14核心考點(diǎn)突破訓(xùn)練分式計(jì)算及應(yīng)用

1.4突破訓(xùn)練：分式的計(jì)算及應(yīng)用類型體系類型1：與分式有關(guān)的規(guī)律探究典例：觀察下面的變形規(guī)律：，，……解答下面的問(wèn)題：(1)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想___________．(2)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明．解（1）：∵；；，∴．故答案為．（2）證明：∵，∴．鞏固練習(xí)1．觀察下面的等式：，，，……按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論______（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．【答案】【分析】觀察已知等式，可得規(guī)律，用含n的等式表示即可．【詳解】觀察等式可得：，，，∴可得結(jié)論，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查探索規(guī)律及分式得計(jì)算，解題的關(guān)鍵是觀察得到已知等式中的規(guī)律．2．觀察下列等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第個(gè)等式：______；（2）計(jì)算結(jié)果等于______．【答案】

【分析】（1）觀察等式，分母為連續(xù)兩個(gè)偶數(shù)的乘積，分子為2，等式的右邊等于這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)的差；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）由題意得：，故答案為：；（2）觀察下列等式：第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式：；第個(gè)等式為：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想=___________(2)(3)若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知等式得到拆項(xiàng)規(guī)律，寫(xiě)出即可（2）根據(jù)已知等式得到拆項(xiàng)規(guī)律，寫(xiě)出即可（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分別計(jì)算即可【詳解】（1）（2）（3）∵，∴，，∴，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類題目，分式的運(yùn)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字的變化規(guī)律4．附加題：觀察下列等式：，，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問(wèn)題：(1)直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①______．②______．(2)仿照題中的計(jì)算形式，猜想并寫(xiě)出：______．(3)解方程：．【答案】(1)①，②(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法步驟，即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)已知等式歸納拆項(xiàng)法則，寫(xiě)出答案即可；（3）根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：①；②．（2）∵，，……，∴，故答案為：．（3）仿照（2）中的結(jié)論，原方程可變形為：，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．故原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分式方程，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察題目，學(xué)會(huì)拆項(xiàng)變形，通過(guò)觀察數(shù)字之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論．5．觀察下列式子：以上變形的過(guò)程稱為“分離系數(shù)法”，可以看作是分式加減運(yùn)算的逆運(yùn)算，這是解決有關(guān)分式問(wèn)題的一種常用的數(shù)學(xué)思想與方法，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真探索它們的規(guī)律，并回答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)以上式子填空：①．②．(2)按照上述規(guī)律，將分式進(jìn)行“分離系數(shù)法”為常數(shù)，且；(3)當(dāng)x取哪些正整數(shù)時(shí)，分式的值為整數(shù)？【答案】(1)①；②(2)(3)當(dāng)或時(shí)，的值為整數(shù)【分析】（1）根據(jù)分離常數(shù)法，先把分子變形，再分離常數(shù)即可；（2）根據(jù)分離常數(shù)法，先把分子變形，再分離常數(shù)即可；（3）先分離常數(shù)，再根據(jù)分式的值為整數(shù)討論即可．【詳解】（1）解：①．故答案為．②．故答案為．（2）解：；（3）解：，當(dāng)x為正整數(shù)，且為5的約數(shù)時(shí)，的值為整數(shù)，∴或或或時(shí)，的值為整數(shù)，解得（舍去）或（舍去）或或，故當(dāng)或時(shí)，的值為整數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了知識(shí)拓展，分式加減的逆運(yùn)算，以及分式的值為0的條件，熟練掌握“分離系數(shù)法”是解答本題的關(guān)鍵．6．閱讀理解并回答問(wèn)題．觀察下列算式：……(1)填空：＝＝；(2)請(qǐng)用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點(diǎn)的一般規(guī)律：．(3)請(qǐng)用（2）中的規(guī)律解方程：．【答案】(1)(2)(3)x＝10【分析】（1）觀察已知算式計(jì)算格式，計(jì)算即可得結(jié)果；（2）觀察給出的算式，可得規(guī)律：；（3）由（2）中的規(guī)律，可將原方程化為，即可得，解此方程即可求得答案．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：由題中給出的算式可得：；故答案為：；（3）解：原方程變形為：即，∴x+10＝2x，解得：x＝10，檢驗(yàn)：左邊＝，右邊＝，即x＝10是原分式方程的解，∴原分式方程的解為：x＝10．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減運(yùn)算與分式方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：．7．觀察下列式子：，，，，……按照上面式子的規(guī)律，完成下列問(wèn)題：(1)再寫(xiě)出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①，②；(2)設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則這個(gè)規(guī)律可用字母x表示為＝（）（不必寫(xiě)出字母的取值范圍）；(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)x3，6x，6x3(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)所給式子，寫(xiě)出符合條件的即可；（2）第一個(gè)數(shù)為x，第一個(gè)數(shù)的分母為x3，第二個(gè)數(shù)的分子為6x,分母為6x3，由此可得結(jié)論；（3）利用分式的運(yùn)算方法驗(yàn)證即可．