中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何綜合題

幾何綜合題中考數(shù)學(xué)專題整

體

結(jié)

構(gòu)

幾何綜合題單元主要涉及到三角形，四邊形和圓三大模塊。1,三角形主要包括等腰三角形、等邊三角形、直角三角形和一般三角形的全等和相似的證明。2,四邊形主要包括平行四邊形、菱形、矩形和正方形的判定和性質(zhì)以及相關(guān)計(jì)算.3圓主要包括圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、圓的有關(guān)角和定理的應(yīng)用和計(jì)算。三角形專題三角形目標(biāo)1，掌握三角形相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)（2課時(shí)）2，掌握三角形有關(guān)模型的全等或相似證明（3課時(shí)）3，完成三角形有關(guān)模型的全等或相似證明（3課時(shí)）模型手拉手模型三垂直模型相似模型三角形有關(guān)的知識(shí)【考點(diǎn)總結(jié)】一、三角形中的重要線段1．三角形的高線：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱高．特性：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)．2．三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．特性：三角形的三條中線交于一點(diǎn)．3．三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于它的一半4．三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．特性：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心．性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合．5．線段垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線．性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合．【考點(diǎn)總結(jié)】二、等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)與判定1．等腰三角形的有關(guān)概念及分類：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形；等腰三角形分為腰和底不相等的等2．等腰三角形的性質(zhì)：(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”)；(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”)；(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．3．等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．4．等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的內(nèi)角相等，且都等于60°；(2)等邊三角形的三條邊都相等．5．等邊三角形的判定：(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．【考點(diǎn)總結(jié)】三、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)和判定1．直角三角形的有關(guān)性質(zhì)(1)．直角三角形的兩銳角互余．(2)．直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．(3)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．(4)．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．直角三角形的判定(1)．有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形．(2)．有兩角互余的三角形是直角三角形．(3)．如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則該三角形是直角三角形．(4)．勾股定理的逆定理：如果三角形一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【考點(diǎn)總結(jié)】四、全等三角形的性質(zhì)與判定1．概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．2．性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等．3．判定：(1)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SSS)；(2)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SAS)；(3)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(ASA)；(4)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(AAS)；(5)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)記為(HL)．【考點(diǎn)總結(jié)】五、相似三角形1．定義：各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．2．判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．3．性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方例1.圖1、圖2中，點(diǎn)B為線段AE上一點(diǎn)，△ABC與△BED都是等邊三角形。(1)如圖1，求證：AD=CE；(2)如圖2，設(shè)CE與AD交于點(diǎn)F，連接BF.①求證：∠CFA=600；②求證：CF+BF=AF.

典例講解在初中數(shù)學(xué)里，我們把兩個(gè)有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型。如下圖①、圖②、圖③手拉手模型1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)M，N分別在AD，AB上，且∠BMN＝90°，當(dāng)∠AMN＝30°，AB＝2時(shí)，求線段AM的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求證：BE＝AF；（3）如圖3，點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+ANAM．小組合作小組合作2.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問(wèn)題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

小組合作3.【問(wèn)題探究】（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．點(diǎn)H．連接HF，AF，其中AF交EC于點(diǎn)M．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：

；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長(zhǎng)為

；【拓展延伸】（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．手拉手模型分類?關(guān)于全等的手拉手模型有①②③④四類①有公共頂點(diǎn)的等邊三角形手拉手②有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形手拉手③共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形手拉手④有公共頂點(diǎn)的正方形手拉手?關(guān)于相似的手拉手模型有⑤⑥兩類⑤有公共頂點(diǎn)的直角三角形手拉手⑥有公共頂點(diǎn)的任意三角形手拉手模型口訣：等腰共頂手拉手，旋轉(zhuǎn)全等馬上有；左手拉左手，右手拉右手，兩根拉線抖一抖，它們相等不用愁；拉線夾角與頂角，相等互補(bǔ)答案有。4.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在直線BC上，△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，求證：DC+CE=

AC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，求證：

AC=CD-CE（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3），探究線段DC、CE、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．獨(dú)立完成5．如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD=2BF+DE．

