頂尖計(jì)劃河南省2023屆高三年級(jí)上冊(cè)第一次考試 數(shù)學(xué)理科試題高中數(shù)學(xué)解析

“頂尖計(jì)劃”2023屆高中畢業(yè)班第一次考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

崔八A={x|X=2〃+3,〃￡N},JB={X|x2-18x-40<0

1.已知集口i,則中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合8,再根據(jù)已知列出不等式，求解判斷作答.

【詳解】解不等式妙―I8x-40＜0得:-2<x<20,即5={x|—2<x<20},而

A=x\X=2〃+3,〃￡N},

517517

由一2<2〃+3<20解得:——<n<—,又〃EN,顯然滿足——＜幾＜一的自然數(shù)有9個(gè),

2222

所以中的元素個(gè)數(shù)為9.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=」^，則2=（）

2+1

3「36

A.1B.-D.3

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

3i3i3i(2+i)36.,36345

【詳解】因?yàn)閦=^=有=(2-i)(2+i)=.W+9’因此'忖=

故選：C.

rr

3.已知非零向量a、b滿足a=匕，且+則<〃,/?>=()

71712兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出(2￡+石)出=0,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出cos的值，結(jié)合平面

向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.

【詳解】因(2a+B)_LB,貝”2Q+B)?B=2卜FWcos<。,五〉+忖=0,

,.,忖=忖，可得cos<a,B>=-g,

-*■—?―(■-*27c

因?yàn)?4<。力〉《兀，因止匕，<a,b>=—.

故選：C.

3

4.某士兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為一，且每次命中與否相互獨(dú)立，則他連續(xù)射擊3次，至

4

少命中兩次的概率為()

279279

A.—B.—C.—D.—

32166432

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.

【詳解】解：因?yàn)槊看蚊心繕?biāo)的概率均為一，且每次命中與否相互獨(dú)立，

4

所以連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率P=[1—=

故選：A.

5.已知函數(shù)/(%)=2sinx+3cos]在兀=。處取得最大值，則以%。=()

A3岳R2V13「2而N3A/13

A.-------D.-------C.---------

13131313

【答案】A

【解析】

【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.

【詳解】/(x)=2sinx+3cosx=V13sin(x+6)),其中。銳角，sin，=3岳

13

TT

因?yàn)楫?dāng)X=0處取得最大值，所以0+，=萬(wàn)+2公乙k0z,

JI

即0=——0+2kji,kGZ,

所以cos夕=cos^-e+ikn

故選：A

6.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)小)滿足〃x)+/(4—x)=0,且當(dāng)了《[—2,2)時(shí)，/(x)=x2—4,則

f(2021)=()

A.-3B.-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探討出函數(shù)”無(wú))的周期，再結(jié)合已知函數(shù)式求解作答.

【詳解】因R上的偶函數(shù)/(工)滿足/(%)+/(4-幻=0,即有"4—x)=—/(%)=—"—%),則

/(8-x)=-/(4-x)=/(-x),

因此，函數(shù)/(X)是周期為8的周期函數(shù)，/(2021)=7(252X8+5)=/(5)=—/(—1)=-[(-I)2-4]=3.

故選：D

7.我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述「'今有圓堡墻(dao),周四丈八尺，高一丈一尺”，意

思是有一個(gè)圓柱，底面周長(zhǎng)為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表面積約為()(注:1丈=10

尺，萬(wàn)取3)

A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意作圖，再由底面周長(zhǎng)求得底面半徑，連接上下底面圓心，取中點(diǎn)為外接圓的圓心，根據(jù)

勾股定理，可得外接圓半徑，可得答案.

【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：

則6C=11,2/AB=48,即AB=8,

假設(shè)點(diǎn)。為圓柱外接圓的圓心，即AO為外接圓的半徑，且5D=DC=—,

2

在RtZ\ABD中，AB*2+BD2=AD~解得AD2=94.25，

則外接球的表面積S=4萬(wàn)-A。？=U31，

故選：B.

8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去AB,C三個(gè)不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每個(gè)小區(qū)至少

去1人，每人只去1個(gè)小區(qū)，且甲、乙去同一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法有（）

A.28種B.32種C.36種D.42種

【答案】C

【解析】

【分析】先將甲、乙看成一個(gè)元素,然后先分組后排列可得.