（1）①；②；故答案為：，（答案不唯一）（2）通過(guò)觀察可得規(guī)律：，故答案為：x3，6x，6x3；（3）=2，∴成立．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律以及分式的加減運(yùn)算，通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)，找到各式子分子、分母之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．8．觀察下列一組等式：第①個(gè)等式：；第②個(gè)等式：；第③個(gè)等式：；第④個(gè)等式：．根據(jù)你觀察到的規(guī)律，完成以下問(wèn)題：(1)第⑤個(gè)等式為_(kāi)_____；(2)用n的式子表示第個(gè)等式為_(kāi)_____；(3)若等式是符合上面規(guī)律的等式，27是的一個(gè)平方根，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a＝9【分析】（1）根據(jù)題目中給出的式子，可以寫(xiě)出第⑤個(gè)等式；（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以寫(xiě)出第n個(gè)等式．（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律解答即可．（1）第①個(gè)；第②個(gè)；第③個(gè)；第④個(gè)；第⑤個(gè)等式為：，故答案為：；（2）∵第①個(gè)；第②個(gè)；第③個(gè)；第④個(gè)；第個(gè)等式為：；故答案為：；（3）由（2）可知，，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的式子．9．探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：(1)＝______；＝______；(2)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：+…+．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可直接得答案；（2）利用（1）中的規(guī)律對(duì)式子進(jìn)行變形，再消去互為相反數(shù)的項(xiàng)，即可求解．（1），；（2）+…+…+．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，根據(jù)已知算式找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律，，，……(1)試用正整數(shù)n表示這個(gè)規(guī)律：______；(2)當(dāng)時(shí)，試計(jì)算：；(3)請(qǐng)你嘗試解方程：【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)前幾個(gè)式子的運(yùn)算規(guī)律求解即可；（2）利用（1）中的運(yùn)算規(guī)律將式子中的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，然后合并再代值求解即可；（3）類比前面的運(yùn)算方法求解即可．（1）解：∵，，，……∴用正整數(shù)n表示這個(gè)規(guī)律為，故答案為：；（2）解：∵，∴，當(dāng)n=2022時(shí)，原式；（3）解：∵，，，∴原方程可化為，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究、分式的化簡(jiǎn)求值、解分式方程，根據(jù)已知式子找到變化規(guī)律，運(yùn)用類比方法求解是解答的關(guān)鍵．11．觀察下列各等式：①；②；③；④…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明其正確性．【答案】(1)(2)（n為正整數(shù)），證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題干前4個(gè)運(yùn)算式的提示，歸納出相同的運(yùn)算式的特點(diǎn)，再寫(xiě)出第⑤個(gè)即可；（2）把等式的左邊通分，再計(jì)算即可得到結(jié)論．（1）解：①；②；③；④，所以⑤為：故答案為（2）由（1）歸納可得：（n為正整數(shù)），證明如下：．故答案為：（n為正整數(shù)）．【點(diǎn)睛】本題考查的是運(yùn)算規(guī)律的探究，分式的加減運(yùn)算，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．12．觀察下列等式：，，，把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．(1)猜想并寫(xiě)出：＝______．(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；(3)拓展提高：計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）逆用分式的減法法則計(jì)算即可．（2）根據(jù)（1）的特點(diǎn),裂項(xiàng)后求和，注意其中的規(guī)律，清楚被銷項(xiàng)和保留項(xiàng)，計(jì)算即可．（3）把分母的各數(shù)中各提取2，轉(zhuǎn)化成（2）式問(wèn)題計(jì)算即可．【詳解】（1）∵=，故答案為：．（2）===．（3）=====．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減混合運(yùn)算，正確找到規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：___________；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：__________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中前5個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫(xiě)出第6個(gè)等式；（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來(lái)，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可．(1)解：；(2)解：，理由如下：左邊右邊，∴等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關(guān)鍵．14．觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題；(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：______；(2)寫(xiě)出第n個(gè)等式：______（用含n的等式表示），并證明；(3)計(jì)算：【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式即可；（2）根據(jù)前幾個(gè)等式即可得出規(guī)律，從而即可寫(xiě)出第n個(gè)等式；（3）根據(jù)變形整理計(jì)算即可．(1)第5個(gè)等式為：．故答案為：；(2)第n個(gè)等式為：．證明：左邊右邊∴等式成立．故答案為：；(3)．【點(diǎn)睛】本題考查分式的規(guī)律性問(wèn)題．根據(jù)前幾個(gè)等式總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．15．觀察下列各式：，(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)下面的空格：________；(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整數(shù)，且，化簡(jiǎn)求的值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)所給的三個(gè)等式歸納規(guī)律解答即可；（2）利用得出的規(guī)律，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律，當(dāng)m=2時(shí)，得出a，b，c，d的值，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．