玻耳茲曼分布熱力學(xué)

§6.6玻耳茲曼分布一.最可幾分布二.麥克斯韋—玻耳茲曼分布三.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的最可幾分布＊.數(shù)學(xué)補(bǔ)充：1.Lagrange不定乘子法2.Stirling公式數(shù)學(xué)補(bǔ)充：Lagrange不定乘子法：存在約束條件的多元函數(shù)的極值問題約束條件多元函數(shù)的極值應(yīng)由下式確定由于xi不完全獨(dú)立，Lagrange引入不定乘子法。1)每個(gè)約束方程的全微分2)f的全微分3)約束條件下求函數(shù)極值等效于求：拉氏乘子即：拉氏函數(shù)即3)令每一個(gè)dxi

的系數(shù)等于零約束條件m+n個(gè)方程求解m+n個(gè)未知量總結(jié)：約束條件：求函數(shù)極值：約束條件下求函數(shù)極值等效于求：拉氏乘子拉氏函數(shù)Stirling公式：更精確的公式：取對數(shù)得一.最概然（可幾）分布等概率原理分布---微觀狀態(tài)含微觀態(tài)數(shù)多的分布出現(xiàn)的概率大例：則{al}出現(xiàn)的概率大于{al′}和{al′′}最概然分布：含微觀態(tài)數(shù)最多的分布出現(xiàn)的概率最大，叫最概然分布二、玻耳茲曼分布1.定義：玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子的最概然分布2.玻耳茲曼分布的導(dǎo)出：(1)分布{al}對應(yīng)的玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為：Ω是

{al}的函數(shù)。最概然分布是使Ω最大的分布Ω很大且lnΩ隨Ω單調(diào)增減，故Ω極大等價(jià)于lnΩ極大兩邊取對數(shù)：假設(shè)所有al都很大，利用Stirling公式，得：約束條件：(3)變分：為求lnΩ

極大，令al有一個(gè)虛變動(dòng)δal

，則lnΩ

也有虛變動(dòng)δlnΩlnΩ有極大值，須約束條件要求：(4)Lagrange不定乘子法求極大值：約束條件：求函數(shù)極值：約束條件下求函數(shù)極值等效于求：------玻耳茲曼分布須每項(xiàng)系數(shù)均為零------玻耳茲曼分布聯(lián)合約束條件可以確定α,β：3.討論：(1)玻耳茲曼分布給出了最概然分布下εl上的粒子數(shù)令fs代表處在能級εl上的一個(gè)量子態(tài)εs上的平均粒子數(shù)------也稱玻耳茲曼分布(2)我們只證明了lnΩ的一級變分等于零，還應(yīng)該證明

lnΩ的二級變分小于零(3)玻耳茲曼分布所包含的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)，幾乎

等于所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)![說明]若與玻耳茲曼分布有一個(gè)小的偏差Δal,那么Ω有一個(gè)相應(yīng)的ΔΩ假設(shè)與玻耳茲曼分布的偏差很小，那么這個(gè)估計(jì)說明，即使與最概然分布有極小的偏差，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比也是幾近于零的。最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù)!(4)推導(dǎo)中使用的近似條件al>>1,ωl>>1實(shí)際上往

往并不能滿足。系綜理論會給出更嚴(yán)格的推導(dǎo)。(5)推導(dǎo)是針對單元系的，可以推廣到多元系的情況。三、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的最可幾分布α,β可由下式確定：兩種粒子N、N’，總能量E，體積V，分布{al

}和{al’}須滿足才可以實(shí)現(xiàn)作業(yè)：6.56.5提示：§6.7玻色分布和費(fèi)米分布一.對應(yīng)于一分布{al}的平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)(N,E,V)約束條件：玻色系統(tǒng)：費(fèi)米系統(tǒng)：二.最概然分布：玻色、費(fèi)米約束條件下求函數(shù)極值問題1.玻色系統(tǒng)的最概然分布推導(dǎo)若假設(shè)al

>>1

，ωl

>>1

可得利用Stirling公式，得：虛變動(dòng)：------玻色分布約束條件：拉氏函數(shù)：2.費(fèi)米系統(tǒng)的最概然分布推導(dǎo)假設(shè)------費(fèi)米分布類似玻色分布推導(dǎo)可得：取對數(shù)：并用stirling公式：微觀態(tài)數(shù)：玻耳茲曼分布：§6.8三種分布的關(guān)系玻色分布：費(fèi)米分布：約束條件：玻色分布和費(fèi)米分布過渡到玻耳茲曼分布若：一、極限條件：經(jīng)典極限條件非簡并條件此時(shí)，二、的意義：2.說明1.(1)1/N!

對求極值無影響;(2)定域粒子組成的系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布；(3)定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典條件的玻色（費(fèi)米）系統(tǒng)的差別；定域系統(tǒng)------