北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第五章《生活中的軸對(duì)稱》綜合練習(xí)題

《生活中的軸對(duì)稱》綜合練習(xí)題

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,8E平分NA8C,于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.B.2cmC.3cmD.4cm

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為120°,則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

3.（2021春?東坡區(qū)校級(jí)期末）圖中陰影部分是由4個(gè)完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域處添加一個(gè)同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)正方形應(yīng)添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)

D.三角形三條中線的交點(diǎn)

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形4BC中，4B=4,/XABC的面積為10,BD

平分NABC,若M、N分別是B。、8c上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為（）

A

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，DE為線段4B的垂直平分線.希X

ABC的周長(zhǎng)為18,線段AE的長(zhǎng)度為4,則△BCO的周長(zhǎng)為（）

A.10B.11C.12D.14

7.如圖，在△ABC中，A/平分/84C,8/平分NA8C,點(diǎn)O是AC、8C的垂直平分線的

交點(diǎn)，連接AO、80,若NA/3=a,則NAO8的大小為（）

B

D.1800-Aa

A.aB.4a-360°C.-la+90°

22

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上,且滿足AB=AO=OC,過點(diǎn)

。作。E_LA￡>,交AC于點(diǎn)￡.設(shè)NB40=a,ZCAD=p,ZCDE=y?則（）

A.2a+邪=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90°D.20+Y=9O°

9.（2020秋?臨沐縣期末）如圖，己知等腰△人5。的底角NC=15",頂點(diǎn)3到邊AC的距

離是3cm,則AC的長(zhǎng)為（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

10.（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長(zhǎng)8厘米.在底邊上

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.8c/nD.10cm

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值人稱為這個(gè)等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰ZXABC的周長(zhǎng)為13cm,AB=5c7〃，則它的“優(yōu)美比”k

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NA=42",點(diǎn)。是邊A上的一點(diǎn)，將4

沿直線CO翻折斜到CD,B'C交AB于點(diǎn)、E,如果8,D//AC,那么N8OC

=度.

13.（2020秋?南沼區(qū)期末）如圖，把?張長(zhǎng)方形紙條4BCO沿所折疊，若=68°,

14.（2020秋?費(fèi)縣期末）如圖，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

線，線段。E=2cm,則8。的長(zhǎng)為cm.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,BE平分/ABC,AD為BC邊上.

的高，且4O=BZ）.則N3=

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8尸和CP分別平分NA8C即NOC8,A。過點(diǎn)P,

且與A8垂直.若AO=8,則點(diǎn)P到3c的距離是.

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NABC、NE4C的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P,

PM.LBE,PN工BF,垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①CP平分NAC尸；②N8PC=2N8AC；③NAPC=90°-AzAfiC：?S^APM+S^CPN

22

>SMPC.

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)CO在線段48的同側(cè)，CA=6,45=14,BD=\2,M

為A8中點(diǎn)，NCMO=120°.則CO的最大值為.

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖.△AOB與△C08關(guān)于邊OB所在的直線成軸對(duì)稱，AO

的延長(zhǎng)線交3c于點(diǎn)D若/8。。=46°,ZC=22°,則NAOC=°.

B

20.（2020秋?深陽市期末）如圖所示，A、8兩個(gè)村子在河C。的同側(cè)，A、B兩村到河的

距離分別為AC=M〃?，BD=3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊。。上建一水廠分別向A、B兩

村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元/千米，請(qǐng)你在河CD邊上選擇水廠位置O,

使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為元.

B

A

三,解答題（共10小題）

21.（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末：已知：在△ABC中，AB=AC,BO_LAC交AC于。，AO

平分NBAC交BO于O,過。點(diǎn)作OE〃8c交AC于￡

（1）求證：BO=OC；

（2）若NBAC=56°,求NOOE的度數(shù).

22.（2020秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，F(xiàn)E

是AC的垂直平分線，交4。于點(diǎn)凡連接5E求證：AF=BF.