【詳解】將甲、乙看成一個(gè)元素4然后將A、丙、丁、戊四個(gè)元素分為3組，共有=6種,再

將3組分到3個(gè)不同小區(qū)有A；=6種，所以滿足條件的安排方法共有6x6=36種.

故選：C

9.已知角c的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（狐T）,其中m<0,若

7[nm

cos2a=---,則tana+

25I~T()

142

A.2B.——C.——D.

234

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)定義求出tanc,再利用二倍角的余弦公式結(jié)合齊次式法求解作答.

222

■、斗即、什日古上，42??coscif-sincif1-tana7

【詳角?！恳李}思，tana--->0,又cosla=cosa-sina=—z------i-=----i----

mcosa+sina1+tana25

4

解得tana=—，從而得加=一3,所以

3

sing-fcos?

,7raI、,3兀、13

tant6zH---)=tsn(a----)=

22cosCtz-^)-Sinatana4

故選：D

10.過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)R且斜率為—I的直線交。于A、B(其中A在x軸上方)兩

點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)且|A3|=16,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝|」|。閭=()

A.2B.272C.2A/3D.275

【答案】D

【解析】

【分析】將直線A3的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出"的值,

可求得點(diǎn)/的坐標(biāo)，再利用平面間兩點(diǎn)間的距離公式可求得10Ml的值.

【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)為/準(zhǔn)線方程為x=-T，

直線AB的方程為y=—[x—,設(shè)點(diǎn)A（X],yJ、B（%2,j2）,

聯(lián)立<,=一1%—萬(wàn)]可得x2_3px+乏=0,A=9p2-p2>0,

2D4

[y=2px

由韋達(dá)定理可得+%2=3。，則=%+w+。=4，=16,可得j?=4,

JQ------

可得《2,即點(diǎn)M（—2,4）,

y=P

因此，\OM\=^（-2）2+42=2^/5.

故選：D.

11.已知/。)=2/+(4—2)d—3x是奇函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)P(—l,2)向曲線y=〃尤)可作的切線條數(shù)是()

A.1B.2C.3D.不確定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出。，再求出函數(shù)〃無(wú))的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程

求解作答.

【詳解】因函數(shù)/*)是奇函數(shù)，則由/(-%)+/(%)=0得2(a—2)爐=0恒成立，則。=2,

即有/(x)=2x3-3x,/(x)=6"3,

設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-l,2)向曲線y=/(%)所作切線與曲線y=/(x)相切的切點(diǎn)為Q(x0,2片—3%),

而點(diǎn)P(—1,2)不在曲線y=f(x)上，則6片-3=2%-3%-2,整理得以；+6焉—1=0,

%+1

即(2%+1)(2只+2/-1)=0,解得x0=_g或/=T；百,即符合條件的切點(diǎn)有3個(gè)，

所以過(guò)點(diǎn)尸(一1,2)向曲線y=f(x)可作的切線條數(shù)是3.

故選：C

22

12.設(shè)雙曲線「：.―2T=1(?！?涉〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)耳(—c,0),鳥(niǎo)(c,0),過(guò)點(diǎn)p(—2c,o)且斜

率為J的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),若|PN|=3|PM|,且直線&N的斜率為3,

則r的離心率為()

A.叵B.叵C.立D.好

2222

【答案】B

【解析】

【分析】通過(guò)題意可以得到直線PN和直線N&的方程，兩條方程聯(lián)立可以得到N的坐標(biāo)，代入雙曲線

即可求出答案

【詳解】解：由題意可得直線尸N的方程為y=g(x+2c),直線N居的方程為y=3(x—c),

，18c

y=—(x+2c)"―5(8c9c)

所以‘2V,，解得:，即N=二,

“\9c<55J

[J=3(x-c)[y=y

222

將M(85c9Tc1代入雙曲線6可4c2得箸81c一魯即2645c/81c

25(C2-?2)-'

64,281=]

所以2525(1—1]—，因?yàn)閑>L所以《=半

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(為=1。82。-1)+。在區(qū)間(2,3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(—1,0)

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解

【詳解】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得了(%)為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù),⑺在(2,3)上有且僅有一個(gè)零

點(diǎn)，

所以/(2>/(3)<0,即a-(a+l)<0,解得—l<a<0,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,0),

故答案為：(—1,0)

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):/(%)=.

