九年級(jí)同步第9講：相似三角形的章節(jié)復(fù)習(xí)-教師版

PAGE2PAGE單元練習(xí)：相似三角形單元練習(xí)：相似三角形內(nèi)容分析內(nèi)容分析相似三角形是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期第一章的內(nèi)容，在本章中，我們學(xué)習(xí)了比例線段的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的概念、判定及性質(zhì)和平面向量的線性運(yùn)算．重點(diǎn)是靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，難點(diǎn)是利用輔助線解決相似三角形問(wèn)題以及相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相結(jié)合的類型。知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)比例線段比例線段運(yùn)算法則比例的性質(zhì)向量的分解平行向量定理運(yùn)算律實(shí)數(shù)與向量相乘向量的線性組合向量的線性運(yùn)算相似三角形的概念相似三角形的預(yù)備定理相似三角形的判定定理相似三角形的性質(zhì)定理三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論三角形一邊的平行線判定定理及推論平行線分線段成比例定理相似形相似三角形選擇題選擇題下列圖形：①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)直角三角形；③兩個(gè)正方形；④兩個(gè)矩形；⑤兩個(gè)菱形；⑥兩個(gè)正五邊形．其中一定相似的有（）A．2組 B．3組 C．4組 D．5組【難度】★【答案】A【解析】判定相似有2個(gè)條件：對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊成比例，兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但長(zhǎng)和寬的不一定成比例，兩個(gè)（等腰三角形）菱形對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角又不一定相等，只有③⑥一定相似．【總結(jié)】考查學(xué)生對(duì)相似幾何圖形性質(zhì)的理解，對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊成比例兩個(gè)條件缺一不可．若，下列各式中正確的個(gè)數(shù)有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【難度】★【答案】A【解析】考查比和比例的基本性質(zhì)，以“內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積”檢驗(yàn)①不成立，②是對(duì)的；比的基本性質(zhì)是前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，比值不變，③是不成立的；比例線段的等比性質(zhì)及合并性質(zhì)也需要學(xué)生理解到位；其中⑥不正確的原因是．【總結(jié)】考查比和比例的基本性質(zhì)．已知AB//CD，AD、BC相交于點(diǎn)O，下列比例式中正確的是（）ABCDOA．ABCDOC． D．【難度】★【答案】C【解析】∵∴,對(duì)應(yīng)關(guān)系要弄清楚．【總結(jié)】考查“平行型”的A字模型．下列條件中能判定∽的有（）①，，，，，；②，，，，，；③，，，，，．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【難度】★【答案】C【解析】對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不成比例，①不成立；三邊對(duì)應(yīng)成比例，可以判定②成立；兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等判定③成立．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理．ABCDE12如圖，已知，那么添加一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定ABCDE12（）A． B．C． D．【難度】★【答案】B【解析】已知一組對(duì)應(yīng)角相等，再添加任意一組對(duì)應(yīng)角相等都可以判定相似，添加對(duì)應(yīng)邊成比例需要對(duì)應(yīng)角的夾邊成比例．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理．如圖，已知，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB//CD，AB=2m，CD=5m，點(diǎn)P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是（）A． B． C． D．DABDABCP【答案】C【解析】相似比等于對(duì)應(yīng)高之比，設(shè)P到AB的距離為，列等量關(guān)系，解得．【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)，相似比等于對(duì)應(yīng)高之比．如圖，廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如果把各邊中點(diǎn)的連線所圍成的三角形鋪成黑色的大理石（圖中陰影部分），其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石的面積之比是（）A． B． C． D．【難度】★【答案】C【解析】相似三角形面積之比是相似比的平方，聯(lián)結(jié)三角形三邊中點(diǎn)，將原三角形的面積四等分，所以黑色面積與白色面積之比是．【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)．ABCO如圖，在中，向量，，是（）ABCOA．有相同起點(diǎn)的向量 B．單位向量C．長(zhǎng)度相等的向量 D．相等的向量【難度】★【答案】C【解析】同圓的半徑相等，所以，，的長(zhǎng)度是相等的．【總結(jié)】考查向量的方向、長(zhǎng)度及相等向量的概念．若是任一非零向量，是單位向量，下列各式中，正確的是（）①； ②//； ③； ④．A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【難度】★【答案】B【解析】單位向量的長(zhǎng)度是單位1，方向是任意的，是單位向量，但并沒(méi)有講是向量方向上的單位向量，所以②是不對(duì)的．【總結(jié)】考查單位向量的概念．如圖，在中，DE//BC，BC=6cm，，那么DE的長(zhǎng)為（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cmABCABCDE【答案】D【解析】∵，∴，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．【總結(jié)】考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．已知線段a，b，c，求作線段x，使bx=ac，以下方法中不正確的是（）aaxcbA．B．a(chǎn)xcbC．a(chǎn)xcbD．a(chǎn)xcb【難度】★★【答案】B【解析】利用平行線分線段成比例，可以驗(yàn)證A、C、D都成立，B選項(xiàng)不成立的原因是從作圖的角度看，不能保證延長(zhǎng)線段與線段相交成的線段長(zhǎng)度一定為所求作．【總結(jié)】考查利用比例線段求作第四條線段的作圖方法．如圖，若P為的邊AB上一點(diǎn)（AB>AC），則下列條件不一定能保證ABCP∽ABCPA． B．C． D．【難度】★★【答案】D【解析】如圖，兩個(gè)三角形已經(jīng)有一組公共角，添加角度條件一定可以判定相似，若是添加對(duì)應(yīng)邊成比例不能使用到公共角的對(duì)邊，所以D選項(xiàng)不能判定∽．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理．過(guò)三角形一邊上一點(diǎn)畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫這樣的直線的條數(shù)是（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【難度】★★【答案】D【解析】過(guò)三角形一邊上一點(diǎn)畫直線與另一邊相交，截得的三角形與 原三角形相似，這樣的直線最多可畫4條，每條邊上兩條，其中 包括“平行型”和“斜交型”，如圖所示．（當(dāng)這個(gè)點(diǎn)是直角三角 形斜邊上一點(diǎn)時(shí)，最多可以畫三條符合題意的直線）【總結(jié)】考查相似基本圖形．已知P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP<PB，則（）A． B．C． D．【難度】★★【答案】C【解析】線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，是對(duì)稱的，其中三條線段之間存在一個(gè)黃金比例關(guān)系，，即,即．【總結(jié)】考查線段的黃金分割．