A

23.(2020秋?興化市期末)如圖，AABC中，A8的垂直平分線分別交A3、BC于點(diǎn)、M、D,

4c的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)N、E,/XADE的周長(zhǎng)是7.

(1)求8。的長(zhǎng)度；

(2)若NB+NC=60°,則ND4E度數(shù)是多少？請(qǐng)說明理由.

24.(2020秋?懷寧縣期末)如圖，在△ABC中，NB4C=62°,NB=78：AC的垂直平

分線交8C于點(diǎn)O.

(1)求N8A。的度數(shù)；

(2)若48=8,BC=11,求的周長(zhǎng).

25.(2020秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末)小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC將帶刻

度的直角尺。EMN按如圖所示擺放，使EM邊與OB邊重合，頂點(diǎn)。落在。4邊上并標(biāo)

記出點(diǎn)。的位置，量出。。的長(zhǎng)，再重新如圖放置直角尺，在DN邊上截取。P=OD,

過點(diǎn)P畫射線OC,則OC平分NAO8.請(qǐng)判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

26.（2020秋?肥西縣期末）如圖，ZXABC是等邊三角形，。、E分別是8C、AC邊上的點(diǎn),

連接AD、BE,KAD.BE相交于點(diǎn)尸，ZAEB=ZCDA.

(1)求N8PO的度數(shù).

(2)過點(diǎn)8作3Q_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求5E的長(zhǎng).

27.（2020秋?云南期末）如圖，在△48。中，AD為N84C的平分線，DE1ABfE,DF

J_4c于尸，△ARC面積是152"?,AR=?0cm,AC=l8rm,求DE的長(zhǎng).

28.（2020秋?三明期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角

形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）A8C的頂點(diǎn)4C的坐標(biāo)分別為（-4,2）,（-1,0）.

（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系；

（2）請(qǐng)作出△48C關(guān)于），軸對(duì)稱的△4‘B'C'；

（3）寫出點(diǎn)"的坐標(biāo).

29.（2020秋?新賓縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)

單位長(zhǎng)度的正方形，△A8C的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.

（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△48C'；

（2）寫出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、B：C'的坐標(biāo);

（3）在y軸上畫出點(diǎn)Q,使的周長(zhǎng)最小.

30.（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△48C中，AB=AC,NA3c的角平分線交AC

于點(diǎn)D,過點(diǎn)4作4七〃BC交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡

(1)若/B4C=50°,求NE的度數(shù).

（2）若尸是OE上的一點(diǎn)，且AO=AF,求證：BF=DE.

B

參考答案

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,BE平分NA8C,EZ）_L48于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.yf2pmB.2cmC.3cmD.4cm

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)求解.

【解答】解：:BE平分NABC,ED±AB,ECVBC,

??EC=ED=3cm.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

2.（2020秋?甘井子區(qū)期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為120。，則底角的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°,所以1200只能為頂角，從而可求出底角.

【解答】解：???120°為三角形的頂角，

???底角為（180°-120°）+2=30°.

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，從而可求出解.

3.（2021春?東坡區(qū)校級(jí)期末）圖中陰影部分是由4個(gè)完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域處添加一個(gè)同樣的正方形，使它與陰影部分組成

的新圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)正方形應(yīng)添加在（）

A.區(qū)域①處B.區(qū)域②處C.區(qū)域③處D.區(qū)域④處

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：要在①，②，③.④四個(gè)區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域處添加一個(gè)同樣的正方形，使

它與陰影部分組成的新圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)正方形應(yīng)添加在區(qū)域②處.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確把握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021春?鄭州期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)

D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】能力層次.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

【解答】解：???根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，

???三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，要充分理解并加以運(yùn)用性質(zhì)中的線段關(guān)系.

5.（2020秋?路北區(qū)期末）如圖，在銳角三角形4BC中，AB=4t△ABC的面積為10,BD

平分NA8C,若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為（)

A

A.4B.5C.4.5D.6

【考點(diǎn)】三角形的面積；軸對(duì)稱-最短路線問題.