/"(x2)；②

①/(%1X2)=/(xJ+當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(尤)單調(diào)遞減;③/(X)為偶函數(shù).

【答案】logJH(不唯一)

2

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可做出判斷.

【詳解】性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底0<“<1即可，性質(zhì)③只需將自變量X加絕對(duì)

值即變成偶函數(shù).

故答案為：i°g/N(不唯一)

2

15.已知平面上的動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)0(0,0)和A(2,0)的距離之比為且，則點(diǎn)P到x軸的距離最大值為.

2

【答案】473

【解析】

【分析】設(shè)P(x,y),然后根據(jù)題意列方程化簡(jiǎn)可得點(diǎn)尸的軌跡是以(-6,0)為圓心，4出為半徑的圓，從

而可求得答案.

【詳解】設(shè)P(x,y),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)。(0,0)和A(2,o)的距離之比為更,

2

所以

x2+y2_3

(x-2)2+y2-4)

4x2+4y2=3(%2-4x+4)+3y2,

x2+y2+12x^12

(x+6)2+V=48,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以(-6,0)為圓心，為半徑的圓，

所以點(diǎn)尸到x軸的距離最大值為4G，

故答案為：4^/3

16.微型航空遙感技術(shù)以無(wú)人機(jī)為空中遙感平臺(tái)，為城市經(jīng)濟(jì)和文化建設(shè)提供了有效的技術(shù)服務(wù)手段.如圖

所示，有一架無(wú)人機(jī)在空中P處進(jìn)行航拍，水平地面上甲、乙兩人分別在A8處觀察該無(wú)人機(jī)(兩人的身

高忽略不計(jì))，。為無(wú)人機(jī)在水平地面上的正投影.已知甲乙兩人相距100m,甲觀察無(wú)人機(jī)的仰角為

45°，若再測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小就可以確定無(wú)人機(jī)的飛行高度尸C，則這兩個(gè)角可以是.(寫(xiě)出所有符

合要求的編號(hào))

①44c和NABC；②44c和NR4B;

③和NPA4；④NR4B和NABC

【答案】①③④

【解析】

【分析】①：根據(jù)已知先解AABC得AC,然后可得；②：根據(jù)已知直接判斷可知；③：先解APAB得

PA,然后可得；④：先由最小角定理的N54C,解AABC可得AC,然后可得.

【詳解】①：當(dāng)已知的C和NA3C時(shí)，在AABC利用內(nèi)角和定理和正弦定理可得AC,然后在

■△R4c中，由三角函數(shù)定義可得PC,故①正確；

②：當(dāng)已知NBAC和NR43時(shí)，在AABC已知一角一邊，在△PAB中已知一角一邊，顯然無(wú)法求解，故

②錯(cuò)誤；

③：當(dāng)已知和NPA4時(shí)，在中已知兩角一邊，可解出B4,然后在Rt^R4c中，由三角函

數(shù)定義可得PC,故③正確；

?：當(dāng)已知NR45和NA5C時(shí)，可先由最小角定理求得㈤C,然后解AABC可得AC,最后在

入△PAC中，由三角函數(shù)定義可得PC,故④正確.

故答案為：①③④

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題:共60分.

17.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為5“，已知&=1,§5=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

1b+3，、

(2)若外2。=字廠，求數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和小

a”乙

【答案】(1)4=2〃—3

(2)7；=(2n-5)x2"+1+10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式列方程組直接求解可得;

(2)由錯(cuò)位相減法可得.

【小問(wèn)1詳解】

,、fa,+d=1,[a,=—1

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d，由題設(shè)可得L，八，《解得C

tn)[5%+10d=15[d=2,

所以%=-1+(71-1)x2=2M-3.

