BC,

?；ZAOD是△AOC的一個外角，

???NAOO=NOC4+NOAC=2/OC4,

同理，4B0D=2/0CB,

JNAOB=NAOD+/8OO=2/OCA+2NOCB=4a-360°,

故選：B.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理,

掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在AABC中，點。在邊BC上，且滿足4B=4D=OC,過點

。作OE_LA￡>,交AC于點￡設N8AD=a,NC4O=。，ZCDE=y,則()

A.2a+3p=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90。D.2p+y=90°

【考點】等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)AB=AD=DC,NB=/ADB,ZC=ZCAD=p,再根據(jù)三角形外角的性

質得出NA￡O=0+Y，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得結論.

【解答】解：*：AB=AD=DC,NBAO=a,

:?/B=NADB,ZC=ZCAD=p,

VDE±4D,

AZ4DE=90°,

：.ZCAD+ZAED=90°,

■:/CDE=Y，NAED=/C+/CDE,

???N4EO=Y+B，

A2P+Y=90°,

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形外角的性質，熟練掌握等腰三角形的性

質是解題的關鍵.

9.（2U2。秋?臨沐縣期木）如圖，已知等腰△A8C的底角NC'=15°,頂點8到邊AC’的距

離是3cm,則AC的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【考點】等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三箔形；幾何直觀.

【分析】???根據(jù)等腰三角形的性質可求/84。=30°,根據(jù)含30°的直角三角形的性質

可求A8,進一步求得AC.

【解答】解：?.?等腰△ABC的底角NC=15°,

AZABC=\5°,

.\ZBAD=150+15°=30°,

在RtZ\A￡）8中，ZD=90°,BD=3cm,

：.AB=2BD=6cmf

，AC=AB=6C7".

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，含30°的直角三角形的性質，關鍵是求得NB4D

=30°.

10.（2021春?江都區(qū)校級期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個動點P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.3cmD.lOc/n

【考點】等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三弟形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【分析】連接AP,由三角形的面積公式證得SMMSMCPUSMSC,根據(jù)AB=AC即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：△A8C中，PE.LABT￡?PF_LAC于尸，48=AC=8厘米，AABC

的面積為24平方厘米，P是底邊8c上一個動點.

求：PE+PF的值.

解：連接AP,

???PE_LA8,PFLAC,

SMBP=IAB^PE,SMCP=±AC?PF,

22

,**S&ABKS&ACP=SMBC,SMBC=24,

:.-UB?PE+^AC?PF=24,

22

：.^AB（PE+PF）=24t

2

:.PE+尸尸=24-2,=6C7〃,

8

故選：B.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的面積公式，由三角形的面積公式

證得SMBP+S^ACP=S&ABC是解決問題的關鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值上稱為這個等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△A8C的周長為13cMAB=5cm,則它的“優(yōu)美比"女=Q^

或1.25.

【考點】等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【分析】分兩種情況：A8為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，

即可得到它的優(yōu)美比k.

【解答】解：當45腰時，則底邊=3c/n；

此時，優(yōu)美比4=2=0.6；

5

當A8為底邊時，則腰為4；

此時，優(yōu)美比女=S=1.25：

4

故答案為0.6或1.25.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵.

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，/A=42°,點。是邊A上的一點，將4

BCO沿直線8翻折斜到AB'CD,B'。交A8于點E,如果8'D//AC,那么NBDC

=111度.

【考點】平行線的性質；三角形內角和定理；翻折變換（折疊問題）.

【專題】三角形；幾何直觀.

【分析】設NB8為a,NCBD為B，列出關于a+p的方程，求出a+p,即可求出NBDC.

【解答】解：設N8CO為a,/CB。為0,

,:B'D//AC,

???N8QC+NAC￡)=180°,

由對稱性知NBQC=NBDC,

.*.180°-(a+p)+180°-42°-(a+p)=180°,

???a+0=69°,

/.ZBDC=180°-69°=111°,

故答案為111.

【點評】本題主要考查翻折的性質，還有平行線的性質，注意翻折是軸對稱變換，具有

對稱性，平行線的三個基本性質要牢記于心.

13.(2020秋?南潺區(qū)期末)如圖，把一張長方形紙條人BCQ沿E尸折疊，若NAED'=68°,

【考點】翻折變換(折疊問題).

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【分析】設上”=x，根據(jù)折疊的性質得到"="EF=x,利用平角的定義列方

程即可得到結論.

