文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫全國版試題第4章第4講正余弦定理及解三角形（習(xí)思用數(shù)學(xué)文）

第四講正、余弦定理及解三角形考點(diǎn)1正、余弦定理及其應(yīng)用1.[2018湖南省永州市一模]在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,若2sinB=sinA+sinC,cosB=35,且S△ABC=6,則b=()A.2 B.3 C.4 D.52.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2ab=2ccosB,則角C的大小為()A.π6 B.π3 C.2π33.在△ABC中,A=2π3,a=3c,則bc=4.[2018江西省紅色七校聯(lián)考]如圖,在ABC中,已知點(diǎn)D在邊AB上,AD=3DB,cosA=45,cos∠ACB=513,BC(1)求cosB的值;(2)求CD的長.[2016山東,16,12分][理]在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB(Ⅰ)證明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.6.[2015新課標(biāo)全國Ⅱ,17,12分][理]△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.(Ⅰ)求sin∠B(Ⅱ)若AD=1,DC=22,求BD和AC考點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用7.[2018遼寧省遼南協(xié)作校一模]為了豎一塊廣告牌,要制造一個三角形支架,如圖,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米.為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為()A.(1+32)米B.2米C.(1+3)米 D.(2+38.為了應(yīng)對日益嚴(yán)重的氣候問題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器,這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測.如圖443所示,A,B,C三地位于同一水平面上,這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn),觀測點(diǎn)A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚217秒.在A地測得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A,C兩地的距離;(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.答案1.C在△ABC中,由正弦定理可得,2b=a+c①,由余弦定理可得,b2=a2+c22ac×35=(a+c)2165ac由cosB=35,得sinB=45,故S△ABC=12ac×4由①②③得,b=4.故選C.B解法一把cosB=a2+c2-b22ac代入2ab=2ccosB得2ab=a2+cosC=a2+b2-c22解法二由2ab=2ccosB得12b=accosB,由a=bcosC+ccosB得bcosC=accosB,所以12bcosC,所以cosC=12,又C∈(0,π),所以C=π3.1∵a=3c,∴sinA=3sinC,∵A=2π3,∴sinA=32,∴sinC=12,又C必為銳角,∴C∵A+B+C=π,∴B=π6,∴B=C,∴b=c,∴b4.(1)在△ABC中,因?yàn)閏osA=45,A∈所以sinA=1-cos同理可得sin∠ACB=1213所以cosB=cos[π(A+∠ACB)]=cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACBcosAcos∠ACB=35×121345×5(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=BCsinAsin∠ACB=133又AD=3DB,所以BD=14AB=5,又在△BCDCD=B=5=92.5.(Ⅰ)由題意知2(sinAcosA+sinBcos即2sin(A+B)=sinA+sinB,因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(πC)=sinC.從而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=a+所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.故cosC的最小值為126.(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(Ⅱ)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD22AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC22AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.7.D由題意設(shè)BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依題意得AB=AC0.5=(t0.5)(米).在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC22AC·BCcos60°,即(t0.5)2=t2+x2tx,化簡并整理得t=x2-0.25x因?yàn)閤>1,所以t=x1+0.75x-1+2≥2+3(當(dāng)且僅當(dāng)x=1+38.(1)設(shè)BC=x,由條件可知AC=x+217×340=x在△ABC中,BC2=AB2+AC22AB×ACcos∠BAC,即x2=1002+(40+x)22×100×(40+x)×12,解得x所以AC=380+