ABCDEO如圖，在中，高BD、ABCDEOA． B．C． D．【難度】★★【答案】D【解析】基本圖形“雙垂型”，圖中有4個(gè)三角形兩兩相似，都可以用“AA”來(lái)判定，，對(duì)應(yīng)邊成比例換成等積式，其中D選項(xiàng)比例關(guān)系不對(duì)．【總結(jié)】考查相似模型之“雙垂型”．如圖，AD是的中線，，把沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在 的位置，則的值為（）A． B． C． D．1【難度】★★【答案】C【解析】聯(lián)結(jié),因?yàn)榉?，所以，設(shè)交點(diǎn)為O，因?yàn)椤螦DC＝45°，所以∠OCD＝45°，又因?yàn)楦鶕?jù)三角形內(nèi)角和可以證明，所以為等腰直角三角形，即．【總結(jié)】考查翻折的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)．把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）A．一條線段 B．一個(gè)圓面C．圓上的一群孤點(diǎn) D．一個(gè)圓【難度】★★【答案】D【解析】單位向量的長(zhǎng)度是一樣的，方向是任意的，將同一平面內(nèi)的單位向量的起點(diǎn)歸為同一點(diǎn)，它們的終點(diǎn)匯聚成了一個(gè)單位圓，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓．【總結(jié)】考查單位向量的性質(zhì)及圓的定義．

下面幾個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）若，則；（2）兩個(gè)向量、相等，則，//；（3）若，則四邊形ABCD是平行四邊形；（4）若四邊形ABCD是平行四邊形，則；（5）若，，則；（6）若//，//，則//．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【難度】★★【答案】B【解析】長(zhǎng)度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正確；若，則四邊形ABCD是平行四邊形，這句話也是有漏洞的，當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共線時(shí)，構(gòu)不成平行四邊形，不過(guò)它的逆命題是正確的；其它選項(xiàng)都是正確的．【總結(jié)】考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)．在四邊形ABCD中，，，，其中、不平行，則四邊形ABCD為（）A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【難度】★★★【答案】C【解析】∵，，，∴又∵，∴,∴,∵所以四邊形ABCD是梯形．【總結(jié)】考查特殊四邊形的判定定理及平面向量的線性運(yùn)算．

acbABC如圖，在中內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形，則a，acbABC的關(guān)系式是（）A． B．C． D．【難度】★★★【答案】A【解析】如圖，可以證得，∴,因?yàn)槿齻€(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，所以即，整理得．【總結(jié)】綜合考查相似三角形的判定和性質(zhì)運(yùn)用．

