3.2 勾股定理的逆定理 同步練習

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理基礎過關全練知識點1勾股定理的逆定理1.(2023江蘇連云港期末)△ABC的三邊長分別為a，b，c.下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)為()①∠A=∠B-∠C； ②a2=(b+c)(b-c)；③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5； ④a∶b∶c=5∶12∶13.A.1 B.2 C.3 D.42.如圖，在△ABC中，AB=BC=CA=4cm，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為ts，當t=時，△BPQ是直角三角形.3.【數(shù)形結(jié)合思想】△ABC中，已知AB=9cm，BC=17cm，AC=10cm(1)判斷△ABC是不是直角三角形；(2)求△ABC的面積.知識點2勾股數(shù)4.觀察下列幾組有規(guī)律的勾股數(shù)，并填空：①610；②817；③1026；④1237，則第⑤組勾股數(shù)為.

能力提升全練5.(2021湖南常德中考)閱讀理解：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m=a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù).其中正確的是()A.②④ B.①②④ C.①② D.①④6.(2023江蘇蘇州相城月考)如圖，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10.AD為△ABC的角平分線，CD的長度為()A.2 B.52 C.3 D.7.(2022湖北黃岡、孝感、咸寧中考)勾股定理最早出現(xiàn)在我國古代著作《周髀算經(jīng)》中：“勾廣三，股修四，徑隅五.”觀察下列勾股數(shù)：35；513；725；……，這類勾股數(shù)的特點是勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：610；817；……，若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m為正整數(shù))，則其弦是(用含m的式子表示).

8.(2023江蘇蘇州昆山期中)如圖，在△ABC中，直線EF、MN分別為線段AB、AC的垂直平分線，交BC于點F、N，若BF=4，F(xiàn)N=3，CN=5，則S△ABC=.

9.(2023江蘇連云港期末)如圖，在△ABC中，BC=6，AC=8，DE⊥AB，DE=7，△ABE的面積為35.(1)求AB的長；(2)求△ACB的面積.素養(yǎng)探究全練10.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連接PA，PB，PC，以BP為一邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ.(1)觀察并猜想AP與CQ的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；(2)若PB=8，PA=6，PC=10，求∠APB的度數(shù).11.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，則有a2+b2=c2；當△ABC為銳角三角形時，小明猜想：a2+b2>c2.理由：如圖②，過點A作AD⊥CB于點D，設CD=x.在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2，∴b2-x2=c2-(a-x)2，∴a2+b2=c2+2ax，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2，∴當△ABC為銳角三角形時，a2+b2>c2，所以小明的猜想是正確的(1)請你猜想，當△ABC中∠C為鈍角時，a2+b2與c2的大小關系，不用證明；(2)在圖③中，作BC邊上的高；(3)證明你猜想的結(jié)論. 圖① 圖② 圖③

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理答案全解全析基礎過關全練1.C①由∠A=∠B-∠C可得∠B=90°，∴△ABC是直角三角形；②由a2=(b+c)(b-c)可得a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形；③由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5可得∠C=75°，∠B=60°，∠A=45°，∴△ABC不是直角三角形；④由a∶b∶c=5∶12∶13可得a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形.故選C.2.答案2或16解析若△BPQ是直角三角形，則∠BPQ=90°或∠BQP=90°.①當∠BPQ=90°時，Q與A重合，CQ=CA=4cm，此時t=4÷2=2；②當∠BQP=90°時，由題意可得△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BPQ=90°-60°=30°，∴BQ=12BP，即8-2t=12t，解得t=故當t=2或165時，3.解析(1)∵AB2+CA2=92+102=181，BC2=172=289，∴AB2+CA2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形.(2)如圖，作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，設AD=xcm，則BD=(x+9)cm，∵∠D=90°，∴CD2=BC2-BD2，又∵CD2=AC2-AD2，∴BC2-BD2=AC2-AD2，∴172-(x+9)2=102-x2，解得x=6，∴AD=6，∴CD2=102-62=64，∴CD=8，∴S△ABC=12AB·CD=12×9×8=36(cm答：△ABC的面積是36cm2.4.答案1450解析根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可知第○n組勾股數(shù)中的第一個數(shù)是2(n+2)，第二個數(shù)是(n+1)·(n+3)，第三個數(shù)是(n+2)2+1，故第⑤組勾股數(shù)是1450.能力提升全練5.C①∵7不能表示為兩個正整數(shù)的平方和，∴7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確.②∵13=22+32，∴13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確.③兩個廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯誤.④設m1=a2+b2，m2=c2+d2，則m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.當ad=bc時，ad-bc=0，∴兩個廣義勾股數(shù)的積不一定是廣義勾股數(shù)，如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2×2=4，4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯誤.∴正確的是①②.故選C.6.C如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AB2=100，AC2+BC2=62+82=100，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.∵AD為△ABC的角平分線，∴CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6.在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2，∴(8-CD)2=CD2+(10-6)2，解得CD=3.故選C.7.答案m2+1解析∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設其股是a，則弦為a+2.∴(2m)2+a2=(a+2)2.解得a=m2-1.∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.故答案為m2+1.8.答案24解析∵直線EF、MN分別為線段AB、AC的垂直平分線，∴AF=BF=4，AN=CN=5.∵FN=3，∴BC=BF+FN+CN=12，AF2+FN2=42+32=52=AN2，∴∠AFN=90°，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC·AF=19.解析(1)∵△ABE的面積為35，DE=7，DE⊥AB，∴12AB×7=35解得AB=10.(2)在△ABC中，AB2=102=100，BC2+AC2=62+82=100，∵AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∴S△ABC=12AC·BC=1答：△ACB的面積為24.素養(yǎng)探究全練10.解析(1)AP=CQ.證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB，∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°，∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，AB=CB,∴△ABP≌△CBQ(SAS)，∴AP=CQ.(2)連接PQ，如圖所示.∵△ABP≌△CBQ，∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ，∠PBQ=60°，∴△PBQ為等邊三角形，∴PQ=PB=8，∠BQP=60°，在△PQC中，PQ=8，CQ=AP=6，PC=10，∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2，∴∠PQC=90°，∴∠BQC=90°+60°=150°，∴∠APB=∠BQC=150°.11.解析(1)當△ABC中∠C為鈍角時，a2+b2與c2的大小關系