（1）解：根據(jù)題意，由所給的三個(gè)等式，可歸納出：；故答案為：；（2）解：由（1）可知，∴，設(shè)（），∴∵，∴；（3）解：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∵a、b、c、d都是正整數(shù)，且a＞b＞c＞d；∴a=17，b=5，c=3，d=1；∵，當(dāng)a=17，b=5，c=3，d=1；∴原式；【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，分式的化簡(jiǎn)，根據(jù)所給的等式歸納出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．16．【閱讀材料】若分式A與分式B的差等于它們的積，即，則稱分式B是分式A的“關(guān)聯(lián)分式”．例如與，解：，，是的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)【解決問(wèn)題】已知分式，則，的“關(guān)聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）．(2)和諧小組成員在求分式的“關(guān)聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法：解：設(shè)的“關(guān)聯(lián)分式”為B，則，，．請(qǐng)你仿照和諧小組成員的方法求分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(3)【拓展延伸】觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律直接寫(xiě)出分式的“關(guān)聯(lián)分式”：________．【答案】(1)是(2)(3)【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義判斷；（2）仿照和諧小組成員的方法，設(shè)的關(guān)聯(lián)分式是N，則，求出N即可；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解．（1）解：∵，，∴是的“關(guān)聯(lián)分式”．故答案為：是；（2）解：設(shè)的關(guān)聯(lián)分式是N，則：∴∴∴；（3）解：由（1）（2）知：的關(guān)聯(lián)分式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是求解本題的基礎(chǔ)．類型2：分式的化簡(jiǎn)求值典例：先化簡(jiǎn)：，再?gòu)囊辉淮尾坏仁降慕饧羞x擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．解：原式．解得，，由原式可知，a不能取1，0，，∴當(dāng)時(shí)，原式．鞏固練習(xí)1．已知，那么______．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式，以及分式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：，，，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查開(kāi)平方、分式化簡(jiǎn)求值運(yùn)算以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求的值，其中是不等式的非負(fù)整數(shù)解．【答案】（1）；（2）；時(shí)，原式【分析】（1）利用去絕對(duì)值符號(hào)，再利用（，p為正整數(shù)）和計(jì)算和，最后利用代入求值；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，注意約分找最大公因式，通分找公分母，再解不等式求得x的取值范圍，找到范圍內(nèi)的非負(fù)整數(shù)，選擇不會(huì)使得原分式、化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的分式以及最后結(jié)果中的分式分母不為0的x的值代入求值．【詳解】解：（1）原式；（2）原式，解得，不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2，且，且，，則原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算和分式的化簡(jiǎn)求值，解決本題的關(guān)鍵在于熟記計(jì)算公式，掌握運(yùn)算法則，注意分式的意義，并仔細(xì)計(jì)算．3．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先把括號(hào)中通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，約分后即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果，最后把的值代入即可求得答案．【詳解】解：原式；當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】【分析】先根據(jù)分式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入x的值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先通分算括號(hào)內(nèi)的，把除化為乘，然后進(jìn)行加減，化簡(jiǎn)后將代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則，將所求式子化簡(jiǎn)．6．先化簡(jiǎn)，再求值：，從，，0，1，2中選擇一個(gè)有意義的數(shù)求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的m的值代入計(jì)算可得．【詳解】∵，∴，且，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括號(hào)，先算括號(hào)），然后約分得到最簡(jiǎn)分式或整式，然后把滿足條件的字母的值代入計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的分式的值．7．求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．8．已知非零實(shí)數(shù)a、b、c、x、y、z滿足，求的值．【答案】1【分析】先通過(guò)比例的性質(zhì)轉(zhuǎn)化得到，，，然后再代入中化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及分式化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是掌握比例的相關(guān)性質(zhì)．9．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分化簡(jiǎn)，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法約分化簡(jiǎn)．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先算乘除，再算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．10．我們定義：如果一個(gè)代數(shù)式有最大值，就稱之為“青一式”，對(duì)應(yīng)的最大值稱之為“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”為4．(1)以下代數(shù)式是“青一式”的有___________（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）①

