第14講 重難點02三角形中“飛鏢”模型（學生版）-七升八數(shù)學暑假銜接（人教版）

重難點02三角形中“飛鏢”模型【知識梳理】飛鏢模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.【考點剖析】一．選擇題（共4小題）1．（2022春?龍崗區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)有一點D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是（）A．100° B．80° C．70° D．50°2．（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°3．（2021秋?藁城區(qū)校級月考）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度數(shù)是（）A．61° B．60° C．37° D．39°4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°二．填空題（共1小題）5．（2022秋?富陽區(qū)期中）如圖，作CE⊥AF于點E，CE與BF相交于點D，若∠F＝45°，∠C＝30°，則∠A＝°，∠DBC＝°．三．解答題（共11小題）6．（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．7．（2022春?樂平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點O．（1）當∠BAC為銳角時，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）當∠BAC為鈍角時，如圖2，請在圖2中畫出相應的圖形（用三角尺），并回答（1）中結論是否成立？不需證明．8．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為對角線BD上一點，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延長線于點F．求證：FB＝DB．9．（2023?太原二模）如圖，在凹四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝55°，∠D＝20°，求∠BCD的度數(shù)．下面是學習小組的同學們交流時得到的解決問題的三種方法：方法一：作射線AC；方法二：延長BC交AD于點E；方法三：連接BD．請選擇上述一種方法，求∠BCD的度數(shù)．10．（2023?興慶區(qū)校級模擬）問題提出（1）如圖①，已知∠AOB，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N，分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C，畫射線OC，連接CM，CN，MN，則圖①中與△OMC全等的是；問題探究（2）如圖②，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點D作DM⊥AB于點M，連接CD，BD，若AB+AC＝2AM，求證：∠ACD+∠ABD＝180°；問題解決（3）如圖③，工人劉師傅有一塊三角形鐵板ABC，∠B＝60°，他需要利用鐵板的邊角裁出一個四邊形BEFD，并要求∠EFD＝120°，EF＝DF．劉師傅先在紙稿上畫出了三角形鐵板的草圖，再用尺規(guī)作出∠BAC的平分線AD交BC于點D，作∠BCA的平分線CE交AB于點E，AD，CE交于點F，得到四邊形BEFD．請問，若按上述作法，裁得的四邊形BEFD是否符合要求？請證明你的結論．11．（2020秋?金州區(qū)校級期末）如圖，BD，CE是△ABC的高，若AE＝3，AD＝4，CD＝1．求EB的長．12．（2021秋?安寧市校級期中）如圖，求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．13．（2020春?如東縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請直接寫出∠DCE的度數(shù)（用含α和β的式子表示）；③如圖4，∠ABD，∠ACD的12等分線相交于點G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度數(shù)．14．（2021秋?東源縣校級期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結果；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數(shù)．15．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．16．（2023春?黑山縣期中）如圖：直線CD是經(jīng)過∠ACB頂點C的一條直線，AC＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠AEC＝∠CFB＝∠α．【數(shù)學思考】（1）若直線CD是經(jīng)過∠ACB的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．請解決下面兩個問題：①如圖1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，則AECF（填＞，＜或＝），猜測線段EF與線段AE、BF的數(shù)量關系，并證明你的猜想；②如圖2，若0°＜∠ACB＜90°，當∠ACB與∠α之間滿足時，能夠使得①中的結論仍然成立，并證明兩個結論．【問題拓展】（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，請直接寫出EF、AE、BF三條線段的數(shù)量關系．【過關檢測】一．選擇題1．如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°2．（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無法確定3．（2022秋·八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．4．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．（2022秋·八年級課時練習）如圖，已知BE，CF分別為△ABC的兩條高，BE和CF相交于點H，若∠BAC=50°，則∠BHC為（）A．115° B．120° C．125° D．130°6．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°二、填空題7．（2023春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）如圖，______°．8．（2022秋·青海西寧·八年級青海師大附中?？茧A段練習）如圖，的度數(shù)為_______．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，若，則____________．10．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．三．解答題11．一個零件的形狀如圖，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，檢驗工人量得∠CDB＝148°，就斷定這個零件不合格，運用三角形的有關知識說明零件不合格的理由．12．如圖：（1）求證：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如果點D與點A分別在線段BC的兩側，猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C這4個角之間有怎樣的關系，并證明你的結論．13．已知：如圖，求證：∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．14．（2022秋·八年級課時練習）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點、，請用表示、；(2)若、的等分線交于點、（、依次從下到上），請用表示，．15．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知分別交的邊、于、，交的延長線于，，，，求的度數(shù).16．（2022秋·八年級課時練習）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點，若，，求的度數(shù).17．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之間的數(shù)量關系為__________．18．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．19．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝50°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數(shù)．20．平面內(nèi)的兩條直線有相交和