14核心考點(diǎn)突破訓(xùn)練分式計(jì)算及應(yīng)用（原卷版）

1.4突破訓(xùn)練：分式的計(jì)算及應(yīng)用類型體系類型1：與分式有關(guān)的規(guī)律探究典例：觀察下面的變形規(guī)律：，，……解答下面的問題：(1)若n為正整數(shù)，請你猜想___________．(2)若n為正整數(shù)，請你用所學(xué)的知識(shí)證明．鞏固練習(xí)1．觀察下面的等式：，，，……按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論______（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．2．觀察下列等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第個(gè)等式：______；（2）計(jì)算結(jié)果等于______．3．探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：(1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想=___________(2)(3)若，求的值4．附加題：觀察下列等式：，，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①______．②______．(2)仿照題中的計(jì)算形式，猜想并寫出：______．(3)解方程：．5．觀察下列式子：以上變形的過程稱為“分離系數(shù)法”，可以看作是分式加減運(yùn)算的逆運(yùn)算，這是解決有關(guān)分式問題的一種常用的數(shù)學(xué)思想與方法，請同學(xué)們認(rèn)真探索它們的規(guī)律，并回答下列問題：(1)根據(jù)以上式子填空：①．②．(2)按照上述規(guī)律，將分式進(jìn)行“分離系數(shù)法”為常數(shù)，且；(3)當(dāng)x取哪些正整數(shù)時(shí)，分式的值為整數(shù)？6．閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：……(1)填空：＝＝；(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點(diǎn)的一般規(guī)律：．(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：．7．觀察下列式子：，，，，……按照上面式子的規(guī)律，完成下列問題：(1)再寫出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①，②；(2)設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則這個(gè)規(guī)律可用字母x表示為＝（）（不必寫出字母的取值范圍）；(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律．8．觀察下列一組等式：第①個(gè)等式：；第②個(gè)等式：；第③個(gè)等式：；第④個(gè)等式：．根據(jù)你觀察到的規(guī)律，完成以下問題：(1)第⑤個(gè)等式為______；(2)用n的式子表示第個(gè)等式為______；(3)若等式是符合上面規(guī)律的等式，27是的一個(gè)平方根，求a的值．9．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：(1)＝______；＝______；(2)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：+…+．10．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律，，，……(1)試用正整數(shù)n表示這個(gè)規(guī)律：______；(2)當(dāng)時(shí)，試計(jì)算：；(3)請你嘗試解方程：11．觀察下列各等式：①；②；③；④…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明其正確性．12．觀察下列等式：，，，把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．(1)猜想并寫出：＝______．(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；(3)拓展提高：計(jì)算：．13．觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：___________；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式：__________（用含的等式表示），并證明．14．觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：按照以上規(guī)律，解決下列問題；(1)寫出第5個(gè)等式：______；(2)寫出第n個(gè)等式：______（用含n的等式表示），并證明；(3)計(jì)算：15．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格：________；(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數(shù)，且，化簡求的值．16．【閱讀材料】若分式A與分式B的差等于它們的積，即，則稱分式B是分式A的“關(guān)聯(lián)分式”．例如與，解：，，是的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)【解決問題】已知分式，則，的“關(guān)聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）．(2)和諧小組成員在求分式的“關(guān)聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法：解：設(shè)的“關(guān)聯(lián)分式”為B，則，，．請你仿照和諧小組成員的方法求分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(3)【拓展延伸】觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律直接寫出分式的“關(guān)聯(lián)分式”：________．類型2：分式的化簡求值典例：先化簡：，再從一元一次不等式的解集中選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．鞏固練習(xí)1．已知，那么______．2．（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求的值，其中是不等式的非負(fù)整數(shù)解．3．先化簡，再求值：，其中，．4．當(dāng)時(shí)，求的值．5．先化簡，再求值：，其中．6．先化簡，再求值：，從，，0，1，2中選擇一個(gè)有意義的數(shù)求值．7．求代數(shù)式的值，其中．8．已知非零實(shí)數(shù)a、b、c、x、y、z滿足，求的值．9．先化簡，再求值：，其中．10．我們定義：如果一個(gè)代數(shù)式有最大值，就稱之為“青一式”，對應(yīng)的最大值稱之為“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”為4．(1)以下代數(shù)式是“青一式”的有___________（請?zhí)钚蛱?hào)）①