②

③

④(2)如果實(shí)數(shù)請(qǐng)判斷代數(shù)式是否為“青一式”？如果是，請(qǐng)求出它的“青一值”，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此時(shí)x和y滿足何種條件？②求代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”．【答案】(1)②④(2)是“青一式”，“青一值”為6(3)①的“青一值”為，此時(shí)；②【分析】（1）由“青一式”的定義結(jié)合各代數(shù)式的特點(diǎn)判斷即可；（2）由題意可得出，代入中，并整理得：，即代數(shù)式有最大值為6，即說(shuō)明代數(shù)式是“青一式”，“青一值”為6；（3）①由，，可得出，即的最大值為，且此時(shí)，即的“青一值”為，此時(shí)；②．再由，當(dāng)時(shí)，取得最大值，也取得最大值，即得出當(dāng)時(shí)，有最大值，即代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”為．【詳解】（1）解：①代數(shù)式?jīng)]有最大值不是“青一式”；②∵代數(shù)式，∴其有最大值，是“青一式”；③∵代數(shù)式，∴其沒(méi)有最大值，不是“青一式”；④∵代數(shù)式有最小值2，∴代數(shù)式有最大值，是“青一式”．綜上可知②④是“青一式”．故答案為：②④；（2）解：是“青一式”，“青一值”為6．∵，∴，∴，∴代數(shù)式有最大值為6，∴代數(shù)式是“青一式”，“青一值”為6；（3）①∵，，∴，∴，即的最大值為．∵此時(shí)當(dāng)，∴，∴的“青一值”為，此時(shí)；②∵，又∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴代數(shù)式在范圍內(nèi)的“青一值”為．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新定義的理解，完全平方公式的應(yīng)用，分式混合運(yùn)算的應(yīng)用，平方非負(fù)性的應(yīng)用．讀懂題意，理解“青一式”和“青一值”的定義是解題關(guān)鍵．11．先化簡(jiǎn)再求值：(1)，其中(2)，并從，0，2中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】(1)，(2)，當(dāng)時(shí)，原式【分析】（1）先利用公式將分式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算出x的值，代入化簡(jiǎn)后的分式計(jì)算即可求出答案；（2）先利用公式將分式化簡(jiǎn)，然后代入2計(jì)算即可求出答案．【詳解】（1）原式∴原式（2）原式∵，，∴∴原式【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是運(yùn)用公式將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)．12．已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式的除法，然后計(jì)算分式的加法，最后將代入計(jì)算即可得．【詳解】解：原式，，，則原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將的值代入即可求解．【詳解】解：原式=；∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值．14．先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，，2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值．【答案】，．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的a的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：，∵，∴取，則原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．15．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】【分析】利用分式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：，∵，∴∴，∴，∴該代數(shù)式的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．15．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算，正確對(duì)分式進(jìn)行通分、約分是關(guān)鍵．17．先化簡(jiǎn)，再求值:，其中．【答案】，．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．還考查了分母有理化．18．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，分子分母能因式分解的進(jìn)行因式分解，再利用除法法則變形，約分后即可化簡(jiǎn)；代入特殊角三角函數(shù)值求出x，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：原式；∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的乘法，分母有理化以及特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，牢記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．19．先化簡(jiǎn)再求值：，其中【答案】；【分析】先求出x的值，再化簡(jiǎn)，最后代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，求出是解題的關(guān)鍵．類型3：與分式有關(guān)的糾錯(cuò)問(wèn)題典例：學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別如下：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過(guò)程都有錯(cuò)誤.請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過(guò)程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正.（1）我選擇哪位同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是什么.（3）請(qǐng)寫(xiě)出正確解答過(guò)程.解：（1）我選擇甲同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析（或者選擇乙均可），故答案為甲（答案不唯一）；（2）甲同學(xué)在第②步計(jì)算錯(cuò)誤，對(duì)分式進(jìn)行通分時(shí)，將分母乘以x+1，而分子沒(méi)有乘以x+1，故答案為②，通分時(shí)，將分母乘以x+1，而分子沒(méi)有乘以x+1；（3），，，，.鞏固練習(xí)1．若，為實(shí)數(shù)且滿足，，設(shè)，，有以下個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則下列判斷正確的是(