【專題】探究型；三角形；幾何直觀；應(yīng)用意識(shí).

【分析】過C作于點(diǎn)￡交8。于點(diǎn),過點(diǎn)作M'N'工BC于N,

則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM+MN的

最小值.

【解答】解：過C作于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)M',過點(diǎn)“作“M1BC于N',

如圖：

???80平分/ABC,M'E_LA8于點(diǎn)E,M'N'_LBC于N',

???"N'=M’E,

：.CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此時(shí)"與M'重合，N與N'

重合，

???三角形ABC的面積為10,48=4,

.\AX4*C￡：=10,

2

；?CE=5.

即CM+MN的最小值為5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的最短路徑，解題的關(guān)鍵是理解CE的長(zhǎng)度即為CM+MN最

小值.

6.（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△48C中，。石為線段的垂直平分線.箱4

ABC的周長(zhǎng)為18,線段AE的長(zhǎng)度為4,則ABC。的周長(zhǎng)為（）

A.10B.IIC.12D.14

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=2AE=8,DA=DB,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公

式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：???△ABC的周長(zhǎng)為18,

：.AC+BC+AB=\S,

為線段AB的垂直平分線，AE=4,

：.AB=2AE=S,DA=DB,

???AC+8C=10,

:.叢BCD的周長(zhǎng)=8O+CD+8C=AO+CO+8C=AC+BC=10,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的

兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，A/平分/B4C,即平分乙43C,點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的

交點(diǎn)，連接AO、BO,若4AlB=a,則NAO6的大小為（）

A.aB.4a-360°C.工+90。D.1800-Aa

22

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】連接CO并延長(zhǎng)至。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到N/A8+N/BA=180°-a,根

據(jù)角平分線的定義得到NC4B+NCB4=360°-2a,求出NAC8,根據(jù)線段垂直平分線

的性質(zhì)得至U04=0。，OB=OC,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0C4=N0AC,N0CB=/0BC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接C0并延長(zhǎng)至。，

,:N4/B=a,

???N/AB+N/8A=180°-a,

???A/平分N84C,B/平分NA3C,

22

：.ZCAB+ZCBA=2(NIAB+/1BA)=360°-2a,

AZ4C/?=180°-(/CAR+/CRA}=2a-180°.

丁點(diǎn)。是AC、3c的垂直平分線的交點(diǎn)，

：.OA=OC,OB=OC,

???N0CA=N04C,N0CB=40BC,

?；ZAOD是△AOC的一個(gè)外角，

???NAOO=NOC4+NOAC=2/OC4,

同理，4B0D=2/0CB,

JNAOB=NAOD+/8OO=2/OCA+2NOCB=4a-360°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理,

掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?西湖區(qū)二模）如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，且滿足4B=4D=OC,過點(diǎn)

。作OE_LA￡>,交AC于點(diǎn)￡設(shè)N8AD=a,NC4O=。，ZCDE=y,則()

A.2a+3p=180°B.3a+2p=180°C.0+2丫=90。D.2p+y=90°

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)AB=AD=DC,NB=/ADB,ZC=ZCAD=p,再根據(jù)三角形外角的性

質(zhì)得出NA￡O=0+Y，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得結(jié)論.

【解答】解：*：AB=AD=DC,NBAO=a,

:?/B=NADB,ZC=ZCAD=p,

VDE±4D,

AZ4DE=90°,

：.ZCAD+ZAED=90°,

■:/CDE=Y，NAED=/C+/CDE,

???N4EO=Y+B，

A2P+Y=90°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2U2。秋?臨沐縣期木）如圖，已知等腰△A8C的底角NC'=15°,頂點(diǎn)8到邊AC’的距

離是3cm,則AC的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三箔形；幾何直觀.

【分析】???根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求/84。=30°,根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)

可求A8,進(jìn)一步求得AC.

