2024-2025學年新教材高中數學課時素養(yǎng)評價四十第六章概率1.2乘法公式與事件的獨立性含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE四十乘法公式與事務的獨立性(15分鐘30分)1．(2024·宿州高二檢測)擲一枚硬幣兩次，記事務A＝“第一次出現正面”，B＝“其次次出現反面”，則有()A．A與B相互獨立 B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．A與B互斥 D．P(AB)＝eq\f(1,2)【解析】選A.對于選項A，由題意得事務A的發(fā)生與否對事務B的發(fā)生沒有影響，所以A與B相互獨立，所以A正確．對于選項B，C，由于事務A與B可以同時發(fā)生，所以事務A與B不互斥，故選項B，C不正確．對于選項D，由于A與B相互獨立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,4)，所以D不正確．2．某市某校在秋季運動會中，支配了籃球投籃競賽．現有20名同學參與籃球投籃競賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響．現規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則其中一名同學得2分的概率為()A．0.5B．0.48C．0.4D．0.32【解析】選B.設“第一次投進球”為事務A，“其次次投進球”為事務B，則得2分的概率為P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.3．甲騎自行車從A地到B地，途中要經過3個十字路口．已知甲在每個十字路口遇到紅燈時的概率都是eq\f(1,3)，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第3個路口才首次遇到紅燈的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9) C．eq\f(4,27) D．eq\f(1,27)【解析】選C.由于甲在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，所以甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第3個路口遇到紅燈的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).4．(2024·西安高二檢測)甲、乙、丙三位學生用計算機聯(lián)網學習數學，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為eq\f(4,5)，乙及格的概率為eq\f(3,5)，丙及格的概率為eq\f(7,10)，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為()A．eq\f(3,20) B．eq\f(42,135)C．eq\f(47,250) D．以上都不對【解析】選C.因為甲及格的概率為eq\f(4,5)，乙及格的概率為eq\f(3,5)，丙及格的概率為eq\f(7,10)，所以僅甲及格的概率為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(24,250)；僅乙及格的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＝eq\f(9,250)；僅丙及格的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(7,10)＝eq\f(14,250)；三人中只有一人及格的概率為：eq\f(24,250)＋eq\f(9,250)＋eq\f(14,250)＝eq\f(47,250).5．甲、乙同時炮擊一架敵機，已知甲擊中敵機的概率為0.3，乙擊中敵機的概率為0.5，則敵機被擊中的概率為________．【解析】依據獨立事務與獨立事務的概率公式可得，甲乙都沒有擊中敵機的概率為(1－0.3)×(1－0.5)＝0.35，由對立事務的概率公式可得，敵機被擊中的概率為1－0.35＝0.65.答案：0.656．(2024·濰坊高二檢測)在三角形ABC中，一機器人從三角形ABC上的每一個頂點移動到另一個頂點，(規(guī)定：每次只能從一個頂點移動到另一個頂點)，而且按逆時針方向移動的概率為順時針方向移動的概率的3倍，假設現在機器人的初始位置為頂點A處，則通過三次移動后返回到A處的概率為________．【解析】設順時針方向移動的概率為p，則逆時針方向移動的概率為3p，所以3p＋p＝1，所以p＝eq\f(1,4)，所以順時針方向移動的概率為eq\f(1,4)，逆時針方向移動的概率為eq\f(3,4)，初始位置為頂點A處，則通過三次移動后返回到A處，共有兩種狀況：三次都逆時針的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，三次都順時針方向移動的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，所以通過三次移動后返回到A處的概率為eq\f(27＋1,64)＝eq\f(7,16).答案：eq\f(7,16)(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．隨機揣測“選擇題”的答案，每道題猜對的概率為0.25，則兩道選擇題至少猜對一道的概率約為()A．eq\f(7,16)B．eq\f(1,16)C．eq\f(9,16)D．eq\f(3,8)【解析】選A.每道題猜對的概率為0.25＝eq\f(1,4)，則猜錯的概率為eq\f(3,4)，由獨立事務概率的計算公式得：兩道選擇題都猜錯的概率為eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)，所以至少猜對一道的概率為1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16).2．甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事務A：“甲擊中目標”，事務B：“乙擊中目標”，則事務A與事務B()A．相互獨立但不互斥 B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥 D．既不相互獨立也不互斥【解析】選A.對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事務A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事務A與B可能同時發(fā)生，所以事務A與B不是互斥事務．3．(2024·煙臺高二檢測)第三屆中國國際進口博覽會期間，甲、乙、丙三家中國企業(yè)都有意向購買同一種型號的機床設備，他們購買該機床設備的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且三家企業(yè)的購買結果相互之間沒有影響，則三家企業(yè)中恰有1家購買該機床設備的概率是()A．eq\f(23,24) B．eq\f(5,24) C．eq\f(11,24) D．eq\f(1,24)【解析】選C.設“甲企業(yè)購買該機床設備”為事務A，“乙企業(yè)購買該機床設備”為事務B，“丙企業(yè)購買該機床設備”為事務C，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，則P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，設“三家企業(yè)中恰有1家購買該機床設備”為事務D，則P(D)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).4．(2024·天津高二檢測)某中學組織高三學生進行一項實力測試，測試內容包括A，B，C三個類型問題，這三個類型所含題目的個數分別占總數的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).