14角平分線（備作業(yè)）2021-2022學年八年級數(shù)學下冊(北師大版)

1.4角平分線一、單選題1．如圖，在中，，為的角平分線．若，則點到的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意作出點D到AC的距離ED，再根據(jù)角平分線的性質求解即可．【解析】解：如圖所示，過點D作于點E，則ED的長度為點到的距離．∵為的角平分線，，，，∴ED=BD=4．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到兩邊的距離是解題關鍵．2．點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，∴點P到OB的距離為5，∵點Q是OB邊上的任意一點，∴PQ≥5．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點C到射線OA的距離為（）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：過點C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故選C．【點睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質，角平分線上的點，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質和面積公式是解題關鍵．4．如圖，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內角和求得度數(shù)，則結果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長是()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．6．在中，，AD平分交BC于點D，，則AC長為（）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】過作，垂足為，利用角平分線的性質證出，再利用全等的性質和勾股定理建立等式運算求解即可．【解析】解：過作，垂足為∵為角平分線，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故選：【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，熟悉利用角平分線的性質證三角形全等是解題的關鍵．7．下列說法正確的有（）①角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等②到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上③三角形三個角平分線的交點到三個頂點的距離相等④三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質定理和判定定理逐一判斷即得答案．【解析】解：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，故①正確；在一個角的內部，到一個角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，故②錯誤，三角形三個角平分線的交點到三邊的距離相等，故③錯誤，④正確；綜上，正確的說法是①④，有2個．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．8．如圖，AD平分，于點E，于點F，則下列結論不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”證明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，從而可以利用“SAS”證明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合題意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明△BDE≌△CDF，故D符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．9．如圖，在中，，，，點是三條角平分線的交點，若的面積是，則的邊上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，由題意易得OE=1，然后根據(jù)角平分線的性質定理可求解．【解析】解：過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，如圖所示：∵OC平分∠ACB，∴OE=OF，∵的面積是，AC=3，∴，∴OF=OE=1；故選A．【點睛】本題主要考查角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結論：①∠AOB=90°+∠C；②當∠C=60°時，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】B【分析】由角平分線的定義結合三角形的內角和的可求解∠AOB與∠C的關系，進而判定①；在AB上取一點H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°?∠OBA?∠OAB＝180°?∠CBA?∠CAB＝180°?（180°?∠C）＝90°＋∠C，①錯誤；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°?60°?60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴點O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）?a＝ab，③正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，三角形全等的性質和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關鍵．二、填空題11．如圖，在中，，AD平分，，，則的面積是_______．【答案】5【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質得到DE=DC，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，，∴DE=DC=2，∵，∴△ABD的面積．故答案為：5．【點睛】本題主要考查的是角平分線的性質，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．12．如圖，已知，且，則點C在________的平分線上，點A在________的平分線上．【答案】【分析】連接AC，根據(jù)角平分線的判定定理以及直角三角形的兩個銳角互余的性質解答即可．【解析】解：連接AC，∵，，∴AC平分，∴點C在的平分線上，，∵，∴，∴，即AC平分，∴點A在的平分線上，故答案為：，．【點睛】此題考查角平分線的判定定理，直角三角形的兩個銳角互余的性質，熟記角平分線的判定定理是解題的關鍵．13．如圖，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是_____．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．14．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點E，，，則的面積等于___________．【答案】5【分析】過作于點，由角平分線的性質可求得，則可求得的面積．【解析】解：過作于點，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．15．如圖，在中，，平分交于點．（1）若，，則點到的距離是______；（2）若，點到的距離為6，則的長是______．【答案】315【分析】（1）過點D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，即可求解；（2）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，再求出BD，然后根據(jù)BC=BD+CD計算即可求解．【解析】解：（1）過點D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BCBD=85=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即點D到AB的距離是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案為3；15．【點睛】本題考查角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，解題的關鍵是熟記性質并作出輔助線．16．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為______cm2．【答案】6【分析】過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN,連接AP，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PH=PE=PQ，再根據(jù)三角形的面積求出BC，然后求出AC+AB，再根據(jù)S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC即可得解.【解析】解：如圖，過點P作PH⊥AM，PQ⊥AN，連接AP∵BP和CP為∠MBC和∠NCB角平分線∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC=×AC×PQ+×AB×PH7.5=×3（AC+AB）7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×97.5=6cm2【點睛】本題考查了角平分線上點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，熟記性質是解題的關鍵，難點在于S△ABC的面積的表示．17．如圖，△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，在以下結論中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正確結論的個數(shù)是_______.【答案】2【解析】∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴△ADE≌△ADF∴AE=AF，故正確結論的個數(shù)是2.18．如圖，中，，的角平分線與邊的垂直平分線相交于，交的延長線于點，于，現(xiàn)有下列結論：①；②；③平分；④；其中正確的結論的序號是__________．【答案】①②④【分析】①由角平分線的性質可知①正確；②由題意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝DF，從而可證明②正確；③若DM平分∠ADF，則∠EDM＝90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE＝FC，從而可證明④．【解析】解：如圖所示：連接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．∴①正確．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴ED＝AD．同理：DF＝AD．∴DE＋DF＝AD．∴②正確．③由題意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假設MD平分∠ADF，則∠ADM＝30°．則∠EDM＝90°，又∵∠E＝∠BMD＝90°，∴∠EBM＝90°．∴∠ABC＝90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠ADF．故③錯誤．④∵DM是BC的垂直平分線，∴DB＝DC．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE＝FC．∴AB＋AC＝AE?BE＋AF＋FC又∵AE＝AF，BE＝FC，∴AB＋AC＝2AE．故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．三、解答題19．已知：如圖，，垂足分別為D，E，與相交于點O，平分．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)角平分線性質定理可得，再證明，即可得到答案．【解析】證明：∵平分，∴，在和中，∴∴【點睛】本題考查角平分線性質定理，三角形的性質和判定，靈活應用知識點結合圖形思考分析是解題重點．20．如圖，某市有兩個糧食市場C、D，附近有兩條交叉的公路．現(xiàn)計劃修建一座大型糧倉P，為了運輸方便，希望該糧倉到兩條公路的距離相等，且到兩個糧食市場C、D的距離也相等，請在圖中設計出該糧倉的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，寫清結論．）【答案】答案見解析【分析】到OA和OB的距離相等，則點P在∠AOB的角平分線上；到點C、D的距離也相等，則點P還應該在CD的中垂線上，那么P點就是∠AOB的角平分線和CD中垂線的交點．【解析】【點睛】本題考查角平分線和線段中垂線的實際應用，理解它們的概念才能正確解題．21．如圖所示，已知，DM平分，AM平分．求證：M是BC的中點．【答案】見解析【解析】解析：首先過點M作，再根據(jù)角平分線的性質可得，，進而得到．答案：證明：如圖，過點M作，∵DM平分，，，∴，又∵AM平分，，∴，∴，∴M是BC的中點．題型解法：證明本題的關鍵在于對角平分線性質的理解，以及作出正確的輔助線，從而根據(jù)角平分線的性質解題．22．如圖，點P為和的平分線的交點．求證：點P在的平分線上．【答案】見解析【解析】解析：欲證點P在的平分線上，只需證明點P到AC與CN的距離相等即可，可以分別作出點P到BM，AC，CN的垂線，結合題意證明即可．答案：證明：如圖，過點P作于點E，于點F，于點G，∵點P為和的平分線的交點，∴，，∴，∴點P在的平分線上．23．如圖，一塊余料，，現(xiàn)進行如下操作：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內部相交于點O，畫射線，交于點E．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）40゜【分析】（1）利用平行線的性質及角平分線的性質解答；（2）利用等邊對等角的性質求解．【解析】解：（1）證明：∵，∴．由作圖可知，是的平分線，∴，∴；（2）∵∴．∴．【點睛】此題考查平行線的性質，角平分線的畫法及性質，等邊對等角的性質，熟記角平分線的畫法是解題的關鍵．24．如圖，中，是的角平分線，，求證：．【答案】證明見解析【分析】先利用等角的余角相等得到∠BCD=∠A，再利用角平分線定義得到∠ACE=∠DCE，接著利用三角形外角性質得∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，即∠BEC