【解答】解：?.?等腰△ABC的底角NC=15°,

AZABC=\5°,

.\ZBAD=150+15°=30°,

在RtZ\A￡）8中，ZD=90°,BD=3cm,

：.AB=2BD=6cmf

，AC=AB=6C7".

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求得NB4D

=30°.

10.（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長(zhǎng)8厘米.在底邊上

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.3cmD.lOc/n

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三弟形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】連接AP,由三角形的面積公式證得SMMSMCPUSMSC,根據(jù)AB=AC即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：△A8C中，PE.LABT￡?PF_LAC于尸，48=AC=8厘米，AABC

的面積為24平方厘米，P是底邊8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

求：PE+PF的值.

解：連接AP,

???PE_LA8,PFLAC,

SMBP=IAB^PE,SMCP=±AC?PF,

22

,**S&ABKS&ACP=SMBC,SMBC=24,

:.-UB?PE+^AC?PF=24,

22

：.^AB（PE+PF）=24t

2

:.PE+尸尸=24-2,=6C7〃,

8

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，由三角形的面積公式

證得SMBP+S^ACP=S&ABC是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2021春?鄭州期末）定義：等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值上稱為這個(gè)等腰

三角形的“優(yōu)美比”，若等腰△A8C的周長(zhǎng)為13cMAB=5cm,則它的“優(yōu)美比"女=Q^

或1.25.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【分析】分兩種情況：A8為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)可求得底邊或腰的長(zhǎng)度，

即可得到它的優(yōu)美比k.

【解答】解：當(dāng)45腰時(shí)，則底邊=3c/n；

此時(shí)，優(yōu)美比4=2=0.6；

5

當(dāng)A8為底邊時(shí)，則腰為4；

此時(shí)，優(yōu)美比女=S=1.25：

4

故答案為0.6或1.25.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，/A=42°,點(diǎn)。是邊A上的一點(diǎn)，將4

BCO沿直線8翻折斜到AB'CD,B'。交A8于點(diǎn)E,如果8'D//AC,那么NBDC

=111度.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）.

【專題】三角形；幾何直觀.

【分析】設(shè)NB8為a,NCBD為B，列出關(guān)于a+p的方程，求出a+p,即可求出NBDC.

【解答】解：設(shè)N8CO為a,/CB。為0,

,:B'D//AC,

???N8QC+NAC￡)=180°,

由對(duì)稱性知NBQC=NBDC,

.*.180°-(a+p)+180°-42°-(a+p)=180°,

???a+0=69°,

/.ZBDC=180°-69°=111°,

故答案為111.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對(duì)稱變換，具有

對(duì)稱性，平行線的三個(gè)基本性質(zhì)要牢記于心.

13.(2020秋?南潺區(qū)期末)如圖，把一張長(zhǎng)方形紙條人BCQ沿E尸折疊，若NAED'=68°,

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】設(shè)上”=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到"="EF=x,利用平角的定義列方

程即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)NOE/=x,

???把一張長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF折疊，

???/￡>'EF=NDEF=x,

VZAED'=68°,NAED'+N。'EF+DEF=\S0°,

；?x+x+68°=180°,

Ax=56°,

"DEF=/D'所=56°,

AZAEF=ZAED'+NO'E產(chǎn)=124°,

故答案為：124°.

【點(diǎn)評(píng)】木題重點(diǎn)考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題.

14.（2020秋?費(fèi)縣期末）如圖，在等腰△ABC中，ZBAC=\20°,DE是AC的垂直平分

線，線段。E=2cm,則BD的長(zhǎng)為8cm.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】連接AD,根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出N8=NC=30°,再根據(jù)線段垂

直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得4O=CD,然后求出NC4O=30°,再求

出NB4O=90°,然后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CD=2DE,BD=

24力，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：連接AD，

在等腰△ABC中，ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

???DE是AC的垂直平分線，

：.AD=CD,

.,.ZG4D=ZC=3O°,

：.ZBAD=ZBAC-ZG4D=120°-30°=90°,

在RtZ\CZ）E中，CD=2DE,

在RtZ\A8。中，BD=2AD,

：.BD=4DE,

9

：DE=2cmf

BD的長(zhǎng)為8cm.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

15.（2020秋?灤州市期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,BE平分乙ABC,AD為BC邊上

的高，且AO=BO.則N3=22.5°.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】求出NAOB=90°,艱據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出NA8。

=NB4D=45°,根據(jù)角平分線的定義求出N2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N8E4=

ZADB=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N2=N3即可.