)A．①對(duì)②錯(cuò) B．①錯(cuò)②對(duì) C．①②都錯(cuò) D．①②都對(duì)【答案】D【分析】①中只需通過(guò)求出MN=0需要滿足的條件，看是否與ab=1相同即可；②通過(guò)計(jì)算得到，根據(jù)，得到a，b互為相反數(shù)，得到ab≤0，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵，且，，∴當(dāng)時(shí)，，即，故正確；∵，又∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴∴，故正確．綜上所述，結(jié)論都正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．在復(fù)習(xí)分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，老師把兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別展示如圖，你對(duì)兩位同學(xué)解答過(guò)程的評(píng)價(jià)為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．乙對(duì)甲錯(cuò) C．兩人都對(duì) D．兩人都錯(cuò)【答案】D【分析】甲：由分式加減運(yùn)算法則和分式的基本性質(zhì)求解；乙：根據(jù)所給的例子可知，，即取中較小的數(shù)，據(jù)此即可判斷．【詳解】甲同學(xué)：故甲錯(cuò)誤．乙同學(xué)：故乙錯(cuò)誤，則兩人都錯(cuò)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算以及新定義下實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算和新定義題目的理解．3．在復(fù)習(xí)分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，老師把兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別展示如圖，你對(duì)兩位同學(xué)解答過(guò)程的評(píng)價(jià)為（

）甲同學(xué)：乙同學(xué)：A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．乙對(duì)甲錯(cuò) C．兩人都對(duì) D．兩人都錯(cuò)【答案】D【解析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則求解．【詳解】解：∵==，∴甲乙兩人都做錯(cuò)了，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．為了提升學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)老師采用小組競(jìng)賽的方法學(xué)習(xí)分式，要求每小組的四個(gè)同學(xué)合作完成一道分式計(jì)算題，每人只能在前一人的基礎(chǔ)上進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成計(jì)算，每做對(duì)一步得10分，從哪一步出錯(cuò)，后面的步驟無(wú)論對(duì)錯(cuò)，全部不計(jì)分．某小組計(jì)算過(guò)程如下所示，該組最終得分為（

）………………甲………乙………丙=—2……丁A．10分 B．20分 C．30分 D．40分【答案】B【分析】分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．【詳解】解：原式，因此從丙開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤．故得分為20分．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練分解因式是解題的關(guān)鍵．5．樂(lè)陵市某中學(xué)八年級(jí)教師為鼓勵(lì)學(xué)生合作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)了一個(gè)接力游戲——用合作的方式完成分式化簡(jiǎn).規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行下一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn)，過(guò)程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況是（

）A．只有甲出錯(cuò) B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁【答案】B【分析】根據(jù)分式運(yùn)算法則逐一分析判斷即可.【詳解】解：由教師到甲：，故甲錯(cuò)誤；由甲到乙：，故乙錯(cuò)誤；由乙到丙：，故丙正確；由丙到?。海识≌_.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查的是分式的化簡(jiǎn)，掌握分式各個(gè)運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵.6．已知a、b為實(shí)數(shù)且滿足a1，b1，設(shè)M，N，則下列兩個(gè)結(jié)論（

）①ab1時(shí)，MN；ab1時(shí)，MN.②若ab0,則MN0.A．①②都對(duì) B．①對(duì)②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對(duì) D．①②都錯(cuò)【答案】C【分析】①根據(jù)分式的減法法則計(jì)算，然后分情況討論即可得結(jié)論；②根據(jù)方式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算，再進(jìn)行分類討論即可得結(jié)論．【詳解】∵M(jìn)，N，∴①當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，或，∴或，∴或；故①錯(cuò)②，∵，∴原式∵，∴，∵，∴，∴，故②對(duì)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的熟練運(yùn)用．7．如圖，是淇淇對(duì)分式化簡(jiǎn)求值的計(jì)算過(guò)程，嘉嘉看了以后說(shuō)淇淇的計(jì)算步驟中有錯(cuò)誤，則從上一步化簡(jiǎn)到下一步時(shí)，開(kāi)始出錯(cuò)的步驟是（