【解答】解：設NOE/=x,

???把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，

???/￡>'EF=NDEF=x,

VZAED'=68°,NAED'+N。'EF+DEF=\S0°,

；?x+x+68°=180°,

Ax=56°,

"DEF=/D'所=56°,

AZAEF=ZAED'+NO'E產=124°,

故答案為：124°.

【點評】木題重點考查了折疊問題，解題的關鍵是學會利用參數(shù)，構建方程組解決問題.

14.（2020秋?費縣期末）如圖，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

線，線段。E=2cm,則BD的長為8cm.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】連接AD,根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出N8=NC=30°,再根據(jù)線段垂

直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得4O=CD,然后求出NC4O=30°,再求

出NB4O=90°,然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD=2DE,BD=

24力，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

【解答】解：連接AD，

在等腰△ABC中，ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

???DE是AC的垂直平分線，

：.AD=CD,

.,.ZG4D=ZC=3O°,

：.ZBAD=ZBAC-ZG4D=120°-30°=90°,

在RtZ\CZ）E中，CD=2DE,

在RtZ\A8。中，BD=2AD,

：.BD=4DE,

9

：DE=2cmf

BD的長為8cm.

故答案為：8.

【點評】本題考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記性質是解題的關

鍵.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,BE平分乙ABC,AD為BC邊上

的高，且AO=BO.則N3=22.5°.

【考點】等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】求出NAOB=90°,艱據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求出NA8。

=NB4D=45°,根據(jù)角平分線的定義求出N2,再根據(jù)等腰三角形的性質得出N8E4=

ZADB=90°,根據(jù)三角形的內角和定理求出N2=N3即可.

【解答】解：??乂。為BC邊上的高，

AZADB=90°,

?；AD=BD,

：.ZABD=ZBAD=^-（1800-NADB）=45°,

2

二,BE平分N48C,

???N1=N27NABO=22.5°,BE±AC,

2

；?NBEA=90°=ZADB,

???N3+N5EA+NA〃E=180°,Z2+ZADB+ZBHD=180°,NAHE=NBHD,

，N3=N2=22.5°.

故答案為：22.5°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義等知識

點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵.

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8P和CP分別平分NA8C卻NOCB,A。過點P,

且與人8垂直.若人。=8,則點P到的距離是4.

【考點】平行線的性質；角平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】過點尸作PE_LBC于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得以

=PE,PD=PE,那么依據(jù)40=8,進而求出PE=4.

【解答】解：如圖所示，過點。作PE_L8C于E,

,:AB〃CD,PAA.AB,

：.PD1CD,

YB尸和C尸分別平分NA8C和/OCB,

：.PA=PE,PD=PE,

：.PE=PA=PD,

VB4+PD=AD=8,

：.B\=PD=4,

???PE=4,即點P到BC的距離是4.

故答案為:4.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質并作輔助

線是解題的關鍵.

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NA8C、NE4C的角平分線BP、4P相交于點P,

PMA.BE,PN工BF,垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個結論：

①CP平分NACF；②N8PC=2N84C；③/4PC=90°-^ZABC；④S&APMTS&CPN

22

>SMPC.

其中結論正確的為一①0）@.（填寫結論的編號）

【考點】角平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；運算能力；推理能力.

【分析】①作P￡>_LAC于。.根據(jù)角平分線性質得到產例=PMPM=PD,得到

=PD,于是得到點尸在NACF的角平分線上，故①正確；

②根據(jù)三角形的判定和性質得到AO=AM，ZAPM=ZAPD,CD=CN,NNPC="PC,

于是得到NAPC'/MPN,故②正確；

③根據(jù)四邊形的內角和得到NA8C+90。+NMPN+90。=360°,求得NABC+NMPN=

180°,于是得到NAPC=90°-故③正確；

2

④根據(jù)角平分線定義得到N4?尸=NA8C+NB4C,NPCN=工NACF=NBPC+工N

22

ABC,得至ljN8PC=2N84C,根據(jù)全等三角形的性質得到SMPM+S&CPN=SMPC.故④

2

不正確.

【解答】解：①作PD_LAC于D

平分NA8C,以平分NE4C,PM±BE,PN1.BF,

；?PM=FN,

:?PM=PN=PD,

???點P在/AC尸的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上），

故①正確：

②???03平分N48C,CP平分/ACF,

工NABC=2/PBC,ZACF=2/PCF,

■:NACF=N4BC+NBAC,ZPCF=NPBF+/BPC,

:?NBAC=2NBPC,

JN8PC=2NB4C,故②正確；

2

?*：PM1AB,PN±BC,

...NA5C+90°+NMPN+90。=360°,

AZABC+ZMPN=180°,

/.ZAPC=90°-IZABC,故③正幣角；

2

④???P8平分NABC,PC平分NACr，

:.ZACF=NABC+N8AC,/PCN=*NACF=NBPC+工NA8C,

22

:?/BAC=2/BPC,

???/BPC=2/BAC,故本小題正確；

2

°：S4APD=SMPM,SACPD=S“PN,

:.SMPM+S^CPN=S4APC,故④不正確.