【小問(wèn)2詳解】

b”b

由⑴知log2=n,所以一^二2〃

2n-32〃一3

可得么=(2〃—3)x2〃,

所以7；=—1x2+1x22+3x23+.??+（2〃-5）x2"T+（2〃一3）x2”①

27；,=-lx22+lx23+3x24+---+（2n-5）x2"+（277-3）x2,,+1@

②減①可得：

7；,=1X2-23-24-----2,,+1+（2n-3）x2,,+1

8X（1—2,T）

1-2

=（2］一5）x2""+10

18.某工廠共有甲、乙兩個(gè)車(chē)間，為了比較兩個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)水平，分別從兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的同一種零件中各

隨機(jī)抽取了100件，它們的質(zhì)量指標(biāo)值加統(tǒng)計(jì)如下：

質(zhì)量指標(biāo)值掰[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

甲車(chē)間（件）152025319

乙車(chē)間（件）510153931

（1）估計(jì)該工廠生產(chǎn)這種零件的質(zhì)量指標(biāo)值加的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表（表中數(shù)據(jù)單位:件），并判斷是否有99%的把握認(rèn)為甲、乙

兩個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)水平有差異.

m<60m>60合計(jì)

甲車(chē)間

乙車(chē)間

合計(jì)

附:K'=--------'-)----------，其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

P(K2>k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)58；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99%把握認(rèn)為甲乙兩個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)水平有差異.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的數(shù)表，求出各組數(shù)據(jù)的頻率，再列式計(jì)算作答.

(2)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算長(zhǎng)2的觀測(cè)值，再與臨界值比對(duì)作答.

【小問(wèn)1詳解】

由所給數(shù)據(jù)，各組的頻率分別為01，0.15,0.2,0.35,0.2,

所以該工廠生產(chǎn)這種零件的質(zhì)量指標(biāo)值加的平均數(shù)的估計(jì)值為：

10x0.1+30x0.15+50x0.2+70x0.35+90x0.2=58.

【小問(wèn)2詳解】

2x2列聯(lián)表如下：

m<60mN60合計(jì)

甲車(chē)間6040100

乙車(chē)間3070100

合計(jì)90110200

所以K?=200x(60x70-40x30)2

?18.182

-100x100x90x110

因?yàn)?8.182大于6.635,所以有99%把握認(rèn)為甲乙兩個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)水平有差異.

19.如圖，在直三棱柱A3C-44G中，/ACB=90°,A41=24。=8。=4,/為棱441上靠近4的三

等分點(diǎn)，N為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱3C上，且直線PN〃平面BMC.

(1)求PC的長(zhǎng);

（2）求二面角P—BM—￡的余弦值.

2

【答案】（1）PC=—

3

⑵叵

110

【解析】

【分析】（1）在CG上取一點(diǎn)Q,使得CP=CQ,根據(jù)面面平行判定定理證明平面尸QN〃平面

再根據(jù)面面平行性質(zhì)定理確定CQ長(zhǎng)即可，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面的法

向量，根據(jù)二面角向量公式求二面角P--G的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

在CG上取一點(diǎn)Q，使得CP=CQ，連接PQ,NQ.

…CQCP

由已知得CQ=AAl=CB,所以=

所以PQ〃5C-

因?yàn)镻QZ平面BMC],BQu平面BMG，

所以PQ〃平面

又因?yàn)镻N〃平面BMC[,PNcPQ=P,PN,NQu平面PQN,

所以平面PQNH平面BMCX.

平面ACCjAjPl平面PQN=QN,平面ACQA；Pl平面BCXM=MCX,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知MCJ/QN.

在矩形ACG4中，可得ACQNS,

CQA.M222

所以而=="所以PC=CQ=§CN=]

【小問(wèn)2詳解】

以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4C5CG所在直線為％y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則C(0,0,0),q(0,0,4),B(0,4,0),M12,0,|

qs=(0,4,-4),C,M=f2,0,-41LW=f2,-4,|W=fo,-1y0,oL

33

設(shè)平面的法向量為克=（%，x，zj,

4%_4Z]=0,

CB-m=0,

則—}，所以4，取馬=3得沅=(2,3,3).

GM?沅=0,2%-§4=0,

設(shè)平面的法向量為O=（X2，%，Z2），

8

2%-4y2+-2=0,

BM-n=0,2

則—所以《取Z2=—3,得為=(4,0,—3).

BP-n=0,

亍2=。，

2x4+0+3x(-3)

所以cos（成㈤=m-nV22

阿,同拉+32+32x^2+(—3)2110

結(jié)合圖可知二面角P-5"-G的余弦值為叵.