獨(dú)立完成6.已知△ABC中，∠BAC＝60°，以AB和

BC為邊向外作等邊△ABD和等邊△BCE．

（1）

連接

AE、CD，如圖

1，求證：AE＝CD；

（2）

若

N為

CD中點(diǎn)，連接

AN，如圖

2，求證：CE＝2AN；（3）

若

AB⊥BC，延長(zhǎng)

AB

交

DE于

M，DB＝，

如圖

3，則

BM＝

．（直接寫出結(jié)果）獨(dú)立完成典例講解例2如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝AB．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請(qǐng)找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．模型描述：如圖，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別從點(diǎn)B，A向直線l作垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E．請(qǐng)證明：△ACD≌△CBE．模型圖例：三垂直模型1.在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O，C重合)．過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接OE，OF.(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，請(qǐng)判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若|CF－AE|＝2，EF＝2，當(dāng)△POF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng)．小組合作例3在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF＝BD．BF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：AB?AD＝AF?AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的長(zhǎng)；

典例講解相似模型平行線型斜交型子母型一線三等角型小組合作1.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．（1）求證：△DCG∽△DAC；（2）如圖1，若CF＝2EF，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)；（3）如圖2，若GC＝4，GE＝4，求GD．

獨(dú)立完成2.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，

（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）連接DG，求證：（3）若AB=AC=9，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長(zhǎng)．四邊形（1）了解多邊形的定義，多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線等概念；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.（2）理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.（3）探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理（4）了解兩條平行線之間距離的意義，能度量?jī)蓷l平行線之間的距離.（5）探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理符合新課標(biāo)的單元教學(xué)目標(biāo)四邊形專題四邊形目標(biāo)1，掌握四邊形相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)（2課時(shí)）2，掌握四邊形有關(guān)模型的全等或相似證明（5課時(shí)）3，完成四邊形形有關(guān)模型的全等或相似證明（5課時(shí)）模型中

點(diǎn)

模

型角平分線模型半

角

模

型旋

轉(zhuǎn)

模

型相似及其他模型【考點(diǎn)總結(jié)】一、多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)1．多邊形的概念定義：在平面內(nèi)，由一些不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．2．性質(zhì)：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，外角和為360°.【考點(diǎn)總結(jié)】二、平行四邊形的定義和性質(zhì)1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊相等且平行．(2)平行四邊形的對(duì)角相等．(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分．(4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．【考點(diǎn)總結(jié)】三、平行四邊形的判定1．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．2．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．3．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．4．對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形．5．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．四邊形有關(guān)知識(shí)【考點(diǎn)總結(jié)】四、矩形的性質(zhì)與判定1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．2．性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是直角．(2)矩形的對(duì)角線相等．(3)矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸；它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)．3．判定：(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．(3)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【考點(diǎn)總結(jié)】五、菱形的性質(zhì)與判定1．定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．2．性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等．(2)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．3．判定：(1)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(2)四條邊都相等的四邊形是菱形．(3)一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【考點(diǎn)總結(jié)】六、正方形的性質(zhì)與判定1．定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形．2．性質(zhì)：(1)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．(2)正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．(3)正方形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線，以及過(guò)每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸；正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心．21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有3．判定：(1)一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形．(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形．(3)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．(4)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．例4如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，與DE交于點(diǎn)H，若FG=AF，AG平分∠BAC，連接GE,；GD.（1）求證：△ECG≌△GHD（2）小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.（3）若∠B=300，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說(shuō)明理由.

1、倍長(zhǎng)中線：遇到線段的中點(diǎn)問(wèn)題，常借助倍長(zhǎng)中線的方法還原中心對(duì)稱圖形，利用“8”字形全等將題中條件集中，達(dá)到解題的目的，這種方法是最常用的也是最重要的方法，在△ABC中，M為BC邊的中點(diǎn)：（1）如圖1，連結(jié)AM并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得ME＝AM，連結(jié)CE．則△ABM≌△ECM；（2）如圖2，點(diǎn)D在AB邊上，連結(jié)DM并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得ME＝DM，連結(jié)CE，則△BDM≌△CEM。中點(diǎn)模型2、構(gòu)造中位線：三角形的中位線從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面將將圖形中分散的線段關(guān)系集中起來(lái)，通常需要再找一個(gè)中點(diǎn)來(lái)構(gòu)造中位線，或者倍長(zhǎng)某線段構(gòu)造中位線，在△ABC中，D為AB邊的中點(diǎn)，則：（1）如圖1，取AC邊的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE//BC，且DF＝0.5BC．（2）如圖2，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使得CF＝BC，連結(jié)CD，AF，則DC//AF，且DC＝0.5AE。

3、等腰三角形“三線合一”。如圖，在△ABC中，若AB＝AC；通常取底邊BC的中點(diǎn)D，則AD⊥BC，且AD平分∠BAC。事實(shí)上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥BC；對(duì)于以上四條語(yǔ)句，任意選擇兩個(gè)作為條件，就可以推出另兩條結(jié)論，即“知二得二”。4、直角三角形斜邊中線。如圖，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，則有BD＝AD＝CD＝AC；反過(guò)來(lái)，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，若BD＝AD＝CD＝0.5AC，則有∠ABC＝90°。1.已知兩個(gè)等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點(diǎn)C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；（2）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．

小組合作小組合作2.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).(1)若ED⊥EF，求證：ED=EF；(2)在(1)的條件下,若DC的延長(zhǎng)線與FB交于點(diǎn)P,試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形?并證明你的結(jié)論(請(qǐng)先補(bǔ)全圖形,再解答)；(3)若ED=EF，ED與EF垂直嗎?若垂直給出證明.

小組合作3，在平行ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CF；(2)若∠ABC=90°,G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3)，求∠BDG的度數(shù)。獨(dú)立完成4，如圖,在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中,∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，點(diǎn)P是FD的中點(diǎn)，連接PE、PC.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB邊上時(shí),求證：CE=

PE；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明。

獨(dú)立完成獨(dú)立完成獨(dú)立完成獨(dú)立完成5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF于點(diǎn)P，G為AD的中點(diǎn)，連接GP，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GP交AB于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE＝

BC，求GH的長(zhǎng)．

獨(dú)立完成獨(dú)立完成

6.已知正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，△CEF是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接EA、AF，M為AF中點(diǎn)，連接DM．（1）如圖（a），點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，求證：EF∥AD；（2）在（1）的條件下連接BE，如果BC＝12，CE＝4，求BE的長(zhǎng)度；（3）如圖（b），求證：AE＝2DM．

獨(dú)立完成例5：在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD于點(diǎn)F，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE?AB＝DE?AP；（3）在（2）的條件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的長(zhǎng)．

模型一：角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是∠MON平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B,則PB=PA.模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等，三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。角平分線模型模型2截取構(gòu)造對(duì)稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA,連接PB,則△OPB≌△OPA.模型分析：利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角等.利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧.模型三：角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B,則△AOB是等腰三角形.模型分析：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一，”也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系在一起.四：角平分線+平行線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PQ∥ON,交OM于點(diǎn)Q，則△POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線于等腰三角形之間的密切關(guān)系。1.已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)（其中EP＜PD），點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PF，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線DA于點(diǎn)G．（1）求證：PG＝PF；（2）求證：DG＝DP+DF．

小組合作2.如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC.求證：(1)DF=AE；(2)DF⊥AC

小組合作3.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，AD⊥AE．（1）求證：AC2＝CD?BC；（2）過(guò)E作EG⊥AB，并延長(zhǎng)EG至點(diǎn)K，使EK＝EB．①若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，求證：FH⊥GH；②若∠B＝30°，求證：四邊形AKEC是菱形．

獨(dú)立完成4.如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB＝AC＝BD．連接MF，NF．（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

獨(dú)立完成例6：已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長(zhǎng)分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．

模型描述：半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等。通過(guò)翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問(wèn)題的本質(zhì)。模型圖例：半角模型1.如圖，在正方形ABCD中,BD為對(duì)角線，∠EAF=450，其兩邊分別交BC、CD于E、F，交BD于H、G。(1)求證：AD2=BG?DH；(2)求證：CE=

DG；(3)求證：EF=

HG.

小組合作2.在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終∠MAN＝45°．如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段BC、DC上時(shí)，寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；并給予證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長(zhǎng)．獨(dú)立完成例7:在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連結(jié)BE感知如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE交BC于點(diǎn)F．求證△ABF≌△BCE．探究如圖②，取BE的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作FG⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BE=FG．（2）連結(jié)CM，若CM=1，求FG的長(zhǎng)．應(yīng)用如圖③，取BE的中點(diǎn)M，連結(jié)CM．過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)G，連結(jié)EG、MG．若CM=3，求四邊形GMCE的面積．十字架模型1:如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE．（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由．小組合作例8:如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，連AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）請(qǐng)直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系

；（2）將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．旋轉(zhuǎn)模型1.如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【深入探究】（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD，連接BD，求BD的長(zhǎng)．（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為直角邊在線段AC的左側(cè)作等腰直角△ACD，求BD的長(zhǎng)．

小組合作2.如圖,在菱形ABCD中，∠ABC=600，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系式______，CE與AD的位置關(guān)系是______；（2）當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（選擇圖2、圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理）；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE，若AB=2，BE=2，求四邊形ADPE的面積。獨(dú)立完成例9:.已知，如圖（1）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC.（1）求證：四邊形ABCD是菱形.（2）如圖（2），若AD=AF，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)G，求證：.（3）在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG點(diǎn)H，若HE=4，EG=12，求AH的長(zhǎng).

相似及其他模型1.如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處,過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；(2)求證：EG2=2(1)AF.GF；(3)若AG=6,EG=2，求BE的長(zhǎng)。

小組合作2.已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證:CF：DE=CD：AD（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得CF：DE=CD：AD成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，求出CF：DE的值．

獨(dú)立完成圓1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。2.探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。3.探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。4.知道三角形的內(nèi)心和外心。5.了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線。6.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積。7.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。符合新課標(biāo)的單元教學(xué)目標(biāo)圓專題圓形目標(biāo)1，掌握?qǐng)A形相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)（3課時(shí)）2，學(xué)會(huì)把圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形和四邊形（2課時(shí)）模型把圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形把圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成四邊形【考點(diǎn)總結(jié)】一、圓的有關(guān)概念及其對(duì)稱性1．圓的定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．這個(gè)定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑．2．圓的對(duì)稱性：(1)圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；(2)圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形．【考點(diǎn)總結(jié)】二、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。究键c(diǎn)總結(jié)】三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．2．推論：同圓或等圓中：(1)兩個(gè)圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等．三項(xiàng)中有一項(xiàng)成立，則其余對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)也成立．圓有關(guān)知識(shí)【考點(diǎn)總結(jié)】四、圓心角與圓周角1．定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫圓心角；頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊和圓都相交的角叫圓周角．2．性質(zhì)：(1)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．(2)一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)的一半．(3)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等．(4)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【考點(diǎn)總結(jié)】五、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)．2．過(guò)三點(diǎn)的圓(1)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓：①經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；②經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)圓．(2)三角形的外心：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的外心．【考點(diǎn)總結(jié)】六、直線與圓的位置關(guān)系2-1-c-n-j-y1．直線和圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交．2．概念：(1)直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交；(2)直線和圓有唯一公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)；(3)直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離?！究键c(diǎn)總結(jié)】七、切線的判定和性質(zhì)1．切線的判定方法：(1)經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．2．切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．【考點(diǎn)總結(jié)】八、三角形(多邊形)的內(nèi)切圓1．與三角形(多邊形)內(nèi)切圓有關(guān)的一些概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．2．三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等，且在三角形內(nèi)部．【考點(diǎn)總結(jié)】九、弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算1．如果弧長(zhǎng)為l，圓心角的度數(shù)為n°，圓的半徑為r，那么弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為l＝.2．由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)弧圍成的圖形叫做扇形．若扇形的圓心角為n°，所在圓半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S為：【考點(diǎn)總結(jié)】十、圓柱和圓錐1．圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱的底面圓的周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高h(yuǎn).如果圓柱的底面半徑是r，則S側(cè)＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圓錐的軸截面與側(cè)面展開圖：軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形．圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