）

①

②

③④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據(jù)分式化簡(jiǎn)求值的過(guò)程，找出錯(cuò)誤的步驟即可.【詳解】分式化簡(jiǎn)的正確過(guò)程為：．∴出錯(cuò)的步驟是③.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．錯(cuò)因分析

中等題.失分的原因是：沒(méi)有掌握分式運(yùn)算法則及化簡(jiǎn)步驟.8．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上，則甲、乙兩塊地的撒播密度比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)播種的數(shù)量為n，分別表示出甲、乙兩塊地的撒播密度，求出之比即可．【詳解】解：設(shè)播種的數(shù)量為n，∴甲的撒播密度為：，乙的撒播密度為，∴甲、乙的撒播密度比為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．9．已知兩個(gè)分式：，；將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作；將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過(guò)實(shí)際操作，有以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，則；④在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】設(shè)，，分別求出，，，，…，，，得到規(guī)律，即可一一判斷．【詳解】設(shè)，，則，；，；，；，；，；，；，；…一般地：，，則④正確；∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，而，∴，故②正確；若，即，解得：，故③錯(cuò)誤；故正確的有3個(gè)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律探索問(wèn)題，考查了分式的運(yùn)算，解分式方程等知識(shí)，關(guān)鍵是由特殊出發(fā)得到一般規(guī)律．10．如圖，設(shè)（），則有（）A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2【答案】C【分析】分別計(jì)算出甲圖陰影部分面積和乙圖陰影部分面積，然后計(jì)算比值即可．【詳解】解：甲圖中陰影部分的面積為：，乙圖中陰影部分的面積為：，∴，∵，∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，計(jì)算圖中陰影部分面積及熟悉分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．11．有這樣一道題：“化簡(jiǎn)求值：其中．”小明誤把寫(xiě)成，最后的計(jì)算結(jié)果也是正確的，這是什么原因？【答案】原因見(jiàn)解析【分析】把題目中的式子化簡(jiǎn)，然后觀察結(jié)果，即可說(shuō)明理由．【詳解】解：，結(jié)果為常數(shù)5與m的取值無(wú)關(guān)，小明誤把寫(xiě)成，最后的計(jì)算結(jié)果也是正確的．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則．12．老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題，甲、乙兩位同學(xué)完成的過(guò)程分別如下：甲同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過(guò)程都有錯(cuò)誤．(1)請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過(guò)程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．我選擇______同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）．該同學(xué)的解答從第____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_______；(2)請(qǐng)重新寫(xiě)出完成此題的正確解答過(guò)程：【答案】(1)甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x1；（或乙，二，直接去掉分母）；(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則即可判斷；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則重新計(jì)算可得．【詳解】（1）我選擇甲同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x1；或我選擇乙同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是直接去掉分母；故答案為：甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x1；（或乙，二，直接去掉分母）；（2）(選甲為例）===【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．13．（1）計(jì)算：．（2）下面是夏紅同學(xué)對(duì)題目的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：已知，求的值．原式第一步第二步第三步所代入上式，得原式第四步第五步．第六步任務(wù)一：填空：①在化簡(jiǎn)步驟中，第______步是進(jìn)行分式的通分．②第_____步開(kāi)始出錯(cuò)，這一錯(cuò)誤的原因是______．任務(wù)二：請(qǐng)直接寫(xiě)出該題計(jì)算后的正確結(jié)果．【答案】（1）10；（2）任務(wù)一：①一；②五，分子沒(méi)有乘；任務(wù)二：．【分析】（1）根據(jù)平方差公式的化簡(jiǎn)括號(hào)，然后進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）原式=6+5－1=10．（2）任務(wù)一：①一．②五，分子沒(méi)有乘．任務(wù)二：原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．計(jì)算時(shí)，小明、小亮兩位同學(xué)的解法如下：小明：

①

②小亮：

③

④(1)判斷：小明、小亮兩位同學(xué)的解題過(guò)程有無(wú)錯(cuò)誤？若無(wú)誤，請(qǐng)直接跳到下一問(wèn)；若有誤，則找出最先出錯(cuò)的式子：______（填序號(hào)）．(2)請(qǐng)任選一種自己喜歡的解法，完成解答．【答案】(1)①(2)選小明的解法，解答見(jiàn)解析【分析】（1）逐步分析兩位同學(xué)的做法，找出出錯(cuò)的式子．（2）任選其一，利用通分，化簡(jiǎn)即可解出答案．【詳解】（1）解：小明：