②

③

④(2)如果實(shí)數(shù)請判斷代數(shù)式是否為“青一式”？如果是，請求出它的“青一值”，如果不是，請說明理由．(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此時(shí)x和y滿足何種條件？②求代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”．11．先化簡再求值：(1)，其中(2)，并從，0，2中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．12．已知，求代數(shù)式的值．13．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．14．先化簡：，再從1，，2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值．15．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．15．先化簡，再求值：，其中．17．先化簡，再求值:，其中．18．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．19．先化簡再求值：，其中類型3：與分式有關(guān)的糾錯(cuò)問題典例：學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過程分別如下：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤.請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正.（1）我選擇哪位同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是什么.（3）請寫出正確解答過程.鞏固練習(xí)1．若，為實(shí)數(shù)且滿足，，設(shè)，，有以下個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則下列判斷正確的是(

)A．①對②錯(cuò) B．①錯(cuò)②對 C．①②都錯(cuò) D．①②都對2．在復(fù)習(xí)分式的化簡運(yùn)算時(shí)，老師把兩位同學(xué)的解答過程分別展示如圖，你對兩位同學(xué)解答過程的評價(jià)為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對乙錯(cuò) B．乙對甲錯(cuò) C．兩人都對 D．兩人都錯(cuò)3．在復(fù)習(xí)分式的化簡運(yùn)算時(shí)，老師把兩位同學(xué)的解答過程分別展示如圖，你對兩位同學(xué)解答過程的評價(jià)為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對乙錯(cuò) B．乙對甲錯(cuò) C．兩人都對 D．兩人都錯(cuò)4．為了提升學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)老師采用小組競賽的方法學(xué)習(xí)分式，要求每小組的四個(gè)同學(xué)合作完成一道分式計(jì)算題，每人只能在前一人的基礎(chǔ)上進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成計(jì)算，每做對一步得10分，從哪一步出錯(cuò)，后面的步驟無論對錯(cuò)，全部不計(jì)分．某小組計(jì)算過程如下所示，該組最終得分為（

）………………甲………乙………丙=—2……丁A．10分 B．20分 C．30分 D．40分5．樂陵市某中學(xué)八年級教師為鼓勵(lì)學(xué)生合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了一個(gè)接力游戲——用合作的方式完成分式化簡.規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行下一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況是（

）A．只有甲出錯(cuò) B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁6．已知a、b為實(shí)數(shù)且滿足a1，b1，設(shè)M，N，則下列兩個(gè)結(jié)論（

）①ab1時(shí)，MN；ab1時(shí)，MN.②若ab0,則MN0.A．①②都對 B．①對②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對 D．①②都錯(cuò)7．如圖，是淇淇對分式化簡求值的計(jì)算過程，嘉嘉看了以后說淇淇的計(jì)算步驟中有錯(cuò)誤，則從上一步化簡到下一步時(shí)，開始出錯(cuò)的步驟是（

）

①

②

③④A．① B．② C．③ D．④8．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上，則甲、乙兩塊地的撒播密度比為（）A． B． C． D．9．已知兩個(gè)分式：，；將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作；將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實(shí)際操作，有以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，則；④在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．110．如圖，設(shè)（），則有（）A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞211．有這樣一道題：“化簡求值：其中．”小明誤把寫成，最后的計(jì)算結(jié)果也是正確的，這是什么原因？12．老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題，甲、乙兩位同學(xué)完成的過程分別如下：甲同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤．(1)請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．我選擇______同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）．該同學(xué)的解答從第____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_______；(2)請重新寫出完成此題的正確解答過程：13．（1）計(jì)算：．（2）下面是夏紅同學(xué)對題目的計(jì)算過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：已知，求的值．原式第一步第二步第三步所代入上式，得原式第四步第五步．第六步任務(wù)一：填空：①在化簡步驟中，第______步是進(jìn)行分式的通分．②第_____步開始出錯(cuò)，這一錯(cuò)誤的原因是______．任務(wù)二：請直接寫出該題計(jì)算后的正確結(jié)果．14．計(jì)算時(shí)，小明、小亮兩位同學(xué)的解法如下：小明：