【解答】解：??乂。為BC邊上的高，

AZADB=90°,

?；AD=BD,

：.ZABD=ZBAD=^-（1800-NADB）=45°,

2

二,BE平分N48C,

???N1=N27NABO=22.5°,BE±AC,

2

；?NBEA=90°=ZADB,

???N3+N5EA+NA〃E=180°,Z2+ZADB+ZBHD=180°,NAHE=NBHD,

，N3=N2=22.5°.

故答案為：22.5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)

點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

16.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8P和CP分別平分NA8C卻NOCB,A。過點(diǎn)P,

且與人8垂直.若人。=8,則點(diǎn)P到的距離是4.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】過點(diǎn)尸作PE_LBC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，可得以

=PE,PD=PE,那么依據(jù)40=8,進(jìn)而求出PE=4.

【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)。作PE_L8C于E,

,:AB〃CD,PAA.AB,

：.PD1CD,

YB尸和C尸分別平分NA8C和/OCB,

：.PA=PE,PD=PE,

：.PE=PA=PD,

VB4+PD=AD=8,

：.B\=PD=4,

???PE=4,即點(diǎn)P到BC的距離是4.

故答案為:4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助

線是解題的關(guān)鍵.

17.（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，已知NA8C、NE4C的角平分線BP、4P相交于點(diǎn)P,

PMA.BE,PN工BF,垂足分別為M、N.現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①CP平分NACF；②N8PC=2N84C；③/4PC=90°-^ZABC；④S&APMTS&CPN

22

>SMPC.

其中結(jié)論正確的為一①0）@.（填寫結(jié)論的編號(hào)）

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】①作P￡>_LAC于。.根據(jù)角平分線性質(zhì)得到產(chǎn)例=PMPM=PD,得到

=PD,于是得到點(diǎn)尸在NACF的角平分線上，故①正確；

②根據(jù)三角形的判定和性質(zhì)得到AO=AM，ZAPM=ZAPD,CD=CN,NNPC="PC,

于是得到NAPC'/MPN,故②正確；

③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到NA8C+90。+NMPN+90。=360°,求得NABC+NMPN=

180°,于是得到NAPC=90°-故③正確；

2

④根據(jù)角平分線定義得到N4?尸=NA8C+NB4C,NPCN=工NACF=NBPC+工N

22

ABC,得至ljN8PC=2N84C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到SMPM+S&CPN=SMPC.故④

2

不正確.

【解答】解：①作PD_LAC于D

平分NA8C,以平分NE4C,PM±BE,PN1.BF,

；?PM=FN,

:?PM=PN=PD,

???點(diǎn)P在/AC尸的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上），

故①正確：

②???03平分N48C,CP平分/ACF,

工NABC=2/PBC,ZACF=2/PCF,

■:NACF=N4BC+NBAC,ZPCF=NPBF+/BPC,

:?NBAC=2NBPC,

JN8PC=2NB4C,故②正確；

2

?*：PM1AB,PN±BC,

...NA5C+90°+NMPN+90。=360°,

AZABC+ZMPN=180°,

/.ZAPC=90°-IZABC,故③正幣角；

2

④???P8平分NABC,PC平分NACr，

:.ZACF=NABC+N8AC,/PCN=*NACF=NBPC+工NA8C,

22

:?/BAC=2/BPC,

???/BPC=2/BAC,故本小題正確；

2

°：S4APD=SMPM,SACPD=S“PN,

:.SMPM+S^CPN=S4APC,故④不正確.

