第一章第二節(jié)充要條件與量詞

第二節(jié)充要條件與量詞課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.2.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.考情分析考點(diǎn)考法:充分必要條件的判斷與量詞是考查的重點(diǎn),通常與數(shù)列、平面向量、函數(shù)、不等式知識(shí)相結(jié)合.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp【微點(diǎn)撥】p是q的充分不必要條件,等價(jià)于?q是?p的充分不必要條件.2.全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“?”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“?”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定量詞命題量詞命題的否定結(jié)論?x∈M,p(x)?x∈M,?p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,?p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題【微點(diǎn)撥】1.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞,否結(jié)論”.2.對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí),要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否定.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要條件是A=BD.命題“?x∈R,sin2x2+cos2x2=1【解析】選ABC.A選項(xiàng),充分條件與必要條件是相對(duì)而言的,正確;B選項(xiàng),任意三角形的內(nèi)角和為180°,正確;C選項(xiàng),由集合的運(yùn)算知,正確;D選項(xiàng),由同角基本關(guān)系式易知,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,sin2x2+cos2x2=1,2.(必修第一冊(cè)P18例1變條件)已知a∈R,則“a>1”是“a2>1”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由不等式的性質(zhì),當(dāng)a>1時(shí),一定有a2>1;當(dāng)a2>1時(shí),有a>1或a<1,不能得到a>1.則“a>1”是“a2>1”的充分不必要條件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.a2=b2,即(a+b)(ab)=0,解得a=b或a=b;a2+b2=2ab,即(ab)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.4.(不能正確運(yùn)用充要關(guān)系建立不等關(guān)系致誤)若x2x2<0是2<x<a的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的值可以是 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】選D.由x2x2<0得1<x<2,因此,若x2x2<0是2<x<a的充分不必要條件,所以(1,2)?(2,a),則a≥2.【巧記結(jié)論·速算】若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},則(1)若A?B,則p是q的充分條件;(2)若B?A,則p是q的必要條件;(3)若A?B,則p是q的充分不必要條件;(4)若B?A,則p是q的必要不充分條件;(5)若A=B,則p是q的充要條件.【即時(shí)練】“|x1|<2”是“x<3”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)閨x1|<2?2<x1<2?1<x<3,且(1,3)是(∞,3)的真子集,所以“|x1|<2”是“x<3”的充分不必要條件.【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一充分、必要條件的判斷[例1](1)(2024·紹興模擬)“x>1”是“x≥0”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由x>1,則x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要條件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若a=b成立,由向量相等得到兩向量的長(zhǎng)度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,兩個(gè)向量的方向不同,則推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要條件.(3)(2024·濰坊模擬)已知p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,下列命題中:①r是q的充要條件;②p是q的充分不必要條件;③r是q的必要不充分條件;④r是s的充分不必要條件.正確命題的序號(hào)是 ()A.①④ B.①②C.②③ D.②④【解析】選B.由p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,可得p?r,r推不出p,q?r,r?s,s?q,所以r?q,故r是q的充要條件,①正確;p?q,q推不出p,故p是q的充分不必要條件,②正確;r?q,故r是q的充要條件,③錯(cuò)誤;r?s,故r是s的充要條件,④錯(cuò)誤.(4)(2024·南京模擬)已知p:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根,q:ac<1,則p是q的________條件.