=∠BCE，于是可判斷BC=BE，然后根據(jù)等腰三角形的性質易得EF=CF．【解析】CDAB，∠BDC=

90°，∠BCD+∠CBD=

90°，∠A

+∠CBD

=

90°，∠BCD=∠A，CE是∠ACD的角平分線，∠ACE=∠DCE，∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，∠BEC

=∠BCE，

BC

=

BE，，EF=

CF．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，涉及余角的定義，角平分線和三角形外角，有一定綜合性，難度一般，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題關鍵．25．如圖，AD是的角平分線，EF是AD的垂直平分線．求證：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】解析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端的距離相等可得到，再根據(jù)三角形全等得到；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質證明，進而得到，再利用角平分線的性質可得到，利用等量代換可得，再根據(jù)平行線的判定即可得到；（3）根據(jù)三角形內角與外角的關系可得到結論．答案：證明：（1）如圖，連接AE，設AD與EF相交于點Q，∵EF是AD的垂直平分線，∴，，在和中，∵∴（SSS），∴；（2）∵EF是AD的垂直平分線，∴，在和中，∵∴（SSS），∴，∵AD是的角平分線，∴，∴，∴；（3）由（1）知，，∴，又∵，∴，∵，∴．易錯：證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，∴，在和中，∴（SAS），∴．錯因：角不是夾角，隨意找三個條件證明全等．滿分備考：掌握線段的垂直平分線和角平分線的性質與判定的應用，可以快速解決有關線段相等，角相等或距離相等的問題．26．已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點（點E不與點A，點D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關系．【答案】（1）36，126；（2）見解析；（3）【分析】（1），且，再結合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分線，再結合三角形內角和定理即可求解；（2）在上截取，連接，可證，故，，從而可得，所以進而可證得：（3）由，可得，，，又是的平分線，可得，故是的平分線，所以是的平分線，故，又，所以和的數(shù)量關系即可求解．【解析】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126（2）在上截取，連接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點E到CA、CB的距離相等，又∵是的平分線，∴點E到AC、AB的距離相等，∴點E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．【點睛】本題考查了三角形外角