綜上所述，①②③正確.

故答案為：①②③.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質以及到角的兩邊距離

相等的點在角的平分線上的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內角的和的性質，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細分析便不難求

解.

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點CO在線段A8的同側，CA=6,AB=14,50=12,M

【考點】線段的性質：兩點之間線段最短；軸對稱的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【分析】如圖，作點A關于CM的對稱點A',點8關于OM的對稱點8',證明

MB'為等邊三角形，即可解決問題.

【解答】解：如圖，作點A關于CM的對稱點A',點B關于。M的對稱點".

D

???NCMO=120°,

???NAMC+NDMB=60°,

：.ZCMAl+ZDMB1=60°,

???NA'MB1=60°,

*：MAf=MB',

??.△A'MB'為等邊三角形

■:CDWCA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=6+7+12=25,

???CO的最大值為25,

故答案為25.

【點評】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解

題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題，屬于中考

?？碱}型.

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，△408與ACOB關于邊。8所在的直線成軸對稱，AO

的延長線交于點D若NBOD=46°,ZC=22°,則N4DC=70°.

【考點】軸對稱的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【分析］根據(jù)NAOC=NA+NA8O,求出NA,NA8O即可.

【解答】解：???△AO8與ACOB關于邊08所在的直線成軸對稱,

/.AAOB@△COB,

???NA=NC=22°,ZABO=ZCBO,

?：ZBOD=ZA+ZABO,

???NA8O=46°-22°=24°,

AZABD=2ZABO=48°,

：.ZADC=ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案為：70.

【點評】本題考查軸對稱的性質，全等三角形的性質，三角形的外角的性質等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

20.(2020秋?涕陽市期末)如圖所示，4、8兩個村子在河CO的同側，4、8兩村到河的

距離分別為4C=lk〃，BD=3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊C￡＞上建一水廠分別向A、B兩

村輸送自來水，鋪設水管的費用為20000元/千米，請你在河CD邊上選擇水廠位置O,

使鋪設水管的費用最省，那么所鋪設水管的總費用為100000兀.

B

■

A

——

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【分析】構造出以A'8為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式計算即可求出A'B,

再乘以單價計算即可得解.

【解答】解：如圖，作出以A'B為斜邊的直角三角形，

*：AC=\km,BD=3km,CD=3hn,

???4'E=CD=3km,BE=3+1=4(km),

由勾股定理得，Af8=后工=5(km),

20000X5=1(X)000(元).

答：鋪設水管的總費用100000元.

故答案為：100000.

B

---------------—--

【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，勾股定理，熟練掌握最短路線的確定方

法是解題的關鍵.

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知：在△A5C中，AB=AC.3O_LAC交AC于O,AO

平分/6AC交于O,過。點作。石〃8c交4c于￡

（1）求證：BO=OC；

（2）若NB4C=56°,求NOOE的度數(shù).

【考點】平行線的性質；等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三甭形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)三角形全等證明對應邊相等；

（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等就出底角的度數(shù)，根據(jù)a上LAC得N8OC=90°,求出

N48O的度數(shù)，進而求出NOBC的度數(shù)，最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可證明.

【解答】解：（1）???A。平分NB4C,

???NBAO=NOAC,

在AABO和△ACO中，

rAB=AC

<ZBA0=Z0AC，

AO=AO

???△48O0ZXAC。（SAS）,

：.BO=OC.

(2)9：BD1AC,

,,.ZBDC=90°,

：.ZABD=ZBDC-ZBAD=90°-56°=34°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-ZBAC)=62°,

2

:?/DBC=/ABC?/ABD=62°-34°=28°,

?：OE〃BC,

：?NDOE=NDBC=28°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形全等的判定與性質，平行線的性質，解

題的關鍵是求出NDBC的度數(shù).

22.(2020秋?玄武區(qū)期末)如圖，在人人/?。中,AR=AC.AT)是△ARC的角平分線,FE

是AC的垂直平分線，交AD于點F,連接5E求證：AF=BF.

【考點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】由等腰三角形的性質可得BD=CD,ADLBC,由線段垂直平分線的性質可得

BF=CF=AF.