填空題填空題A、B兩地的實(shí)際距離是200千米，地圖上的比例尺為1:1000000，則A、B兩地在地圖上的距離是______厘米．【難度】★【答案】20厘米．【解析】厘米和千米的進(jìn)率為：，設(shè)圖上距離為厘米，由題意，得，解得．【總結(jié)】考查比例尺的運(yùn)用．2、3、5再配上一個(gè)比它們都大的數(shù)組成比例式，這個(gè)數(shù)是______．【難度】★【答案】．【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為，若其它三個(gè)比例項(xiàng)分別為，且，要使最大，則取最大值，取最小值，所以，若的取值沒(méi)有要求，這樣的（與2、3、5組成比例式）有三個(gè)．【總結(jié)】考查比例的基本性質(zhì)．若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，則x=____，y=____，z=____．【難度】★【答案】．【解析】∵設(shè)則解得∴．【總結(jié)】考查學(xué)生對(duì)設(shè)“”法的理解應(yīng)用．已知線段a=8厘米，b=9厘米，則線段a和b的比例中項(xiàng)是______．【難度】★【答案】．【解析】的比例中項(xiàng)，當(dāng)為線段長(zhǎng)時(shí)，取正值．【總結(jié)】考查比例中項(xiàng)的定義．ABCP如圖，已知，AC=4，AP=2，則ABABCP【難度】★【答案】AB＝8．【解析】∵，且，∴則,∵，∴．【總結(jié)】考查相似三角形的判定與性質(zhì)．8米4米0．8米h8米4米0．8米h要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4米的位置，則球拍擊球的高度h為_(kāi)_____米．【難度】★【答案】2.4米．【解析】根據(jù)平行線分線段成比例，得，解得．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例的應(yīng)用，也可以用相似三角形的性質(zhì)求解．ABD如圖，AB是斜靠在墻角的長(zhǎng)梯，梯腳B距墻80厘米，梯上點(diǎn)ABDBD長(zhǎng)55厘米，則梯子長(zhǎng)為_(kāi)_____．【難度】★【答案】440厘米．【解析】設(shè)根據(jù)平行線分線段成比例，得即，解得，所以梯子的長(zhǎng)為440厘米．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例的應(yīng)用．若兩個(gè)相似三角形的面積比為2:9，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)中線的比是______．【難度】★【答案】．【解析】．【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)：面積比是相似比的平方比，相似比也是對(duì)應(yīng)中線之比．

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，設(shè)，，，則______；______；______．【難度】★【答案】．【解析】（1）,因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為1，所以，即；（2）,即；（3），即．【總結(jié)】考查平面向量的線性運(yùn)算．計(jì)算：______．【難度】★【答案】．【解析】．【總結(jié)】考查實(shí)數(shù)與向量相乘及平面向量的加減運(yùn)算．若，則=______．【難度】★★【答案】．【解析】設(shè)，解得，所以．【總結(jié)】考查設(shè)“”法的理解應(yīng)用．

點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP=2，則AB=______．【難度】★★【答案】．【解析】（1）當(dāng)為較長(zhǎng)的線段時(shí)，，解得；（2）當(dāng)為較短的線段時(shí)，,解得，．【總結(jié)】考查線段的黃金分割，等量關(guān)系，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，需要學(xué)生具有分類討論的思想．過(guò)直角三角形的斜邊上一點(diǎn)畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫______條這樣的直線；過(guò)直角三角形的直角邊上一點(diǎn)畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫______條這樣的直線．【難度】★★【答案】3條；4條．【解析】當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在直角邊上時(shí)，可以畫4條這樣的直線使得截得的三角形與原三角形相似；當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在斜邊上時(shí)，可以畫3條（有2條重合在一起）這樣的直線使得截得的三角形與原三角形相似，如圖所示．【總結(jié)】考查相似基本圖形，結(jié)論是“直4斜3”．