【解析】若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根,則a≠0Δ=b2-4ac>0若ac<1,則可以推出ac<0,則a≠0,ca<0,Δ=b24ac>0,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根所以p是q的必要不充分條件.答案:必要不充分【解題技法】判斷充分、必要條件的兩種方法(1)定義法:①弄清條件p和結(jié)論q分別是什么;②嘗試p?q,q?p;③根據(jù)定義進(jìn)行判斷.(2)集合法:根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含(或真包含)關(guān)系進(jìn)行判斷.提醒:定義法適用于推理判斷性問題;集合法適用于涉及字母范圍的推斷問題.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)集合A={x|x2>0},B={x|x<0},C={x|x22x>0},則“x∈A∪B”是“x∈C”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.因?yàn)锳={x|x2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因?yàn)镃={x|x22x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件.2.(2024·哈爾濱模擬)“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”成立的 (A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若θ=π4+2kπ(k∈Z),則sinθ=sin(π4+2kπ)=sinπ4=22,若sinθ=22,不一定有θ=π4+2kπ(k∈例如θ=3π4+2kπ(k∈Z),則sinθ=sin(3π4+2kπ)=sin3π4=22,綜上所述:“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”3.(2024·北京模擬)在人類中,雙眼皮由顯性基因A控制,單眼皮由隱性基因a控制.當(dāng)一個(gè)人的基因型為AA或Aa時(shí),這個(gè)人就是雙眼皮,當(dāng)一個(gè)人的基因型為aa時(shí),這個(gè)人就是單眼皮.隨機(jī)從父母的基因中各選出一個(gè)A或者a基因遺傳給孩子組合成新的基因.根據(jù)以上信息,則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若父母均為單眼皮,則父母的基因一定為aa和aa,孩子就一定是單眼皮.若孩子為單眼皮,則父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均為雙眼皮,故“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的充分不必要條件.【加練備選】1.(2024·溫州模擬)已知a,b∈R,則“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,滿足a2+b2>2,顯然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要條件.2.已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)的和為Sn,設(shè)甲:{an}的首項(xiàng)為零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中項(xiàng),則 ()A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】選C.由{an}是公差為3的等差數(shù)列,可知S1+3=a1+3,S2+3=2a1+6,S3+3=3a1+12.若S2+3是S1+3和S3+3的等比中項(xiàng),則(2a1+6)2=(a1解得a1=0或a1=3(舍去,因?yàn)榇藭r(shí)S1+3=S2+3=0),故S2+3是S1+3和S3+3的等比中項(xiàng)能推出{an}的首項(xiàng)為零,若{an}的首項(xiàng)為零,即a1=0,由{an}是公差為3的等差數(shù)列,則an=3(n1)=3n3,Sn=n(3所以S2+3=6,S1+3=3,S3+3=12,所以(S2+3)2=(S1故{an}的首項(xiàng)為零可推出S2+3是S1+3和S3+3的等比中項(xiàng),可得甲是乙的充要條件.考點(diǎn)二充分、必要條件的探究與應(yīng)用[例2](1)(2024·商洛模擬)“不等式x2+2xm≥0在x∈R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是 ()A.m<1 B.m>4C.2<m<3 D.1<m<2【解析】選A.因?yàn)椤安坏仁絰2+2xm≥0在R上恒成立”,所以等價(jià)于二次方程x2+2xm=0的判別式Δ=4+4m≤0,即m≤1.所以A選項(xiàng),m<1是m≤1的充分不必要條件,A正確;B選項(xiàng)中,m>4不可推導(dǎo)出m≤1,故B不正確;C選項(xiàng)中,2<m<3不可推導(dǎo)出m≤1,故C不正確;D選項(xiàng)中,1<m<2不可推導(dǎo)出m≤1,故D不正確.(2)金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰①已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要條件,則m的取值范圍是__________.

【解析】由x28x20≤0,得2≤x≤10,所以P={x|2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要條件,知S?P,則1-m≤1+m,1-所以當(dāng)0≤m≤3時(shí),x∈P是x∈S的必要條件,即所求m的取值范圍是[0,3].答案:[0,3]②已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m},若?P是?S的必要不充分條件,則m的取值范圍是__________.

