寒假作業(yè)08乘法公式（18道經(jīng)典題型4道中考真題）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)08乘法公式1.平方差公式：兩個(gè)式子的和與兩個(gè)式子的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即：(a+b)(ab)=a2b2.注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個(gè)表達(dá)式，既可以表示一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.=2\*GB3②在套用平方差公式時(shí)，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，再利用公式，特別需要注意“”的處理.2.完全平方和公式：等于兩式平方和加2倍的積，即：.3.完全平方差公式：等于兩式平方和減2倍的積，即：.注：=1\*GB3①a、b僅是一個(gè)符號(hào)，可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；=2\*GB3②使用公式時(shí)，一定要先變形成符合公式的形式.拓展：利用可推導(dǎo)出一些變式：=1\*GB3①；=2\*GB3②.注：在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái).1．下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】、，正確，故A不符合要求；、，錯(cuò)誤，故B符合要求；C、，正確，故C不符合要求；、，正確，故D不符合要求.故選B．2．計(jì)算時(shí)，下列變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故選D．3．如圖1，在邊長(zhǎng)為的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后把剩下部分沿圖中實(shí)線剪開后拼成如圖2所示的梯形，通過計(jì)算圖1、圖2中陰影部分的面積，可以得到的代數(shù)恒等式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，，故選D．4．若，則的值為（）A．2 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】（xy）2+4xy1=x22xy+y2+4xy1=x2+2xy+y21=（x+y）21，當(dāng)x+y=3時(shí)，原式=321=8．故選C．5．計(jì)算的結(jié)果為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】.故選A.6．的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】，∵，，，，，…，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為，每4個(gè)計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為1個(gè)循環(huán)，又，∴的個(gè)位數(shù)字為6，故選B．7．若代數(shù)式是關(guān)于x的完全平方式，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】∵代數(shù)式是關(guān)于x的完全平方式，，∴，故答案為．8．已知，則的值是．【答案】7【解析】∵，∴，則，故答案為7.9．化簡(jiǎn)：=_______.【答案】【解析】.10．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2）．11．已知是完全平方式，為常數(shù)，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【解析】∵是完全平方式，∴，解得：或，故選C．12．四個(gè)全等的直角三角形紙片圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，連接四條線段，，，，得到如圖所示的圖形，已知每個(gè)直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別，（即，），圖中陰影部分的面積為S，則S的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵四個(gè)全等的直角三角形紙片圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，∴．∵，∴，∴．13．已知，，，則代數(shù)式的值是．【答案】3【解析】∵，，，∴，則．故答案為：3．14．綜合與探究：圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4b，寬為a的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用這四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫出，，之間的等量關(guān)系：________；(2)若，，求的值；(3)若x滿足，求的值．【解析】（1）觀察圖2，可得四塊小長(zhǎng)方形的面積為或，∴.故答案為．（2）根據(jù)（1）可得，因?yàn)椋?，所以．?）設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以?5．閱讀與思考：我們已經(jīng)學(xué)了兩數(shù)和（差）的平方公式：，我們把和這樣的式子叫做完全平方式．下面就二項(xiàng)式添上一個(gè)單項(xiàng)式成為一個(gè)完全平方式進(jìn)行分析：因?yàn)?，現(xiàn)分三種情況：①將看作看作，那么可添加中間項(xiàng)，即添加為添加為；②將看作看作中間項(xiàng)，那么可添加，由于不是單項(xiàng)式，所以不符合題意，舍去；③……任務(wù)：(1)上面材料中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是________．A．?dāng)?shù)形結(jié)合

B．整體思想

C．分類討論

D．方程思想(2)請(qǐng)參照①②的解答過程，寫出③中另一種情況，并總結(jié)添加一個(gè)單項(xiàng)式成為完全平方式可添加的所有單項(xiàng)式．【解析】（1）題目中分①②③三種情況討論，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是分類討論，故選C.（2）根據(jù)①②的分析過程可得③的情況為：把看作中間項(xiàng)，1看作，那么可添加，即，∴添上一個(gè)單項(xiàng)式成為一個(gè)完全平方式可添加的所有單項(xiàng)式為，；16．閱讀材料：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它有如下特點(diǎn)：①它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：；；②若它們的實(shí)部和虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，已知，則．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，故答案為：．17．【數(shù)學(xué)文化】我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，楊輝三角是公元1261年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中給出的一個(gè)用數(shù)字排列起來(lái)的三角形陣．由于楊輝在書中引用了賈憲著的“開方作法本源”圖和“增乘開方法”，因此這個(gè)三角形也稱“賈憲三角”．在歐洲，這個(gè)三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出來(lái)的，比楊輝晚了近400年時(shí)間．【問題解決】如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù)等．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式；(2)利用上面的規(guī)律計(jì)算：．【解析】（1）；（2）．18．閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)方法．?dāng)?shù)學(xué)中常對(duì)同一圖形的面積用兩種不同的方法表示，從而可得到一個(gè)等式．即用方法甲計(jì)算某圖形面積表示為A，用方法乙計(jì)算同一圖形面積表示為B，進(jìn)而得到等式，我們稱這一方法為“算兩次”．初步感知：運(yùn)用“算兩次”的方法計(jì)算圖1中最大正方形的面積，可得等式：_________．方法應(yīng)用：如圖2，將四個(gè)直角邊為、斜邊為的等腰直角三角形拼成正方形．用“算兩次”的方法計(jì)算正方形的面積，可得：，，則與之間滿足的等式為_________．任務(wù)：(1)補(bǔ)全由圖1得到的等式：；(2)寫出由圖2得到的等式：；(3)將四個(gè)直角邊分別為，斜邊為的直角三角形按圖3的方式拼成正方形和正方形，請(qǐng)用“算兩次”的方法驗(yàn)證等式“”．【解析】（1）由面積公式可得：，故答案為.（2）由等面積法可得：，故答案為.（3），，根據(jù)題意，得，所以．19．（2023年四川省巴中市中考真題）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．當(dāng)代數(shù)式的值為1時(shí)，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【解析】由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選C．20．（2023年四川省攀枝花市中考真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來(lái)解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選．21．（2023年江蘇省宿遷市中考真題）若實(shí)數(shù)m滿足，則．【答案】【解析】,,.故答案為．22．（2023