數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.如圖1-6—8所示，有一廣告氣球，直徑為6m,放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角∠BAC=30°時(shí)，測(cè)得氣球的視角為2β=2°,若θ很小時(shí)，可取sinθ≈θ，試估算該氣球的高BC的值約為（）圖1-6—8A。70mB。86mC.102mD。118m思路解析：1°=,在Rt△ACD中，AC=。在Rt△ABC中,AC=,∴=?！郆C==3××≈86m.答案：B2.如圖1-6—9是一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象,橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移,則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是_______________。圖1—6—9思路解析：設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ），則A=2,由圖象可知T=2×(0.5—0.1)=,∴ω==?！唷?.1+φ=.∴φ=?！嗪瘮?shù)的解析式為y=2sin（x+)。答案：y=2sin(x+)3。甲、乙兩樓相距60米，從乙樓望甲樓頂?shù)难鼋菫?5°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高度分別為_____________。思路解析：如圖，甲樓的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=.∴乙樓的高度為BD=BE—DE=60—米。答案：60米,60-米4.一樹干被臺(tái)風(fēng)攔腰折斷，兩樹干折成60°角,樹干底部與樹尖著地處相距20米,樹干原來的高度為_____________。思路解析：如圖，BC=20tan30°=，AB=，所以樹干原來的高度為AB+BC=(米）。答案：米5.某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦曲線變化，且最小正周期為12.（1）畫出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象;（2）求出種群數(shù)量作為時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式（其中t以年初以來的月為計(jì)量單位）.思路分析:根據(jù)給出的數(shù)據(jù)要計(jì)算出要求函數(shù)的周期、振幅等數(shù)據(jù).解:（1）種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象如圖所示：（2）設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=Asin(ωx+φ）+k。由已知平均數(shù)量為800，最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200，數(shù)量變化周期為12個(gè)月，所以振幅A==100，即ω==，k=800。又7月1日種群數(shù)量達(dá)到最高，所以×7+φ=。而φ=—.所以種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=100sin(t-4)+800.6.已知水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下,過水濕周越小，其流量越大.現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)如圖1-6-10：圖(1)的過水?dāng)嗝鏋榈妊鰽BC，AB=AC，過水濕周l1=AB+AC；圖(2)的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪蜛BCD，AB=CD，AD∥BC,∠BAD=60°，過水濕周l2=AB+BC+CD.若△ABC與等腰梯形ABCD的面積都為S.圖1—6—10（1）分別求l1與l2的最小值(a2+b2≥2ab)；（2）為使流量最大,給出最佳設(shè)計(jì)方案。思路分析：解答此題首先要分別求出兩個(gè)變量的函數(shù)表達(dá)式，然后可利用三角函數(shù)及不等式的性質(zhì)求最值。解：在圖（1）中，設(shè)∠ABC=θ，AB=AC=a，則S=a2sinθ，由于S，a,sinθ皆為正值，可解得a=，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=1時(shí)，即θ=90°時(shí)，取等號(hào)。所以l1=2a≥。在圖(2）中，設(shè)AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°,可求得AD=m+n,S=(n+m+n)·m,解得n=。l2=2m+n=2m+-=+.當(dāng)且僅當(dāng)=，即m=時(shí)，取等號(hào)。通過比較，可得l1min＞l2min，所以最佳方案應(yīng)該是圖(2)所示的方案。我綜合我發(fā)展7。游樂場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn),其中心O距地面40。5m，半徑40m，若從最低點(diǎn)處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間變化，5min后到達(dá)最高點(diǎn)，在你登上摩天輪時(shí)開始記時(shí).你能完成下面的問題嗎？（1）當(dāng)你登上摩天輪2min后,你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，請(qǐng)求出你的朋友與地面的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2)你和你的朋友與地面的距離差何時(shí)最大？最大距離差是多少？（sinα—sinβ=2cossin）(3）如果規(guī)定每位游客乘坐摩天輪觀景的時(shí)間是每次20min，從你的朋友登上摩天輪的時(shí)間算起，什么時(shí)候你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離？