①

②故最先出錯(cuò)的式子為小明的解題過(guò)程中的①；故答案為：①（2）解：選第一種解法，過(guò)程如下：

＝＝＝【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減混合運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟練掌握分式混合運(yùn)算的法則和步驟．15．（1）計(jì)算：．（2）下面是小明同學(xué)分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：……第一步……第二步．……第三步①小明的解答過(guò)程從第______步開(kāi)始出錯(cuò)；②請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】（1）1；（2）①一；②【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）①通過(guò)觀看解答，根據(jù)分式通分的概念可知第一步出錯(cuò)；②先通分，然后根據(jù)同分母分式相加減的法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式=1（2）①一．②【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的運(yùn)算等，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，能將分式通分和約分并熟練地運(yùn)算各式．16．請(qǐng)你閱讀圓圓同學(xué)的解題過(guò)程，并回答所提出的問(wèn)題．計(jì)算：＋．圓圓的解法原式＝……①＝……②＝……③問(wèn)：圓圓在第步開(kāi)始出錯(cuò)（寫(xiě)出序號(hào)即可）；請(qǐng)你給出正確的解答過(guò)程．【答案】②；見(jiàn)解析過(guò)程【分析】注意觀察圓圓的解題過(guò)程中每一步過(guò)程的變化即可找到開(kāi)始出錯(cuò)的位置，進(jìn)而寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【詳解】圓圓在第②步開(kāi)始出錯(cuò)；正確的解答過(guò)程如下：＋＝＝＝＝【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．（1）先化簡(jiǎn)，再求值，其中x為方程x2﹣4＝0的根．（2）小剛在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的過(guò)程如下：原方程可化為2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步）方程兩邊同時(shí)除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步）小剛的解答過(guò)程是從第

步開(kāi)始出錯(cuò)的，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】（1），2；（2）二，正確解答見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再解一元二次方程求出其根，繼而根據(jù)分式有意義的條件選擇使分式有意義的x的值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可判斷出錯(cuò)步驟，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：（1）原式＝﹣＝﹣＝，解方程x2﹣4＝0得x＝±2，∵x≠±1且x≠2，∴x＝﹣2，則原式＝＝﹣2；（2）小剛的解答過(guò)程是從第二步開(kāi)始出錯(cuò)的，正確的解答過(guò)程如下：2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2x+1）＝0，則x﹣3＝0或2x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣．故答案為：二．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值與解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．18．（1）解方程：①②（2）學(xué)習(xí)“分式”一章后，老師寫(xiě)出下面的一道題讓同學(xué)們解答．計(jì)算：，其中小明的解答過(guò)程如下：解：原式=………………（第一步）=………………（第二步）=………………（第三步）=………………（第四步）上述計(jì)算過(guò)程中，是從第步開(kāi)始出錯(cuò)，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】（1）①x1=1，x2=3；②x1＝?9，x2＝；（2）二，【分析】（1）①利用因式分解法求解即可；②利用直接開(kāi)平方法求解可得；（2）題目是異分母的分式相減，先確定最簡(jiǎn)公分母，再通分變成同分母的分式，進(jìn)行減法運(yùn)算，結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式或者整式．【詳解】解：（1）①，∴，∴x+1=0或x3=0，解得x1=1，x2=3；②，兩邊開(kāi)方得：2（x3）=±3（x+1），當(dāng)2（x3）=3（x+1）時(shí)，解得：x=9；當(dāng)2（x3）=3（x+1）時(shí)，解得：x＝，∴原方程的根為x1＝?9，x2＝；（2）分式加減的過(guò)程中丟掉了分母，所以第二步出現(xiàn)了錯(cuò)誤．正確的解答過(guò)程為：====【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，異分母分式的加減，掌握法則是關(guān)鍵．異分母的分式相加減，先通分化成同分母的分式，再加減．結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．19．下面是小東同學(xué)課堂上進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)問(wèn)題．（1）填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第步進(jìn)行的是分式的通分，通分的依據(jù)是.即為：；②第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果：（3）除注意上述錯(cuò)因外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步……第六步……第七步【答案】（1）①二，分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；②四，括號(hào)前是“”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；（2）；（3）最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式（答案不唯一）．【分析】（1）①根據(jù)分式的通分及分式的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；②根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則及去括號(hào)法則可直接進(jìn)行求解；（2）依據(jù)分式的加減運(yùn)算可進(jìn)行求解；（3）根據(jù)分式的運(yùn)算回答合理即可．【詳解】解：（1）①以上化簡(jiǎn)步驟中，第二步進(jìn)行的是分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，即為：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；故答案為二，分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；②第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是括號(hào)前是“”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；故答案為四，括號(hào)前是“”號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；（2）======；（3）答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式；約分、通分時(shí)，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)變形；分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆等等．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．20．（1）計(jì)算：（2）化簡(jiǎn)：．小江的解答如下：①②③小江的解答過(guò)程從第______步（填“①”或“②”或“③”）開(kāi)始出錯(cuò)，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】（1）0；（2）①，過(guò)程見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值、負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和銳角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算；（2）先通分，再按同分母分式相加減的法則運(yùn)算．【詳解】解：（1）原式=2+13．（2）第①步；原式．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、負(fù)指數(shù)冪、三角函數(shù)值、分式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，熟知相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．58．下面是某同學(xué)在完成作業(yè)本（2）第5題第（2）小題的過(guò)程．……①……②……③上面的解題過(guò)程________（填“正確”或“錯(cuò)誤”）；如果正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步的依據(jù)；如果有錯(cuò)，請(qǐng)寫(xiě)出從第幾步開(kāi)始出錯(cuò)，并寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．【答案】錯(cuò)誤，從第①步開(kāi)始出錯(cuò)，正確的解題過(guò)程見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)分式的減法法則即可得．【詳解】由分式的減法法則可知，上面的解題過(guò)程錯(cuò)誤，從第①步開(kāi)始出錯(cuò)，正確的解題過(guò)程如下：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．21．下面是小明化簡(jiǎn)的過(guò)程解：＝①＝②＝﹣③（1）小明的解答是否正確？如有錯(cuò)誤，錯(cuò)在第幾步？（2）求當(dāng)x＝時(shí)原代數(shù)式的值．【答案】（1）第①步（2）【分析】（1）根據(jù)分式的乘除法可以明確小明在哪一步出錯(cuò)了，從而可以解答本題；（2）根據(jù)分式的乘除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【詳解】（1）小明的解答不正確，錯(cuò)在第①步；（2）＝＝，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．22．某同學(xué)化簡(jiǎn)分式出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：解：原式＝