綜上所述，①②③正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到角的兩邊距離

相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與

它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細(xì)分析便不難求

解.

18.（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)CO在線段A8的同側(cè)，CA=6,AB=14,50=12,M

【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；軸對(duì)稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A',點(diǎn)8關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)8',證明

MB'為等邊三角形，即可解決問題.

【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A',點(diǎn)B關(guān)于。M的對(duì)稱點(diǎn)".

D

???NCMO=120°,

???NAMC+NDMB=60°,

：.ZCMAl+ZDMB1=60°,

???NA'MB1=60°,

*：MAf=MB',

??.△A'MB'為等邊三角形

■:CDWCA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=6+7+12=25,

???CO的最大值為25,

故答案為25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題，屬于中考

常考題型.

19.（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，△408與ACOB關(guān)于邊。8所在的直線成軸對(duì)稱，AO

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D若NBOD=46°,ZC=22°,則N4DC=70°.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【分析］根據(jù)NAOC=NA+NA8O,求出NA,NA8O即可.

【解答】解：???△AO8與ACOB關(guān)于邊08所在的直線成軸對(duì)稱,

/.AAOB@△COB,

???NA=NC=22°,ZABO=ZCBO,

?：ZBOD=ZA+ZABO,

???NA8O=46°-22°=24°,

AZABD=2ZABO=48°,

：.ZADC=ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案為：70.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

20.(2020秋?涕陽市期末)如圖所示，4、8兩個(gè)村子在河CO的同側(cè)，4、8兩村到河的

距離分別為4C=lk〃，BD=3km,CD=3km.現(xiàn)在河邊C￡＞上建一水廠分別向A、B兩

村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元/千米，請(qǐng)你在河CD邊上選擇水廠位置O,

使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，那么所鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為100000兀.

B

■

A

——

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】構(gòu)造出以A'8為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出A'B,

再乘以單價(jià)計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，作出以A'B為斜邊的直角三角形，

*：AC=\km,BD=3km,CD=3hn,

???4'E=CD=3km,BE=3+1=4(km),

由勾股定理得，Af8=后工=5(km),

20000X5=1(X)000(元).

答：鋪設(shè)水管的總費(fèi)用100000元.

故答案為：100000.

B

---------------—--

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，勾股定理，熟練掌握最短路線的確定方

法是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題）

21.（2020秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）已知：在△A5C中，AB=AC.3O_LAC交AC于O,AO

平分/6AC交于O,過。點(diǎn)作。石〃8c交4c于￡

（1）求證：BO=OC；

（2）若NB4C=56°,求NOOE的度數(shù).

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三甭形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)三角形全等證明對(duì)應(yīng)邊相等；

（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等就出底角的度數(shù)，根據(jù)a上LAC得N8OC=90°,求出

N48O的度數(shù)，進(jìn)而求出NOBC的度數(shù)，最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可證明.

【解答】解：（1）???A。平分NB4C,

???NBAO=NOAC,

在AABO和△ACO中，

rAB=AC

<ZBA0=Z0AC，

AO=AO

???△48O0ZXAC。（SAS）,

：.BO=OC.

(2)9：BD1AC,

,,.ZBDC=90°,

：.ZABD=ZBDC-ZBAD=90°-56°=34°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-ZBAC)=62°,

2

:?/DBC=/ABC?/ABD=62°-34°=28°,

?：OE〃BC,

：?NDOE=NDBC=28°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是求出NDBC的度數(shù).

22.(2020秋?玄武區(qū)期末)如圖，在人人/?。中,AR=AC.AT)是△ARC的角平分線,FE

是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)F,連接5E求證：AF=BF.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD,ADLBC,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得

BF=CF=AF.

【解答】證明：連接CF，

:?BD=CD,AD±BC,

:,BF=CF,

丁五E垂直平分4a

：.AF=CFf

工AF=BF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性

質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

23.（2020秋?興化市期末）如圖，/XABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)M、D,

4c的垂直平分線分別交4C、BC于點(diǎn)N、E,ZXAOE的周長(zhǎng)是7.