【解答】證明：連接CF，

:?BD=CD,AD±BC,

:,BF=CF,

丁五E垂直平分4a

：.AF=CFf

工AF=BF.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，掌握等腰三角形的性

質是本題的關鍵.

23.（2020秋?興化市期末）如圖，/XABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點M、D,

4c的垂直平分線分別交4C、BC于點N、E,ZXAOE的周長是7.

（1）求BC的長度：

（2）若NB+NC=60°,則NOAE度數(shù)是多少？請說明理由.

【考點】線段垂直平分線的性質.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到D4=OB,EA=EC,根據(jù)三角形的周長公

式計算，得到答案；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到ND48=/8,NE4C=NC,根據(jù)三角形的外角性質、

三角形內角和定理計算即可.

【解答】解：（1）???OM是線段A8的垂直平分線，

:,DA=DB,

同理，EA=EC,

ZXAOE的周長為7,

：,DA+DE+EA=1,

：.BC=DA+DE+EC=1；

（2）NO4E度數(shù)是60°,

理由如下：°:DA=DB,EA=EC,

:?NDAB=NB,NE4C=NC

VZB+ZC=60°,

AZADE+ZAED=2ZB+2ZC=120°,

AZDAE=180°-120°=60c.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理，掌握線段的垂直

平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

24.（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△48C中，NB4C=62°,NB=78°,AC的垂直平

分線交BC于點D.

（1）求NB4。的度數(shù)；

（2）若A8=8,BC=11,求A4B。的周長.

【考點】角的計算；線段垂直平分線的性質.

【專題】三角形；運算能力.

【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理求出NC,根據(jù)線段垂直平分線的性質得到AO=CQ,

根據(jù)等腰三角形的性質得到/CAO=NC=40°,得到答案；

（2）根據(jù)三角形的周長公式計算即可.

【解答】解：（1）VZBAC=62°,NB=78°,

AZC=1800-ABAC-ZB=180°-62°-78°=40°,

,.?￡）￡垂直平分AC,

：.AD=CD,

AZCAD=ZC=40°,

：.^BAD=ZBAC-ZG4D=62°-40°=22°；

（2）f：AD=CD,AB=8,BC=\\,

:.XABD的周長=4B+AO+BO=AB+CD+BO=A8+8C=8+11=19.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平

分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵.

25.（2020秋?叢臺區(qū)校級期末）小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC：將帶刻

度的直角尺OEMN按如圖所示擺放，使邊與OB邊重合，頂點。落在。4邊上并標

記出點。的位置，量出0。的長，再重新如圖放置直角尺，在ON邊上截取。~=0拉,

過點尸畫射線OC,貝IJOC平分NAOB.請判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

【考點】角平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質得到NOPO=NPOM,根據(jù)等腰三角形的性質得到/。尸。=

/DOP,由等量代換得到NPOM=NOOP,由此可判斷小明的做法可行.

【解答】解：小明的做法可行.理由如下：

在直角尺。EMN中，DN//EM,

：.NDPO=/POM,

,:DP=OD,

???/DPO=ZDOP,

:?/POM=/DOP,

；?OC平分NA03.

【點評】本題主要考杳了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的性質，能靈活

應用平行線的性質和等腰三角形的性質是解決問題的關鍵.

26.（2020秋?肥西縣期末）如圖，△48C是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點,

連接A。、BE,且A"、8上相交于點尸，乙AKB=4CDA.

（1）求NBP。的度數(shù).

（2）過點B作BQ_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求8E的長.

【考點】等邊三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得，ZABC=ZC=60°,又根據(jù)N4EB=NCD4,

進而求得/E8C=N84D,即可得出答案；

（2）根據(jù)題意求得NP3Q=30）,再根據(jù)直角三角形中30°的角的性質求出8P的長度，

即可得出答案.

【解答】解：（1）由△A8C是等邊三角形可得，

ZA5C=ZC=60°,

VZADC=ZABC+ZBAD,NAEB=/C+NEBC,/AEB=/CDA,

:.ZBAD=/EBC,

,/NBPD=NABE+NBAD,

JZBPD=NABE+NEBC=ZABC=60°；

（2）,??8Q_LAO于Q,

，NBQP=90°,

YNB尸0=60°,

???NP8Q=90°-/BPD=30°,

在RtZ\8PQ中，

：PQ=3,NP8Q=30°,

:?BP=2PQ=6,

又；PE=1,

：,BE=BP+PE=6+\=1.

【點評】此題考查了等邊二角形的性質，熟練掌握等邊二角形的性質是解題的關鍵.

27.（202