110

20.過(guò)橢圓C:—+^=l上任意一點(diǎn)P作直線l:y=kx+p

43

(1)證明:p2?3+4左2;

（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段。尸的中點(diǎn)為V,過(guò)M作/的平行線與C交于兩點(diǎn)，求

AAB尸面積的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)2

2

【解析】

【分析】（1）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消元整理一元二次方程，由題意，該方程有解，則判別式大于等

于零，可得答案.

（2）設(shè)出題目中的兩點(diǎn)，根據(jù)平行，設(shè)出另一條直線，根據(jù)中點(diǎn)，找出兩直線的截距之間的關(guān)系，聯(lián)立

橢圓方程與直線方程，消元整理一元二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)三角形的等積變換，利用分割法，整

理函數(shù)，根據(jù)（1）,可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

f22

土乙日

聯(lián)立彳43一'，消去,整理得：（3+4左2）/+83％+4。2—12=0,

y=kx-\-p,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在C上，所以八=64左2P2—4（4p2—12）（3+41）..0,

化簡(jiǎn)得"2,,3+4左2.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)/:y=fcc+冽，點(diǎn)尸伍，人），則方

由已知得及)=何)+p,所以/

滿足方程y=6+噂，所以冽=々.

即點(diǎn)M2'2J

[22

土匕=]

由<43-'得（3+4左2）f+8近+4加2-12=0,

y-kx+m.

W-12

設(shè)A（玉,%）,5（%,%），則%+々=一;/衣，/%=

JI/1/v3+4/

所以上-%21=J（%1+赴）2-招馬=4國(guó)4k2+3-/

3+4/

26J（4左2+3—療）.

3+4公

3+4H?..

令占“因?yàn)榀?g，-------,所以te

4

3

=J—產(chǎn)+t?2^/3

所以S△

Aiff2

3

所以人鉆尸面積最大值為一.

2

21.設(shè)函數(shù)/(x)=/nx-e"-機(jī)(m^R).

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)X1和萬(wàn)2,設(shè)毛=三三，證明：/(%0)>0(/'(X)為/(%)的導(dǎo)函數(shù)).

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)分切<0、%>0兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)/(%)的增區(qū)間和

減區(qū)間;

mx-e%1-m=0eX1-e巧

(2)由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得出《'}，可得出相=-------，將所證不等式等價(jià)變形為

2

mx2-e-m=0x1-x2

e型_e亨〉芭_(tái)々，令f=^『〉0,即證e'—e-'>2t，構(gòu)造函數(shù)g0)=e'一e"—2/,其中

t>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(。的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?則/'(x)=7"-e'

若〃2<0,對(duì)任意的尤GR,貝='(％)<0,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(9,+?)；

若機(jī)>0,令/'(X)=〃z-e*=0,得x=lnm,

當(dāng)xvln/Tz時(shí)，當(dāng)x>lnm時(shí)，/'(尤)<0.

所以了(%)的增區(qū)間為(一℃,Inm),減區(qū)間為(inm,+oo).

綜上所述，當(dāng)相〈0時(shí)，函數(shù)了(九)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—,+?)；

當(dāng)〃2>0時(shí)，函數(shù)了(%)的增區(qū)間為(一8/11771),減區(qū)間為(1117%+8).

【小問(wèn)2詳解】

mx、一e國(guó)-m=0

證明：不妨令石〉々，由題設(shè)可得<r

mx2一e2一〃=0,

e%1-e^2

兩式相減整理可得m=-------.

2國(guó)+巧

所以/(%)=/1］「］=me=—廠，

12J芯一馬

e*i_e巧—+無(wú)f-xx一西

222

要證/(%)>0,即證---------e>0,即訶二e2一?2>再一12，

占一馬

令/=%二三>0,即證e，—eT>2t，其中/>0

2

構(gòu)造函數(shù)g?)=e'-eT-其中/〉0,

則g'?)=e'+eT—2>2，e'-eT—2=0,所以，函數(shù)g(。在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)/〉0時(shí)，g(r)>g(o)=o,即e'—-'>2/，故原不等式得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或/(*)<8(龍))轉(zhuǎn)化為證明/(X)—g(九)>0(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)九(%)=/(x)