①

②小亮：

③

④(1)判斷：小明、小亮兩位同學(xué)的解題過程有無錯(cuò)誤？若無誤，請直接跳到下一問；若有誤，則找出最先出錯(cuò)的式子：______（填序號(hào)）．(2)請任選一種自己喜歡的解法，完成解答．15．（1）計(jì)算：．（2）下面是小明同學(xué)分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：……第一步……第二步．……第三步①小明的解答過程從第______步開始出錯(cuò)；②請你寫出正確的解答過程．16．請你閱讀圓圓同學(xué)的解題過程，并回答所提出的問題．計(jì)算：＋．圓圓的解法原式＝……①＝……②＝……③問：圓圓在第步開始出錯(cuò)（寫出序號(hào)即可）；請你給出正確的解答過程．17．（1）先化簡，再求值，其中x為方程x2﹣4＝0的根．（2）小剛在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的過程如下：原方程可化為2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步）方程兩邊同時(shí)除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步）小剛的解答過程是從第

步開始出錯(cuò)的，請寫出正確的解答過程．18．（1）解方程：①②（2）學(xué)習(xí)“分式”一章后，老師寫出下面的一道題讓同學(xué)們解答．計(jì)算：，其中小明的解答過程如下：解：原式=………………（第一步）=………………（第二步）=………………（第三步）=………………（第四步）上述計(jì)算過程中，是從第步開始出錯(cuò)，請寫出正確的解答過程．19．下面是小東同學(xué)課堂上進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)問題．（1）填空：①以上化簡步驟中，第步進(jìn)行的是分式的通分，通分的依據(jù)是.即為：；②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；（2）請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：（3）除注意上述錯(cuò)因外，請你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步……第六步……第七步20．（1）計(jì)算：（2）化簡：．小江的解答如下：①②③小江的解答過程從第______步（填“①”或“②”或“③”）開始出錯(cuò)，請你寫出正確的解答過程．58．下面是某同學(xué)在完成作業(yè)本（2）第5題第（2）小題的過程．……①……②……③上面的解題過程________（填“正確”或“錯(cuò)誤”）；如果正確，請寫出每一步的依據(jù)；如果有錯(cuò)，請寫出從第幾步開始出錯(cuò)，并寫出正確的解題過程．21．下面是小明化簡的過程解：＝①＝②＝﹣③（1）小明的解答是否正確？如有錯(cuò)誤，錯(cuò)在第幾步？（2）求當(dāng)x＝時(shí)原代數(shù)式的值．22．某同學(xué)化簡分式出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：解：原式＝

（第一步）＝

（第二步）＝－

（第三步）（1）你認(rèn)為該同學(xué)的解答過程是從第幾步開始出錯(cuò)的？（2）寫出你的解答過程．23．計(jì)算:學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過程分別如下：甲同學(xué)：

①②③④乙同學(xué)：①②③④老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤.請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正.（1）我選擇________同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是________；（3）請寫出正確解答過程.24．某學(xué)生在化簡求值：，其中x＝時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，解答過程如下，原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）當(dāng)x＝是，原式＝（第四步）（1）該學(xué)生解答過程從第步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是．（2）寫出此題的正確解答過程．25．老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)完成的過程分別如下：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答都有錯(cuò)誤．請你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．（1）我選擇同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析．（填“甲”或“乙”）該同學(xué)的解答從第步開始出