ABCDEFKH如圖，AD=DE=EC，且AB//DF//EH，AH交ABCDEFKH【難度】★★【答案】．【解析】∵，∴∵∴,∵,∴,設(shè)，則，∴．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例的性質(zhì)運(yùn)用．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，如果BC=8厘米，AD:AB=1:4，那么的周長(zhǎng)為_(kāi)________．【難度】★★【答案】6厘米．【解析】∵,∴， ∵，∴, 因?yàn)?，所以，．【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)運(yùn)用．如果直角三角形的斜邊長(zhǎng)為18，那么這個(gè)直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為_(kāi)_____．【難度】★★【答案】6．【解析】直角三角形的斜邊長(zhǎng)為18，則斜邊上的中線為9，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，重心到直角頂點(diǎn)的距離是斜邊中線的．【總結(jié)】考查直角三角形重心的性質(zhì)運(yùn)用．

如圖，在平行四邊形ABCD中，，，則向量為_(kāi)_____．（結(jié)ABCDO果用ABCDO【難度】★★【答案】．【解析】∵平行四邊形對(duì)角線互相平分，∴，∵，∴．【總結(jié)】考查平面向量的線性分解及運(yùn)算，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)．ABCD如圖，將①；②；③；

④；⑤；⑥中的一個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組ABCD成一個(gè)真命題，則條件是______，結(jié)論是______．（只填序號(hào)）【難度】★★【答案】答案不唯一，比如條件是①，結(jié)論是③．【解析】這是一個(gè)典型的相似基本圖形“母子型”，其中可以作為條件的選擇不唯一，結(jié)論自然也不一，情況如下：（1）當(dāng)條件為①時(shí)，結(jié)論可以是②③④⑤；（2）當(dāng)條件為②時(shí)，結(jié)論可以是①③④⑤；（3）當(dāng)條件為③時(shí)，結(jié)論可以是①②④⑤．【總結(jié)】考查相似三角形的判定和性質(zhì)運(yùn)用以及對(duì)基本圖形“母子型”的理解運(yùn)用．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于等腰，，則PA:AQ=________．ABCABCDPQR【答案】．【解析】∵，∴，∵正方形，∴,∴，∵，∴,即．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例聯(lián)系等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)運(yùn)用．ABCDEFG已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，ABCDEFGAE，與CD交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF并延長(zhǎng)與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【難度】★★★【答案】．【解析】延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，∵正方形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∵∴,∴，∵，∴∴．【總結(jié)】本題考點(diǎn)包括平行線分線段成比例、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

解答題解答題已知，，，求的值．【難度】★★【答案】．【解析】∵∴，又∵，∴．【總結(jié)】考查等比性質(zhì)的運(yùn)用．已知，求x的值．【難度】★★【答案】．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)等比性質(zhì)，；綜上，．【總結(jié)】考查等比性質(zhì)的運(yùn)用，需要學(xué)生理解等比性質(zhì)成立的條件，以及有分類的思想．ABCD如圖，已知點(diǎn)D在的邊AB上，且，．求 的值．ABCD【難度】★★【答案】．【解析】∵,∴∵∴，∴．【總結(jié)】考查相似三角形的判定與性質(zhì)，需要理解相似三角形的相似比與面積比的關(guān)系．如圖，已知點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，，BE=3cm，AB=6cm，矩形ABCD的周長(zhǎng)為28cm，求CF的長(zhǎng)．ABCABCDEF【答案】．【解析】∵矩形，，∴，∵,，可證,∴，∵∴．【總結(jié)】本題在矩形背景下考查“一線三直角”模型．ABCDEF如圖，已知中，AB=AC，CD是邊AB上的高，且ABCDEF邊形BDEF是正方形．和相似嗎？試證明你的結(jié)論．【難度】★★【答案】，證明略．【解析】∴∴，即，又∵，∴．【總結(jié)】本題結(jié)合直角三角形的性質(zhì)考查相似三角形的判定，同時(shí)需要學(xué)生扎實(shí)的運(yùn)算功底．ABCDEFOP如圖，D、E、F分別是的邊BC、AB、ABCDEFOPO，線段CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)P．求證：AB=3AP．【難度】★★【答案】證明略．【解析】∵，∴，∴，∵D是BC的中點(diǎn)，∴∵，∴，設(shè)則∴，，∴，即．【總結(jié)】考查平行線分線段成比例的綜合運(yùn)用．ABCDEF如圖，在中，，點(diǎn)D為ABABCDEF點(diǎn)F，BE交AC于點(diǎn)E，CE=1cm，AE=3cm．（1）求證：∽；（2）求斜邊AB的長(zhǎng)．【難度】★★【答案】（1）證明略；（2）．【解析】（1）∵∴，∴,∵,∴∵∴∴,∵,∴；（2）∵，∴,∵∴，∵∴．【總結(jié)】考查相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

射