解:根據(jù)已知，可求得你與地面距離y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=40sin(t)+40.5。（1)你的朋友比你晚2min登上摩天輪,即沿時(shí)間軸向右平移2個(gè)單位，得出你的朋友與地面距離y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:y=40sin[（t-2)］+40。5，即y=40sin（t—）+40。5.(2)距離差為｜y1-y2｜=40|sin（t)—sin(t-）｜=80cos（t-)sin.當(dāng)cos（t—)=1,即t-=0,t=3.5min時(shí),h達(dá)到最大，最大值距離差約為47m。(3）令h＜0，即sin（t—）＜0，故(2k+1）π＜t—＜(2k+2）π(k∈Z)，因?yàn)閮晌挥慰统俗μ燧喌臅r(shí)間是每次20min，因此從你登上摩天輪開始計(jì)時(shí)到兩人都下摩天輪為止，需經(jīng)過22min，即t的取值范圍是0＜t＜22，故取k=0或1,6＜t＜11或16＜t＜22.從你朋友登上摩天輪的時(shí)間算起，第4min到第9min，以及第14min到第20min為止，你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離。8.已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為I=Asin(ωt+φ）.圖1—6—11（1）圖1-6—11是I=Asin(ωt+φ）（ω＞0,｜φ｜＜）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin(ωt+φ）的解析式；(2）如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？思路分析：三角函數(shù)是重要的初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中有著重要的作用,在物理課程中的力學(xué)、光學(xué)、電學(xué)，特別是對(duì)震動(dòng)過程的研究，也都用到三角函數(shù)的知識(shí).利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，如正、余弦的有界性、單調(diào)性、周期性，可以解決相應(yīng)的綜合應(yīng)用問題.解：（1）因?yàn)橹芷赥=2（+）=，ω==150π,又A=300，所以I=300sin（150πt+φ）.將（-，0）代入上式得sin(φ-）=0,所以φ—=0，φ=.故所求的解析式為I=300sin(150πt+)。（2）如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大，必滿足區(qū)間長(zhǎng)度至少包含一個(gè)周期，即≥，ω≥300π＞942，所以ω的最小正整數(shù)值是943.9。煙筒上的正弦函數(shù)煙筒彎頭是由兩個(gè)圓柱形的煙筒焊在一起做成的，現(xiàn)在要用長(zhǎng)方形鐵皮做成一個(gè)直角煙筒彎頭(兩個(gè)圓柱呈垂直狀)，如圖1—6-12所示，若煙筒的直徑為12cm,最短母線為6cm，應(yīng)將鐵皮如何剪裁，才能既省工又省料呢？圖1-6—12思路分析：如何構(gòu)造三角函數(shù)是本題的關(guān)鍵.解：如圖(1）所示，兩個(gè)圓柱形煙筒的截面與水平面成45°角，設(shè)O是圓柱的軸與截面的交點(diǎn),過O作水平面，它與截面的交線為CD，它與圓柱的交線是以O(shè)為圓心的圓,CD是此圓的直徑,又設(shè)B是這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，過B作BE垂直CD于E,作圓柱的母線AB，交截平面與圓柱的交線于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE。設(shè)BD弧長(zhǎng)為x，它所取的圓心角∠DOB=α，根據(jù)弧長(zhǎng)公式,知α=.又設(shè)AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，從而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin。所以，鐵皮在接口處的輪廓線是正弦曲線y=6sin(0≤x≤12π)，其圖象如圖(2）,因?yàn)閷蓚€(gè)圓柱形鐵皮上的曲線對(duì)拼起來，正好可以完全吻合,所以最節(jié)約且最省工的裁剪方式如圖（3)。10。下表是某地一年中10天測(cè)量的白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（時(shí)間近似到0。1小時(shí))。日期日期位置序號(hào)白晝時(shí)間y（小時(shí)）1月1日15.62月28日5910。23月21日8012.44月27日11716。45月6日12617.36月21日17219.48月13日22516.49月20日26312。410月25日2988.512月21日3555.4(1)以日期在365天中的位置序號(hào)x為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間y為縱坐標(biāo)，在給定坐標(biāo)系中畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）試選用一個(gè)形如y=Asin（ωx＋φ)＋t的函數(shù)來近似描述一年中白晝時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)關(guān)系.（注：①求出所選用的函數(shù)關(guān)系式；②一年按365天計(jì)算）思路分析：此題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用性的問題,其數(shù)學(xué)模型是已知圖象，求解析式.首先觀察圖形確定出函數(shù)的最大值和最小值,以及函數(shù)的周期，進(jìn)而解出待定系數(shù)A、B、ω.再將一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出φ.注意因?yàn)樗蟮慕馕鍪绞莵碓从趯?shí)際問題的，所以函