數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：空間中的平行關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為(）①如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行②如果一條直線與一平面相交,那么這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行④一條直線上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等,則這條直線平行于這個(gè)平面A。0B。1C。2思路解析:對(duì)于①，直線與平面平行,只是說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，也就是直線與平面內(nèi)的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線其位置關(guān)系除了平行之外，還有異面，如圖.正方體ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD,A1B1與BC的位置關(guān)系是異面，并且容易知道，異面直線A1B1對(duì)于③，如圖，圖1—2—2—3∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD、AB平面ABCD,A1D1、A1B1平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以說(shuō)明過(guò)平面外一點(diǎn)不只有一條直線與已知平面平行，而是有無(wú)數(shù)多條，可以想象，經(jīng)過(guò)面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)A1因此,命題③也是錯(cuò)誤的.對(duì)于④，我們可以繼續(xù)借助正方體ABCD—A1B1C1D1來(lái)舉反例,如圖，取AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F,A1D1、B1C圖1—2—2—4∵E、F、G、H分別為AD、BC、A1D1、B1C1∴可以證明EFHG為平行四邊形,且該截面恰好把正方體一分為二，A、D兩個(gè)點(diǎn)到該截面的距離相等，但AD∩平面EFHG=E,因此命題④也是錯(cuò)誤的.對(duì)于②,把一直角三角板的一直角邊放在桌面內(nèi)，讓另一直角邊抬起，即另一直角邊與桌面的位置關(guān)系是相交.可以得出在桌面內(nèi)與直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直。∴正確命題的個(gè)數(shù)只有一個(gè)。答案：B2。平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，點(diǎn)E、F分別在線段AB、CD上,且.求證：EF∥β.思路分析:構(gòu)造過(guò)EF的平面平行于β，利用面面平行的性質(zhì)，因題設(shè)中四點(diǎn)A、B、D、C沒(méi)有說(shuō)明是否共面，所以需要分類討論,以免解答不完整。圖1—2-2—5證明:（1）當(dāng)AB、CD異面時(shí),過(guò)A作AH∥CD交β于H,則四邊形AHCD為平行四邊形，在平面AHDC內(nèi)作FG∥AC交AH于G,連結(jié)EG，則，又，∴.∴EG∥β.又EGβ,BHβ,∴EG∥β.又FG∥AC∥HD，F(xiàn)Gβ,DHβ,∴FG∥β。又EG∩FG=G.∴平面EFG∥平面β。又EF平面EFG，∴EF∥β。（2）當(dāng)AB、CD共面時(shí),∵α∥β,∴AC∥BD?！嗨倪呅蜛BCD為平行四邊形或梯形。由于，得到EF∥BD，BDβ，EFβ,∴EF∥β。3。如圖1—2—2-6，a∥α，A是α另一側(cè)的點(diǎn),B、C、D∈a，線段AB、AC、AD交α于E、F、G點(diǎn)，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG。圖1-2-2-6思路分析：首先根據(jù)平行證明三角形相似,再利用相似比求值。解：Aa，∴A、a確定一個(gè)平面，設(shè)為b.∵B∈a,∴B∈b,又A∈b，∴ABb。同理，ACb，ADb?！唿c(diǎn)A與直線a在α的異側(cè)，∴b與α相交?！嗝鍭BD與面α相交，交線為EG?！連D∥α,BD面BAD，面BAD∩α=EG.∴BD∥EG。∴△AEG∽△ABD.∴(相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例)?！郋G=。4.證明若一條直線與一個(gè)平面平行，則經(jīng)過(guò)此平面內(nèi)的一點(diǎn)與這條直線平行的直線在這個(gè)平面內(nèi).已知:如圖1-2-2-7，a∥α,A∈α，A∈b，a∥b.求證:bα。圖1—2-2-7圖1—2-2—8思路分析：由直線和平面平行，可以得出此直線和平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行,但并不是和平面內(nèi)所有直線都平行。利用性質(zhì)定理,要作輔助平面尋求α內(nèi)與a平行的直線.過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)作某直線與a平行的說(shuō)法是不妥當(dāng)?shù)?。證明:如圖1-2—2—8，假設(shè)bα，∵A∈α，A∈b,∴b和α相交?！遖∥α,A∈α，∴Aa,過(guò)直線a與直線外一點(diǎn)A確定平面β,α∩β=b′,則a∥b′?！遖∥b，∴b′∥b與b∩b′=A矛盾?！郻α。我綜合我發(fā)展5.如圖1-2—2-9，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面,若截面為平行四邊形.圖1—2—2—9（1）求證：AB∥平面EFGH;CD∥平面EFGH；（2)若AB=4，CD=6,求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍。思路分析：(1)利用線面平行的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行證明，判定與性質(zhì)定理常常交替使用，即先通過(guò)線線平行推出線面平行,再通過(guò)線面平行推出線線平行,復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去，我們可稱為平行鏈，即:線線平行線面平行線線平行；（2)利用相似性質(zhì)來(lái)求邊長(zhǎng)。（1）證明：∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC.平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH。同理,∵CD∥EH,∴CD∥平面EFGH。（2）解:設(shè)EF=x(0<x<4），由于四邊形EFGH為平行四邊形,∴.故.從而FG=6—x.于是四邊形EFGH的周長(zhǎng)為l=2（x+6—x)=12—x。又0<x〈4,知8<l<12,故答案為(8，12）。6。若α∥β，β∥γ，則α∥γ.思路分析：可以利用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明.證明：在平面α內(nèi)取兩條相交直線a、b,分別過(guò)a、b作平面φ、δ，使它們分別與平面β交于兩相交直線α′、b′.∵α∥β，∴a∥a′，b∥b′.又∵β∥γ，同理在平面γ內(nèi)存在兩相交直線a″、b″,使得a′∥a″，b′∥b″.∴a∥a″，b∥b″。∴α∥γ.7.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1.試在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論。圖1-2-2-10思路分析：探索性問(wèn)題是以考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神為目標(biāo)的一種題型，這類問(wèn)題常以新穎的形式出現(xiàn)，解題入口寬，而且往往有比較隱蔽的條件，解這類題目必須通過(guò)分析判斷、演繹推理、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、嘗試探索等多種思維形式去尋求