第24章 解直角三角形 華師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案

解直角三角形※教學(xué)目標(biāo)※【知識(shí)與技能】1.進(jìn)一步理解銳角三角函數(shù)的定義，知道特殊角的三角函數(shù)值，能夠根據(jù)某一個(gè)三角函數(shù)值，熟練求出其他兩個(gè)三角函數(shù)值.2.進(jìn)一步扎實(shí)掌握同一個(gè)銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系和互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，并能利用它們進(jìn)行計(jì)算或證明.3.能熟練根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形，并能運(yùn)用這些關(guān)系解決一些應(yīng)用問(wèn)題.4.進(jìn)一步了解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，能熟練利用解直角三角形的知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題.【教學(xué)重點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形及解直角三角形的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用及輔助線的添加方法.※教學(xué)過(guò)程※一、知識(shí)體系圖解二、知識(shí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題一求銳角三角函數(shù)值【例1】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，BC=14，AD=12，sinB=.求：（1）線段DC的長(zhǎng)；（2）tan∠EDC的值.分析：（1）要求DC的長(zhǎng)，先求BD的長(zhǎng)，再根據(jù)DC=BC-BD來(lái)求；（2）DE為AC中線，則DE=EC，故∠EDC=∠C，tan∠EDC=tanC.解：（1）在Rt△BDA中，∵∠BDA=90°，AD=12，sinB=,∴AB=15,BD==9,∴DC=BC-BD=5.(2)在Rt△ADC中，∠ADC=90°，tanC=.∵DE是Rt△ADC斜邊AC上的中線，∴DE=AC=EC.∴∠EDC=∠C.∴tan∠EDC=tanC=.【歸納拓展】求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就是根據(jù)三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，求相應(yīng)兩邊的比，當(dāng)這個(gè)角不在某個(gè)直角三角形中時(shí)，可利用等角轉(zhuǎn)換的方法，求某個(gè)直角三角形中和這個(gè)角相等的角的相應(yīng)三角函數(shù)值，也可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形解，當(dāng)這個(gè)角是特殊角時(shí)，直接寫(xiě)出即可.【練習(xí)】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB,AD=CD，cosB=,BC=26.求：（1）cos∠DAC的值；（2）線段AD的長(zhǎng).答案：（1）（2）13專(zhuān)題二解直角三角形的應(yīng)用【例2】某市準(zhǔn)備在相距2千米的A、B兩工廠間修一條筆直的公路，但在B地北偏東60°方向、A地北偏西45°方向的C處，有一半徑為0.6千米的住宅小區(qū)，如圖，問(wèn)修筑公路時(shí)，這個(gè)小區(qū)是否有居民需要搬遷？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41,≈1.73)分析：這是一道說(shuō)理題，要通過(guò)計(jì)算作出說(shuō)明.居民是否搬遷，就是看點(diǎn)C到直線AB的距離與0.6的關(guān)系，所以求出點(diǎn)C到AB的距離是解題的關(guān)鍵，為此需要作CD⊥AB于D.解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∴AD=CD·tan45°=CD,BD=CD·tan60°=CD.∵BD+AD=AB=2,即CD+CD=2,∴CD=≈1.73-1=0.73>0.6.答：修的公路不會(huì)穿越小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷.【歸納拓展】解直角三角形的應(yīng)用就是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，大部分問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為以下兩個(gè)基本圖形.【練習(xí)】青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄.如圖，一天，灰太狼在自家城堡頂部A處測(cè)得懶羊羊所在地B處的俯角為60°,然后下到城堡的C處，測(cè)得B處的俯角為30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度從城堡底部D處出處，幾秒鐘后能抓到懶羊羊？（結(jié)果精確到個(gè)位）答案：t=≈7(s).專(zhuān)題三方程思想【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=,D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9，求BE、CE的長(zhǎng).分析：由sinB=,可設(shè)DE=CD=3k,DB=5k,則BC=8k，AC=6k,AB=10k,再由AC+CD=9,可列出以k為未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出各邊長(zhǎng).在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的長(zhǎng).過(guò)C作CF⊥AB于F，再用勾股定理求CE的長(zhǎng).解：∵sinB=,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴sinB=.設(shè)DE=CD=3k,則DB=5k.∴CB=8k,∴AC=6k,AB=10k.∵AC+CD=9,∴6k+3k=9,∴k=1.在Rt△BDE中，DE=3，DB=5，∴BE=4.過(guò)C作CF⊥AB于F，則CF∥DE，∴,求得CF=,BF=,∴EF=.在Rt△CEF中，CE=.【歸納拓展】在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一種從未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過(guò)設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問(wèn)題的思想就是方程思想.有些幾何問(wèn)題表面上看起來(lái)與代數(shù)問(wèn)題無(wú)關(guān)，但是要利用代數(shù)方法一一列方程來(lái)解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識(shí)，還有一些綜合問(wèn)題需要通過(guò)構(gòu)造方程來(lái)解決.【練習(xí)】如圖，在比水平高2m的A地，觀察河對(duì)岸一直立的樹(shù)BC頂部B的仰角為30°,它在水中的倒影B′C的頂部B′的俯角是45°，根據(jù)這一情景，你能求出樹(shù)高BC嗎？（結(jié)果保留根號(hào)）答案：專(zhuān)題四方案設(shè)計(jì)題【例4】如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周?chē)鷽](méi)有開(kāi)闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測(cè)得，從A、D、C三點(diǎn)可看到塔頂端H.可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)傾器.（1）請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量塔頂端到地面的高度HG的方案，具體要求如下：①測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能少；②在所給圖形上，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上（如果測(cè)A、D間距離，用m表示；如果測(cè)D、C間距離，用n表示；如果測(cè)角，用α、β、γ表示）.（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算塔頂端到地面的高度HG.(用字母表示，測(cè)傾器高度忽略不計(jì)).解：方案一：（1）如圖甲（測(cè)三個(gè)數(shù)據(jù)：n、α、β）.(2)設(shè)HG=k,在Rt△CHG中，CG=;在RtDHM中，DM=,方案二：（1）如圖乙（測(cè)四個(gè)數(shù)據(jù)：m、n、a、γ）.（2）設(shè)HG=k,在Rt△AHM中，AM=;在Rt△DHM中，DM=,【歸納拓展】熟讀題目，理解題意是解題的前提.設(shè)計(jì)方案時(shí)要盡可能和已學(xué)過(guò)的基本圖形聯(lián)系起來(lái)，測(cè)量工具的選擇要結(jié)合實(shí)際情況，特別要注意設(shè)計(jì)的方案必須考慮環(huán)境、條件的限制.【練習(xí)】如圖，A、B是兩幢地平高度相等，隔岸相望的建筑物，B樓不能到達(dá)，由于建筑物密集，在A樓的周?chē)鷽](méi)有開(kāi)闊地帶.為了測(cè)量B的高度，只能充分利用A樓的空間，A的各層樓都可到達(dá)且能看見(jiàn)，現(xiàn)僅有的測(cè)量工具為皮尺和測(cè)角器.（皮尺可用于測(cè)