【解析】由已知可得P={x|2≤x≤10},因?yàn)?P是?S的必要不充分條件,所以S是P的必要不充分條件,所以x∈P?x∈S且x∈Sx∈P.所以[2,10]?[1m,1+m].所以1-m≤-2,所以m≥9,即m的取值范圍是[9,+∞).答案:[9,+∞)【解題技法】1.充分、必要條件的探求類型含義探求p成立的充分不必要條件探求的條件?p;p探求的條件探求p成立的必要不充分條件探求的條件p;p?探求的條件探求p成立的充要條件探求的條件?p;p?探求的條件2.利用充分、必要條件求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)轉(zhuǎn)化:把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)檢驗(yàn):在求參數(shù)范圍時(shí),要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),從而確定取舍.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·烏魯木齊模擬)一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)必要不充分條件是 ()A.(∞,0) B.(0,+∞)C.(∞,2) D.(∞,1)【解析】選C.由題意,記方程ax2+5x+4=0(a≠0)的兩根分別為x1,x2,因?yàn)橐辉畏匠蘟x2+5x+4=0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,所以x1x2=根據(jù)選項(xiàng)可得到a<2是a<0的必要不充分條件.2.若關(guān)于x的不等式|x1|<a成立的充分條件是0<x<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】|x1|<a?1a<x<1+a,因?yàn)椴坏仁絴x1|<a成立的充分條件是0<x<4,所以(0,4)?(1a,1+a),所以1-a≤0,1+a答案:[3,+∞)【加練備選】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2x)<0.如果p是q的充分不必要條件,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(∞,1]【解析】選B.由q:(x+1)(2x)<0,可知q:x<1或x>2.因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以x≥k?x<1或x>2,即[k,+∞)是(∞,1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.(多選題)(2024·東莞模擬)已知關(guān)于x的方程x2+(m3)x+m=0,下列結(jié)論正確的是 ()A.方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根的充要條件是m<0B.方程有兩個(gè)正根的充要條件是0<m≤1C.方程無實(shí)數(shù)根的充要條件是m>1D.當(dāng)m=3時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0【解析】選AB.關(guān)于x的方程x2+(m3)x+m=0中Δ=(m3)24m=m210m+9,兩根和為3m、兩根積為m.若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,則m2-10m+9>0m<0,解得若方程有兩個(gè)正根,則m2解得0<m≤1,故B對(duì);若方程無實(shí)數(shù)根,則Δ=m210m+9<0,解得1<m<9,故C錯(cuò);當(dāng)m=3時(shí),方程x2+(m3)x+m=0可化為x2+3=0,顯然無實(shí)數(shù)解,故D錯(cuò).考點(diǎn)三全稱量詞命題與存在量詞命題【考情提示】全稱量詞命題與存在量詞命題在近幾年的高考中出現(xiàn)的頻率不高,但是有關(guān)命題的否定及通過命題的真假求參數(shù)范圍我們應(yīng)作為備考的重點(diǎn).角度1含有量詞的命題的否定[例3](2024·西安模擬)若命題p:?x∈R,1x-2<0,則?p表述準(zhǔn)確的是 (A.?x∈R,1xB.?x∈R,1xC.?x∈R,1x-2>0或D.?x∈R,1x-2>0或【解析】選C.全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,排除BD選項(xiàng),其中1x-2<0可解得x<2,x<2的否定應(yīng)是A選項(xiàng)中,1x-2≥0可解得x>2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,C角度2含量詞命題真假的判斷[例4](多選題)(2024·沈陽(yáng)模擬)下列命題中為真命題的是 ()A.?x∈R,12B.對(duì)于?x∈R,n∈N*且n>1,都有nxnC.?x∈R,ln(x1)2≥0D.?x∈R,lnx≥x1【解析】選AD.當(dāng)x≥0時(shí),0<12x≤1,故A當(dāng)n為偶數(shù),且x<0時(shí),nxn=x,故B當(dāng)x=1時(shí),ln(x1)2無意義,故C選項(xiàng)是假命題;當(dāng)x=1時(shí),lnx≥x1,故D選項(xiàng)是真命題.角度3含量詞命題的應(yīng)用[例5]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰①若命題“對(duì)?x∈R,ax2ax1<0”是真命題,則a的取值范圍是__________.

②若命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

【解析】①“對(duì)?x∈R,ax2ax1<0”是真命題,當(dāng)a=0時(shí),則有1<0;當(dāng)a≠0時(shí),則有a<0且Δ=(a)24×a×(1)=a2+4a<0,解得4<a<0,綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4,0].答案:(4,0]②命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,即“?x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命題,故Δ=4a212≤0,解得3≤a≤3.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,3].答案:[3,3]【解題技法】含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題,需證明都成立;要判定存在量詞命題是真命題,只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí),可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍,一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍;二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍.