2020-2021學(xué)年四川省南充市南充高級中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年四川省南充市南充高級中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別解不等式，，再求交即可.【詳解】由得；又得，所以故選:D.2．如果角的終邊過點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的定義，直接求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由定義知.故選：C3．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故選：B4．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件建立方程組，可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，所以，，解得.故選：C.5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及正切函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】，又指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即.對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.6．已知，且，則（）A． B． C．36 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)式與對數(shù)式的互換公式可得，，進(jìn)而變形可得，又由，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，則有，，則，又，即，所以，解得，因?yàn)?，所以；故選：B．7．已知菱形的邊長為，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用作為基底表示，然后利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，，，故選：B8．已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為，則的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知的在區(qū)間上的最大值為1，又，得，得【詳解】解：在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為1，，，，的最小值是．故選：．9．下列式子結(jié)果為的是（）①；②；③；④.A．①② B．③C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】利用即可得①正確；，進(jìn)而利用正弦和角公式即可得②正確；由與正切的和差角公式即可得③正確④錯(cuò)誤.【詳解】解：對于①，由于，所以；對于②，由于，所以；對于③，因?yàn)?，；對于④，因?yàn)?，；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變化化簡求值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的過程中需注意與的關(guān)系.10．設(shè)是上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出函數(shù)在、上的單調(diào)性，以及，化簡得出，結(jié)合圖象可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，則，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，則該函數(shù)在上也為減函數(shù)，，則，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：由，可得，由，可得或，此時(shí)；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.11．如圖，直線與函數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)，，若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程，解方程即可求得的值.【詳解】由題意，，.設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題以對數(shù)函數(shù)的圖象為載體，通過設(shè)置平面圖形，引導(dǎo)考生借助平面幾何的知識求解函數(shù)問題，突出對理性思維?數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)的考查，本題考查邏輯思維能力?運(yùn)算求解能力.解題的關(guān)鍵在于由等邊三角形得的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入函數(shù)方程得縱坐標(biāo)關(guān)系，再化簡整理即可得求解.12．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用圖象可得知，關(guān)于的二次方程的兩根、，然后利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】令，由，得，設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，如下圖所示：由于關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，，設(shè)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題13．邊長為2的等邊的外接圓的面積________.【答案】【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑即可.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理得：，解得，所以外接圓的面積是，故答案為：14．化簡為_____【答案】1【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對所求表達(dá)式進(jìn)行化簡，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15．計(jì)算：_________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：16．已知，則的值為_______．【答案】4042【分析】計(jì)算，得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，然后由對稱性可得值．【詳解】∵,∴的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，∴和關(guān)于點(diǎn)對稱，∴∴．故答案為：4042．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的對稱性，利用對稱性求得參數(shù)值，若，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，本題也可構(gòu)造奇函數(shù)求解：是奇函數(shù)，由此求解．三、解答題17．已知函數(shù)（，且）滿足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解不等式.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)，代入解方程即可；（Ⅱ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（Ⅰ）∵（，且），∴.由，解得.∴的值為.（Ⅱ）不等式即，∴.即.∵在上單調(diào)遞減，∴.∴不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)切化弦將原式化簡整理，結(jié)合（1）的結(jié)果，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，兩邊平方得，整理得.所以，由，∴，又，∴，∴，故.（2）原式.19．已知點(diǎn)A（2，3），B（6，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為x軸上一動點(diǎn).（1）若⊥，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）(3,0)或(5,0)；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)P(x,0)，利用坐標(biāo)表示出、，根據(jù)0列方程求出x的值；（2）由是關(guān)于x的二次函數(shù)，求出最小值對應(yīng)的、的值，再求與夾角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)，（1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5，∴P的坐標(biāo)為(3,0)或(5,0)；（2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1，當(dāng)x＝4時(shí)，取得最小值-1，此時(shí)(2,-3)，(-2,-1)，||，||，∴與夾角的余弦值為：cosθ.20．已知函數(shù).（1）若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若先將的圖像上每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.【答案】（1），（2）【分析】（1）先對函數(shù)化簡變形，然后求出函數(shù)在上的最小值，則可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，先得到的解析式，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)，即的實(shí)數(shù)根，它的實(shí)數(shù)根共4個(gè)，再根據(jù)正弦函數(shù)圖像的對稱性得到結(jié)論【詳解】解：（1），若對任意，都有成立，則只需即可，因?yàn)?，所以，所以?dāng)即時(shí)，取得最小值為，所以，（2）先將的圖像上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得的圖像，然后再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)，即的實(shí)數(shù)根，它的實(shí)數(shù)根共4個(gè)，設(shè)為，則根據(jù)對稱性可知這4個(gè)根關(guān)于直線對稱，所以，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的圖像變換規(guī)律，第2問解題的關(guān)鍵是運(yùn)用正弦函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解，屬于中檔題21．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(取＝1.414)【答案】（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【分析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值．【詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因?yàn)棣取?，所?θ＋∈，所以當(dāng)2θ＋，即θ＝時(shí)，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長，從而得矩形面積．利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值．22．已知函數(shù).任取，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記.（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)函數(shù)，，其中實(shí)數(shù)為參數(shù)，且滿足關(guān)于的不等式有解.若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為；（2）；（3）.【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解方程，可得出函數(shù)的對稱軸方程；（2）對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得、，即可求得的表達(dá)式；（3）利用已知條件求得，分析可知函數(shù)在的值域是函數(shù)在的值域的子集，分、兩種情況討論，將問題轉(zhuǎn)化為，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期為，解方程，可得，故函數(shù)的對稱軸方程為；（2）分以下幾種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，則；②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，則；③當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，則.綜上所述，；（3）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)，只需研究函數(shù)在時(shí)的性質(zhì)即可.仿照（2）可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，，同理可知當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)?，則，所以，，對任意的，存在，使得成立，即函數(shù)在的值域是函數(shù)在的值域的子集，因?yàn)?當(dāng)時(shí)