現有3名同學獨立地從中任選一個題目作答，則他們選擇的題目所屬類型互不相同的概率為()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,12) C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)【解析】選C.3名同學選擇的題目所屬類型互不相同，則A，B，C三個類型的問題都要入選，則3名同學的選法共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種狀況，每個類型入選的可能為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，所以全部入選的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，則3名同學所選不同類型的概率為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．下列各對事務中，不是相互獨立事務的有()A．運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”D．甲、乙兩運動員各射擊一次，“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”【解析】選ACD.在A中，甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個事務不行能同時發(fā)生，二者是互斥事務，不獨立；在B中，甲、乙各射擊一次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響，二者是相互獨立事務；在C中，甲，乙各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”不行能同時發(fā)生，二者是互斥事務，不獨立；在D中，設“至少有1人射中目標”為事務A，“甲射中目標但乙未射中目標”為事務B，則AB＝B，因此當P(A)≠1時，P(AB)≠P(A)·P(B)，故A，B不獨立．6．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是()A．2個球都是紅球的概率為eq\f(1,6)B．2個球不都是紅球的概率為eq\f(1,3)C．至少有1個紅球的概率為eq\f(2,3)D．2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,2)【解析】選ACD.設“從甲袋中摸出一個紅球”為事務A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事務A2，則P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2獨立；在A中，2個球都是紅球為A1A2，其概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正確；在B中，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事務，其概率為eq\f(5,6)，B錯誤；在C中，2個球中至少有1個紅球的概率為1－P()P()＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正確；2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．A，B，C三人將參與某項測試，三人能否達標互不影響，已知他們能達標的概率分別是eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，則三人都能達標的概率是________，三人中至少有一人能達標的概率是________．【解析】A，B，C三人將參與某項測試，三人都能達標的概率是eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,25)，都沒有達標的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,25)，因此A，B，C三人中至少有一人能達標的概率是1－eq\f(1,25)＝eq\f(24,25).答案：eq\f(6,25)eq\f(24,25)8．(2024·長沙高二檢測)一個不透亮的箱中原來裝有形態(tài)、大小相同的1個綠球和3個紅球．甲、乙兩人從箱中輪番摸球，每次摸取一個球，規(guī)則如下：若摸到綠球，則將此球放回箱中可接著再摸；若摸到紅球，則將此球放回箱中改由對方摸球，甲先摸球，則在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的概率是________．【解析】設“甲摸到綠球”的事務為A，則P(A)＝eq\f(1,4)，“甲摸到紅球”的事務為eq\x\to(A)，則P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,4)，設“乙摸到綠球”的事務為B，則P(B)＝eq\f(1,4)，“乙摸到紅球”的事務為eq\x\to(B)，則P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的狀況是AAeq\x\to(A)(B＋eq\x\to(B))，Aeq\x\to(A)eq\x\to(B)A，eq\x\to(A)eq\x\to(B)AA，所以P＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×1＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(15,128).答案：eq\f(15,128)四、解答題(每小題10分，共20分)9．某中學為了豐富學生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是同學們最感愛好的3對3籃球對抗賽，現有甲乙兩隊進行競賽，甲隊每場獲勝的概率為eq\f(2,5).且各場競賽互不影響．(1)若采納三局兩勝制進行競賽，求甲隊獲勝的概率；(2)若采納五局三勝制進行競賽，求乙隊在第四場競賽后即獲得成功的概率．【解析】設Ai(i＝1，2，3，4，5)表示甲隊在第i場競賽獲勝(1)所求概率為P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(44,125)(2)所求概率為P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×3＝eq\f(162,625).10．為了實現中國夢的構想，在社會主義新農村建設中，某市確定在一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農產品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個項目，據預料，三個項目成功的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，eq\f(2,3)，且三個項目是否成功相互獨立．(1)求恰有兩個項目成功的概率；(2)求至少有一個項目成功的概率．【解析】(1)只有農產品加工和綠色蔬菜種植兩個項目成功的概率為eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，只有農產品加工和水果種植兩個項目成功的概率為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目成功的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有兩個項目成功的概率為eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三個項目全部失敗的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,90)，所以至少有一個項目成功的概率為1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的家鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方．在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠實行“三蘇文化”學問競賽．已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為eq\f(2,3)，乙隊