（第一步）＝

（第二步）＝－

（第三步）（1）你認(rèn)為該同學(xué)的解答過(guò)程是從第幾步開(kāi)始出錯(cuò)的？（2）寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【答案】（1）第一步開(kāi)始出錯(cuò)；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷；（2）根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）第一步開(kāi)始出錯(cuò)；（2）【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減法，掌握分式的加減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．23．計(jì)算:學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別如下：甲同學(xué)：

①②③④乙同學(xué)：①②③④老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過(guò)程都有錯(cuò)誤.請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過(guò)程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正.（1）我選擇________同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學(xué)的解答從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是________；（3）請(qǐng)寫(xiě)出正確解答過(guò)程.【答案】（1）甲（或乙）；（2）若選擇甲，則答案為：②，通分時(shí)，將分母乘以，而分子沒(méi)有乘以；若選擇乙，則答案為：③，直接去掉了分母；（3）詳見(jiàn)解析.【分析】甲的錯(cuò)誤是第②步通分時(shí)，分子沒(méi)有乘，乙的錯(cuò)誤是第③步直接去掉了分母，任選一個(gè)作答即可，按照通分，合并的步驟寫(xiě)出正確過(guò)程即可.【詳解】解：（1）甲（或乙）；（2）若選擇甲，則答案為：②，通分時(shí)，將分母乘以，而分子沒(méi)有乘以；若選擇乙，則答案為：③，直接去掉了分母；（3）正確解答過(guò)程如下：

.【點(diǎn)睛】本題考查分式的計(jì)算，注意通分時(shí)不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程區(qū)分開(kāi).24．某學(xué)生在化簡(jiǎn)求值：，其中x＝時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下，原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）當(dāng)x＝是，原式＝（第四步）（1）該學(xué)生解答過(guò)程從第步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是．（2）寫(xiě)出此題的正確解答過(guò)程．【答案】（1）一，分式的基本性質(zhì)用錯(cuò)；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題目中的式子和分式的基本性質(zhì)可以解答本題；（2）根據(jù)分式的加法可以化簡(jiǎn)題目中的