（1）求BC的長(zhǎng)度：

（2）若NB+NC=60°,則NOAE度數(shù)是多少？請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=OB,EA=EC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公

式計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ND48=/8,NE4C=NC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】解：（1）???OM是線段A8的垂直平分線，

:,DA=DB,

同理，EA=EC,

ZXAOE的周長(zhǎng)為7,

：,DA+DE+EA=1,

：.BC=DA+DE+EC=1；

（2）NO4E度數(shù)是60°,

理由如下：°:DA=DB,EA=EC,

:?NDAB=NB,NE4C=NC

VZB+ZC=60°,

AZADE+ZAED=2ZB+2ZC=120°,

AZDAE=180°-120°=60c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直

平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

24.（2020秋?懷寧縣期末）如圖，在△48C中，NB4C=62°,NB=78°,AC的垂直平

分線交BC于點(diǎn)D.

（1）求NB4。的度數(shù)；

（2）若A8=8,BC=11,求A4B。的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】角的計(jì)算；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；運(yùn)算能力.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=CQ,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/CAO=NC=40°,得到答案；

（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）VZBAC=62°,NB=78°,

AZC=1800-ABAC-ZB=180°-62°-78°=40°,

,.?￡）￡垂直平分AC,

：.AD=CD,

AZCAD=ZC=40°,

：.^BAD=ZBAC-ZG4D=62°-40°=22°；

（2）f：AD=CD,AB=8,BC=\\,

:.XABD的周長(zhǎng)=4B+AO+BO=AB+CD+BO=A8+8C=8+11=19.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平

分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

25.（2020秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）小明采用如圖所示的方法作NAO8的平分線OC：將帶刻

度的直角尺OEMN按如圖所示擺放，使邊與OB邊重合，頂點(diǎn)。落在。4邊上并標(biāo)

記出點(diǎn)。的位置，量出0。的長(zhǎng)，再重新如圖放置直角尺，在ON邊上截取。~=0拉,

過點(diǎn)尸畫射線OC,貝IJOC平分NAOB.請(qǐng)判斷小明的做法是否可行？并說明理由.

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOPO=NPOM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/。尸。=

/DOP,由等量代換得到NPOM=NOOP,由此可判斷小明的做法可行.

【解答】解：小明的做法可行.理由如下：

在直角尺。EMN中，DN//EM,

：.NDPO=/POM,

,:DP=OD,

???/DPO=ZDOP,

:?/POM=/DOP,

；?OC平分NA03.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能靈活

應(yīng)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

26.（2020秋?肥西縣期末）如圖，△48C是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點(diǎn),

連接A。、BE,且A"、8上相交于點(diǎn)尸，乙AKB=4CDA.

（1）求NBP。的度數(shù).

（2）過點(diǎn)B作BQ_LAO于Q,若PQ=3,PE=1,求8E的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，ZABC=ZC=60°,又根據(jù)N4EB=NCD4,

進(jìn)而求得/E8C=N84D,即可得出答案；

（2）根據(jù)題意求得NP3Q=30）,再根據(jù)直角三角形中30°的角的性質(zhì)求出8P的長(zhǎng)度，

即可得出答案.

【解答】解：（1）由△A8C是等邊三角形可得，

ZA5C=ZC=60°,

VZADC=ZABC+ZBAD,NAEB=/C+NEBC,/AEB=/CDA,

:.ZBAD=/EBC,

,/NBPD=NABE+NBAD,

JZBPD=NABE+NEBC=ZABC=60°；

（2）,??8Q_LAO于Q,

，NBQP=90°,

YNB尸0=60°,

???NP8Q=90°-/BPD=30°,

在RtZ\8PQ中，

：PQ=3,NP8Q=30°,

:?BP=2PQ=6,

又；PE=1,

：,BE=BP+PE=6+\=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊二角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊二角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（202